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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch hilft bei der Lösung praktischer Strömungsaufgaben. Die mathematischen Anforderungen sind bewusst auf niedrigem Niveau gehalten, um möglichst jedem Studierenden ein erfolgreiches Selbststudium zu ermöglichen. Auch finden sich praktische Informationen zu Software und zur numerischen Simulation.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Eigenschaften der Fluide

Stoffe können in drei Aggregatzuständen auftreten, dem festen, flüssigen und gasförmigen Zustand (Abb. 1.1). Die verschiedenen Aggregatzustände werden durch die Bindungskräfte der Moleküle bestimmt. Während die Moleküle und Atome fester Stoffe in einer Gitterstruktur fest gefügt sind, lassen sich die Teilchen von Flüssigkeiten leicht verschieben und austauschen. In Gasen bewegen sich die Moleküle frei in dem verfügbaren Raum.Makroskopisch formen sich diese Stoffe in den unterschiedlichen Aggregatzuständen gemäß Abb. 1.2 aus, wobei sich körnige Stoffe, wie Sand, Kies oder Gries mit bestimmten Schüttwinkeln aufbauen. Stoffe im gasförmigen Zustand werden durch die freie Weglänge der Moleküle gekennzeichnet, die für Luft bei $$p_{\mathrm{0}}=100$$p0=100 kPa und $$t_{\mathrm{0}}=20$$t0=20$${}^{\circ}$$∘C $$s=0{,}07$$s=0,07 bis 0,10 $${\upmu}$$μm beträgt. Die Eigenschaften dieser flüssigen und gasförmigen Stoffe sind richtungsunabhängig, sodass sie als Kontinuum bezeichnet und behandelt werden können. Die Eigenschaften von Feststoffen sind richtungsabhängig mit unterschiedlichen Zug- und Druckspannungen, Biege- und Torsionsspannungen.

Dominik Surek, Silke Stempin

2. Hydrostatik und Aerostatik

Wird ein infinitesimales Fluidelement der Masse dm beliebiger Geometrie aus einer Fluidmasse herausgetrennt, so müssen an den Schnittflächen A1 bis A5 in der Abb. 2.1 die Gleichgewichtskräfte F1 bis F5 angebracht werden, um die Fluidmasse im Gleichgewicht zu halten. Abb. 2.1 zeigt, dass die Kräfte F1 und F2 im Gleichgewicht stehen. Das Kräftedreieck für die Kräfte F3, F4 und F5 in der Abb. 2.1 zeigt, dass sich auch die übrigen drei Kräfte an dem Fluidelement im Gleichgewicht befinden. Der Druck beträgt also in der Gleichgewichtsbedingung: 2.1$$\displaystyle p=\frac{F}{A}=\text{konstant}$$p=FA=konstant Dieser Druck stellt sich z. B. bei einer quasistatischen Kompression eines Gases mittels eines Kolbens ein (Abb. Abb. 1.5). In Flüssigkeiten ändert sich der Druck entsprechend der hydrostatischen Differenzialgleichung.Wird ein zylindrisches Fluidelement der Masse dm entsprechend Abb. 2.2 mit den Abmessungen A und $$\mathrm{d}h$$dh dem Potential des Gravitationsfeldes mit der Erdbeschleunigung g unterworfen, so kann das Kräftegleichgewicht dafür aufgestellt werden.Mit $$\mathrm{d}m=\rho\mathrm{d}V=\rho A\mathrm{d}h$$dm=ρdV=ρAdh erhält man aus dem Kräftegleichgewicht die hydrostatische Differenzialgleichung: 2.2$$F_{2}-g\mathrm{d}m-F_{1} =0$$F2-gdm-F1=0$$p_{2}A-g\rho A\mathrm{d}h-p_{1}A =0$$p2A-gρAdh-p1A=0$$\mathrm{d}p=p_{2}-p_{1} =g\rho\mathrm{d}h$$dp=p2-p1=gρdh2.3$$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}h} =g\rho$$dpdh=gρ Der Druckgradient im Gravitationsfeld der Erde mit der Erdbeschleunigung g ist abhängig von der Erdbeschleunigung und der Stoffdichte ρ.

Dominik Surek, Silke Stempin

3. Grundlagen der Strömungsmechanik

Strömungsvorgänge in Maschinen, Apparaten, Anlagen und in der Natur verlaufen in der Regel dreidimensional und viele davon auch instationär, d. h. zeitabhängig wie z. B. An- und Abfahrvorgänge von Maschinen, Start- und Landevorgänge von Flugzeugen oder Tauchgänge von U-Booten. Es gibt genügend Strömungsvorgänge, bei denen zwei Geschwindigkeitskomponenten gegenüber der Hauptströmungsrichtung c x in erster Näherung vernachlässigt werden können, ohne nennenswerte Fehler zu begehen wie z. B. die Strömung in Trinkwasserversorgungsrohrleitungen, in Pipelines oder in anderen Rohrleitungen für Fluide mit konstanter Dichte ($$\rho=\text{konst}.$$ρ=konst.). Diese Strömungen nennt man stationär, eindimensional und inkompressibel. Ist die stationäre, eindimensionale Strömung kompressibel, wie z. B. in Gasrohrleitungen, Gasturbinen oder in Kompressoren, dann wird sie durch die Gesetze der Strömungsmechanik und der Thermodynamik im Fachgebiet der Gasdynamik beschrieben. Ein elementares Fluidteilchen dm kann sich translatorisch auf einer Stromlinie oder rotatorisch oder in beiden Bewegungsformen fortbewegen (Abb. 3.1). Das reale viskose Fluid kann dabei linear auf Zug oder Druck belastet sein oder durch eine Scherbelastung beansprucht werden.

Dominik Surek, Silke Stempin

4. Ähnlichkeitsgesetze der Strömungsmechanik

Bei der theoretischen oder experimentellen Untersuchung von Strömungen besteht die Aufgabe oft darin, die Abhängigkeit einer Größe, z. B. der Geschwindigkeit c, von anderen geometrischen oder strömungstechnischen Größen, z. B. Rohrradius, Druck und Temperatur zu ermitteln. Dabei ist man bestrebt, die Anzahl der unabhängigen Variablen zu reduzieren, um den Rechenaufwand oder den experimentellen Aufwand zu verringern. Das kann mittels der Dimensionsanalyse erfolgen, die vor jeder experimentellen Untersuchung vorzunehmen ist, oder durch die Modellversuchstechnik.Häufig ist es zweckmäßig, die experimentellen Untersuchungen nicht an der Originalmaschine, sondern an einer Maschine oder Anlage im verkleinerten oder vergrößerten Modell vorzunehmen, wie z. B. im Wasserbau, in lufttechnischen Anlagen, im Wasserturbinenbau, an Flugzeugen oder an Windrädern. Bei solchen Modellversuchen müssen bestimmte Bedingungen eingehalten werden, wie z. B. der Modellmaßstab. Es muss auch beachtet werden, wie die Resultate der Modellmessung auf die Originalausführung übertragen werden können. Bei der Untersuchung des Modells einer Wasserturbine werden die Hauptparameter des Modells, Volumenstrom, Gefällehöhe, Leistung, Wirkungsgrad und die Kavitationskennzahl gemessen. In welcher Form diese Messresultate von der Modellturbine auf eine Großausführung zu übertragen sind, um Aussagen über den Wirkungsgrad und die Leistung zu erhalten, wird von der Ähnlichkeitstheorie bestimmt.

Dominik Surek, Silke Stempin

5. Stationäre inkompressible Strömung; Hydrodynamik

Stationäre inkompressible Strömungen weisen keine zeitlichen Veränderungen und keine Dichteänderungen auf. Das Fluid unterliegt also keiner Beschleunigung oder Verzögerung infolge Zustandsänderung. In einer zeitunabhängigen stationären Strömung sind die Stromlinien, die Strombahnen und die Streichlinien identisch. Die Geschwindigkeit ist eine Funktion der Ortskoordinaten $$c(x,y,z)$$c(x,y,z). Sie ist für die eindimensionale Strömung, z. B. Rohrströmung, nur von der Ortskoordinate x abhängig. Die Stromlinien beschreiben in einem bestimmten Zeitpunkt das Richtungsfeld des Geschwindigkeitsvektors (Abb. Abb. 3.1). Die Tangenten an jedem Ort verlaufen parallel zu den Geschwindigkeitsvektoren. Die Bestimmungsgleichung dafür lautet $$\boldsymbol{c}x\mathrm{d}\boldsymbol{x}=0$$cxdx=0.Inkompressibel ist die Strömung dann, wenn sich die Dichte des inkompressiblen oder des kompressiblen Fluids infolge des Strömungsvorgangs nicht ändert. Das bedeutet, dass auch eine Luft- oder Gasströmung mit geringer Geschwindigkeit und geringer Druckänderung ohne Dichteänderung, also inkompressibel, verläuft. Die Abgrenzung der inkompressiblen Gasströmung von der kompressiblen erfolgt in Kap. 6 „Stationäre kompressible Strömung“.

Dominik Surek, Silke Stempin

6. Stationäre kompressible Strömung; Gasdynamik

Bei der stationären kompressiblen Strömung c$$(x,y,z,\rho)$$(x,y,z,ρ) ist die Dichte des Kontinuums eine variable Größe. Sie verändert sich entsprechend der Euler’schen Bewegungsgleichung in Abhängigkeit des Druckes, der Geschwindigkeit und der Temperatur.Mit den Gesetzen der Gasdynamik werden Unterschall- und Überschallströmungen in den Schaufelgittern von Gas- und Dampfturbinen, in Schaufelgittern von Axial- und Radialkompressoren, in den Überschalldüsen nach de Laval, in Gasrohrleitungen und in Pipelines, in Ausströmvorgängen aus Behältern und Rohrleitungen, an den Tragflächen und in den Triebwerken von Flugzeugen sowie an den Weltraumshuttles und Raketen berechnet. So werden z. B. die Triebwerke von Raketen mit Überschalldüsen ausgerüstet. Auch ballistische Geschosse werden mit den Gesetzen der Gasdynamik beschrieben. Extreme Bodenfahrzeuge mit Geschwindigkeiten von $$c\geq 500\,\mathrm{km/h}=138{,}89\,\mathrm{m/s}$$c≥500km/h=138,89m/s und Machzahlen von $$\mathrm{M}\geq 0{,}40$$M≥0,40 reichen ebenfalls in den Bereich der kompressiblen Strömung hinein. Die kompressiblen Fluide können bei den üblichen Drücken in der Größe des Atmosphärendruckes als Kontinuum und als viskoses Fluid behandelt werden.

Dominik Surek, Silke Stempin

7. Zweidimensionale Potentialströmung

Untersucht man Strömungen in Rohrleitungen mit starken Querschnittsänderungen (Abb. 7.1a) oder Strömungen mit großen Geschwindigkeitsgradienten, wie z. B. im Staupunkt eines Tragflügelprofils (Abb. 7.1b), so stellen sich große Geschwindigkeitsgradienten senkrecht zur Kontur und zur Strömungsrichtung und folglich auch große Druckdifferenzen ein, die bei der eindimensionalen Berechnung der Strömung zwischen den Grenzen ➀ und ➁ nicht erfasst werden können.Mit der eindimensionalen Berechnung der Strömung zwischen den Grenzen ➀ und ➁ können die Strömungsvorgänge an der Querschnittsverengung von Abb. 7.1a und in Staupunktnähe des Profils von Abb. 7.1b nicht erfasst werden, sondern nur das Gesamtbild zwischen den Grenzen ➀ und ➁. Will man die Strömung direkt im Verengungsgebiet von Abb. 7.1a oder in Staupunktnähe von Abb. 7.1b berechnen, so muss man die rotationssymmetrische zweidimensionale Strömung für die rotationssymmetrische Rohrverengung oder für die Strömung in der x-y-Ebene in Staupunktnähe des Profils berechnen.Dafür müssen die Kontinuitätsgleichung und die Gleichung für die Drehungsfreiheit in der x-y-Ebene oder im Raum x-y-z bereitgestellt werden.Die Volumenstromänderungen an einem Volumenelement in der x-y-Ebene nach Abb. 7.2 ergeben sich aus der Geschwindigkeitsänderung ($$\partial c_{x}/\partial x)\mathrm{d}x\cdot A$$∂cx/∂x)dx⋅A. Die Fläche beträgt $$\mathrm{d}A=\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$dA=dxdy.

Dominik Surek, Silke Stempin

8. Grenzschichtströmung

Durch das Haften des Fluids an der Wand von umströmten und durchströmten Körpern wird eine dünne Fluidschicht in der Wandnähe durch die Reibungskraft bis auf c = 0 abgebremst. In dieser dünnen Schicht steigt die Geschwindigkeit von c = 0 an der Wand auf den Wert der Geschwindigkeit der reibungsarmen oder reibungslosen Außenströmung $$c_{\infty}$$c∞. Für diese Schicht hat Ludwig Prandtl 1904 den Begriff der Grenzschicht eingeführt, die eine Reibungsschicht darstellt (Abb. 8.1). Die Dicke der abgebremsten Schicht, der Grenzschicht, wird mit $$\delta(x)$$δ(x) bezeichnet. Sie nimmt mit zunehmendem Strömungsweg x zu, da immer mehr Fluid von der Reibung erfasst wird. Die Grenzschichtdicke $$\delta(x)$$δ(x) ist also umso größer, je größer die Zähigkeit des Fluids ist. Bei sehr kleiner Zähigkeit wie z. B. bei Luft mit $$\nu=15{,}2\cdot 10^{-6}\,\mathrm{m^{2}/s}$$ν=15,2⋅10-6m2/s, aber großer Anströmgeschwindigkeit $$c_{\infty}$$c∞, kann die tangentiale Schubspannung τ in der Grenzschicht infolge des großen Geschwindigkeitsgradienten $$\partial c/\partial y$$∂c/∂y zwischen der Wand mit c = 0 und der reibungslosen Außenströmung, also normal zur Hauptströmungsrichtung, ebenfalls erhebliche Werte erreichen.Die tangentiale Reibungsspannung ist für Newton’sche Fluide von der dynamischen Viskosität η und dem Geschwindigkeitsgradienten in der reibenden Schicht normal zur Hauptströmungsrichtung $$\partial c/\partial y$$∂c/∂y abhängig. Sie beträgt:8.1$$\tau=\eta\frac{\partial c}{\partial y}=\rho\,\nu\,\frac{\partial c}{\partial y}$$τ=η∂c∂y=ρν∂c∂y

Dominik Surek, Silke Stempin

9. Stationäre Umströmung von Körpern und Profilen

Alle ruhenden und festeingebauten Körper wie z. B. zylindrische Masten, Drähte, Gebäude, Türme werden von Luft unterschiedlicher Geschwindigkeit umströmt. Fahrzeuge, Flugzeuge und Schiffe bewegen sich in das ruhende oder bewegte Fluid hinein. Der Umströmungsvorgang eines Körpers ist unabhängig davon, ob er ruhend umströmt wird wie z. B. im Windkanal oder ob er in das ruhende Fluid hineinbewegt wird wie z. B. das Flugzeug und das Auto. Deshalb können die Modelle oder auch die Großausführungen von Fluggeräten, Shuttles oder Autos in Windkanälen untersucht werden. Die Modelle werden mit definierten Anströmbedingungen ($$c_{\infty}$$c∞, $$p_{\infty}$$p∞, $$T_{\infty}$$T∞) und mit einem definierten Turbulenzgrad Tu angeströmt.

Dominik Surek, Silke Stempin

10. Instationäre Strömung

Instationäre Strömungen treten bei allen An- und Abfahrvorgängen von Turbomaschinen, von Apparaten und Rohrleitungen sowie bei Ausflussvorgängen aus Behältern mit variablem Flüssigkeitsspiegel auf, ebenso bei Flüssigkeitsschwingungen und bei Druckstoßvorgängen in Rohrleitungen. Letztere können nach der Theorie von Joukowski (1847–1921) und Allievi (1856–1942) berechnet werden. Bei instationären Strömungsvorgängen besteht die totale Geschwindigkeitsänderung $$\mathrm{d}c$$dc eines Flüssigkeitselements aus der Geschwindigkeitsänderung längs des Weges ($$\partial c/\partial s)\,\mathrm{d}s$$∂c/∂s)ds und der lokalen zeitabhängigen Geschwindigkeitsänderung ($$\partial c/\partial t)\,\mathrm{d}t$$∂c/∂t)dt (Kap. 3).

Dominik Surek, Silke Stempin

11. Grundlagen der Akustik und Aeroakustik

Bevor die Akustik und Aeroakustik behandelt werden, sollen einige akustische Grundbegriffe wie die Tonskala, die Tonintervalle und die Frequenzen reiner Töne erläutert werden, die jedem musikalisch orientierten Menschen wohl vertraut sind.

Dominik Surek, Silke Stempin

12. Grundlagen der Strömung in Turbomaschinen

Zu den Turbomaschinen gehören rotierende Maschinen mit beschleunigter Strömung: Gasturbinen, Dampfturbinen, Wasserturbinen, Windturbinen und Maschinen mit verzögerter Strömung: Turboverdichter, Kreiselpumpen, Ventilatoren, Turbolader, Strömungswandler (Strömungsgetriebe, Strömungskupplungen und Retarder, die ein Turbinen- und ein Pumpenlaufrad enthalten).Im rotierenden Laufrad von Turbomaschinen wird die Energie des strömenden Fluids verändert.In Turbinen wird die Energie und auch die spezifische Energie des Gases, des Dampfes oder des Wassers vermindert, um daraus mechanische Arbeit an der Welle zu gewinnen zum Antrieb von Generatoren oder von anderen Maschinen.Turboverdichter und Kreiselpumpen werden von Elektromotoren, Gasturbinen oder Verbrennungsmotoren angetrieben, wobei mechanische Arbeit an der Welle zugeführt wird, um die Fluidenergie des Gases kompressibel oder inkompressibel bei Pumpen und Ventilatoren zu erhöhen.Im Laufrad wird die Arbeit durch Dralländerung übertragen. Dabei wird die Zuströmung des Fluids in die Abströmrichtung mit dem Winkel β2 umgelenkt. Entsprechend dem Drallmoment stellt die zeitliche Dralländerung des Fluids im Laufrad das Drehmoment M dar, das mit der Winkelgeschwindigkeit $$\omega=2\pi n$$ω=2πn die mechanische Leistung $$P=\omega M$$P=ωM ergibt. Diese mechanische Leistung ist eine abgegebene Leistung bei Turbinen und eine zugeführte Leistung bei Kompressoren und Pumpen.

Dominik Surek, Silke Stempin

13. Grundlagen der Mehrphasenströmung

In vielen technologischen Bereichen fallen Gas-Feststoffgemische (z. B. bei der Rauch- und Abgasreinigung, bei der Staub- oder Späneabsaugung) oder Flüssigkeits-Gasgemische (z. B. beim Lackieren, im Sprühstrahl, bei der Kraftstoffzerstäubung im Motorzylinder) oder in der Verfahrenstechnik und bei der Zuckerrübenreinigung Flüssigkeits- Gasgemische oder Flüssigkeits-Feststoffgemische an, die transportiert oder auch separiert werden müssen.Feinkörnige Güter wie z. B. Getreide, Mehl, Zucker, Sand, Kies oder Zement werden als Feststoffkomponenten pneumatisch transportiert. Ebenso werden fein verteilte Flüssigkeitstropfen im Luftstrom gefördert. Beim Rohrleitungstransport unterscheidet man den hydraulischen Transport mit Flüssigkeit als Transportmittel und den pneumatischen Transport mit Luft als Transportmittel vorwiegend für den Nahtransport. In Tab. 13.1 ist eine Klassifizierung der Mehrphasenströmungen vorgenommen worden und Tab. 13.2 zeigt die Güter die in Rohrleitungen hydraulisch oder pneumatisch bei unterschiedlichen Entfernungen transportiert werden.

Dominik Surek, Silke Stempin

14. Strömungstechnische Messtechnik

Die Aufgabe der strömungstechnischen Messtechnik ist die Bestimmung von Druck, Geschwindigkeit, Temperatur, Volumen- und Massestrom. Dafür gibt es strömungstechnische und elektronische Sonden verschiedener Bauart. Der statische Druck kann mittels Wandanbohrung, mittels Pitotrohr (Henri de Pitot 1695–1771) oder Prandtlrohr (Ludwig Prandtl 1875–1953) gemessen und am U-Rohrmanometer oder am Schrägrohrmanometer angezeigt werden. Die momentane und die mittlere Strömungsgeschwindigkeit in Größe und Richtung kann mittels Sonden gemessen werden, die in den Strömungsraum eingebracht werden und dadurch aber die Strömung beeinflussen oder berührungslos mittels Licht- oder Laserlichtstrahlen.

Dominik Surek, Silke Stempin

15. Lösungen

Dominik Surek, Silke Stempin

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