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Erschienen in:
2015 | OriginalPaper | Buchkapitel
2. Teilbarkeit und Primzahlen
verfasst von : Rainer Schulze-Pillot
Erschienen in: Einführung in Algebra und Zahlentheorie
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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Zusammenfassung
In diesem Kapitel untersuchen wir die Teilbarkeitsrelation im Ring \({\mathbb{Z}}\) der ganzen Zahlen. Dabei stellt sich heraus, dass sich viele Eigenschaften der Teilbarkeit in \({\mathbb{Z}}\) bereits zeigen lassen, wenn man nur einen kleinen Teil der Struktur von \({\mathbb{Z}}\) voraussetzt; diese Eigenschaften können also auf viele andere Ringe übertragen werden, etwa auf Polynomringe in einer oder in mehreren Variablen. Deshalb beginnen wir mit den schwächsten Voraussetzungen, unter denen sich eine Teilbarkeitstheorie sinnvoll formulieren lässt, und betrachten zunächst Teilbarkeitstheorie in einem beliebigen kommutativen Ring mit Einselement, der nullteilerfrei ist (einem Integritätsbereich). Wir kehren dann wieder zu den natürlichen Zahlen zurück und untersuchen Primzahlen und den Fundamentalsatz der Arithmetik über die eindeutige Zerlegung einer beliebigen natürlichen Zahl in ein Produkt von Primzahlen bzw. Primzahlpotenzen.