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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch aus der Reihe „Grundlagen der Physikalischen und Mathematischen Geodäsie“ widmet sich den terrestrischen Verfahren der Physikalischen Geodäsie.

Der Autor schlägt eine Brücke von den klassischen Verfahren der Erdmessung zu den modernen Methoden. Dafür wird eine kurze überblicksartige Zusammenfassung der historischen Entwicklung der Bestimmung der Erdfigur bis zu den ersten Ansätzen eines dynamischen Erdmodells gegeben. Es folgt eine Erläuterung der Bestimmung von Figur und Schwerefeld der Erde mit Hilfe der Lösung einer freien Randwertaufgabe nach Stokes und Molodensky.

Darauf aufbauend werden die verschiedenen Aspekte der Geoidberechnung behandelt. Dann stellt der Autor den modernen Ansatz, Figur und Schwerefeld der Erde als Approximationsproblem zu lösen, ausführlich dar – beginnend von Interpolationsansätzen über die Gaußsche Fehlerquadratmethode bis zur sog. Kollokation nach kleinsten Quadraten.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Historische Entwicklung

Zusammenfassung
In einem einführenden Abschnitt wird die Entwicklung der Geodäsie geschildert, soweit die Bestimmung der Erdfigur betroffen ist. Der historische Überblick behandelt die Vorstellungen von der Erde im Altertum und im Mittelalter. Eine genauere Kenntnis von der Figur der Erde entwickelte sich erst in der Neuzeit mit der Kopernikanischen Wende. Im Vordergrund der Bemühungen stand die Erforschung der Figur der Erde und insbesondere die Bestimmung der Parameter eines Erdellipsoides, das als Grundlage für die Landesvermessungen von großer Bedeutung war. Insbesondere die Gradmessungen und die Berechnungsverfahren beherrschten die Entwicklung der geodätischen Methoden in dieser Zeit. Nur andeutungsweise wurde auf die Bedeutung des Schwerefeldes für die Erdfigur hingewiesen. Allerdings gab es zu diesem Zeitpunkt auch keine Möglichkeit das Schwerefeld flächenhaft zu bestimmen.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 2. Der Weg zum dynamischen Erdsystem-Modell

Zusammenfassung
Insbesondere Ende des neunzehnten und Anfang des zwanzigsten Jahrhundert ergaben sich umwälzende Neuerungen für die Erforschung der Figur und des Schwerefeldes der Erde. Dies wurde ermöglicht durch die Entwicklung präziser transportabler Beobachtungsinstrumente und vor allem auch durch die Weiterentwicklung von geeigneten Berechnungsmethoden. Elemente der Suche nach der „wahren“ Gestalt der Erde waren die zahlreichen Gradmessungen und Ellipsoid-Bestimmungen und die Entwicklung von Verfahren zur Berechnung der Triangulationsnetze. In dieser Zeit wurde man sich auch bewusst, dass die Bestimmung des Schwerefeldes ein wichtiger Aspekt der Erdfigur ist. Erste Überlegungen integrierten auch geophysikalische Elemente in die geodätischen Forschungsfelder. In den letzten fünfzig Jahren trat die Bestimmung eines dynamischen Erdmodells zunehmend in den Vordergrund geodätischer Bemühungen.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 3. Randwertprobleme der Geodäsie

Zusammenfassung
Im Kapitel 3 werden wichtige mathematische Zusammenhänge zur Bestimmung des Schwerefeldes erläutert. Insbesondere die Einführung von Näherungsmodellen für Figur und Schwerefeld der Erde spielt eine wichtige Rolle bei der Lösung des geodätischen Randwertproblems. Es werden verschiedene Begriffe erläutert, die hierzu notwendig sind, wie beispielsweise Anomalien, Störpotential und der Zusammenhang zwischen Schwereanomalien und dem Störpotential. Ein wichtiger Aspekt ist die Linearisierung und die Einführung sphärischer Näherungen als Vorbereitung für die Lösung der geodätischen Randwertproblems.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 4. Normalfeld, Normalfigur

Zusammenfassung
Das Kapitel 4 ist insbesondere den Näherungen für Erdfigur und Schwerefeld gewidmet, dem sog. Normalfeld und der Normalfigur. Es werden mathematische Beziehungen für das Normalschwerefeld abgeleitet und Begriffe wie das Theorem von Clairaut eingeführt und Festlegungen für ein Normalfeld diskutiert. Ein wesentlicher Aspekt dieses Kapitels sind die Berechnungsverfahren im Normalschwerefeld und die Definition von Ellipsoidparametern und von Geodätischen Referenzsystemen. Die Berechnungsverfahren beinhalten die Berechnung der Normalschwere und der Normalschweregradienten wie auch die Berechnung der höhenabhängigen Normalschwere. Die Vereinbarungen gewisser grundlegender Parameter führen dann zur Definition eines Geodätischen Weltsystems.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 5. Das freie Randwertproblem von Stokes

Zusammenfassung
Das Kapitel 5 gibt schließlich eine Einführung in das freie geodätische Randwertproblem, das bereits von Stokes in der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts formuliert worden war, aber wegen fehlender Messwerte weit entfernt von einer praktischen Lösbarkeit war. Es werden das skalare freie Randwertproblem von Stokes in einem Abschnitt behandelt und die Formeln von Stokes, Bruns und Vening-Meinesz abgeleitet. In einem weiteren Abschnitt wird das in der Praxis weniger bedeutsame vektorielle Randwertproblem von Stokes behandelt. Es werden die Unterschiede zwischen diesen beiden Varianten des Stokesschen Randwertproblems diskutiert und schließlich verschiedene linearen Funktional des Störpotentials abgeleitet. Von besonderer Bedeutung sind auch die Entwicklungen der Funktionale des Störpotentials nach Kugelfunktionen und die spektralen Beziehungen zwischen diesen Darstellungen.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 6. Aspekte der Geoidberechnung

Zusammenfassung
Das Kapitel 6 ist den Methoden der praktischen Geoidberechnung gewidmet. Zunächst wird der wichtige Aspekt der Reduktion von Schwerefeldbeobachtungen von der Erdoberfläche auf das Geoid behandelt. Es werden die Formeln für die Freiluftreduktion, für die Geländereduktion und für die isostatischen Reduktionen abgeleitet und der sog. indirekte Effekt erläutert. Weitere Regularisierungsmethoden sind die Kondensationsreduktion nach Helmert und die Inversionsreduktion von Rudzki. Schließlich werden praktische Aspekte der Geoidberechnung behandelt: das sind die Berücksichtigung der atmosphärischen Massen und die verschiedenen numerischen Berechnungsverfahren der zu lösenden Integrale, wobei insbesondere die Methoden der schnellen Forier-Transformation von Bedeutung sind.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 7. Das freie Randwertproblem von Molodensky

Zusammenfassung
In den letzten fünfzig Jahren wurde eine in gewisser Weise strengere Variante des geodätischen Randwertproblems diskutiert, das freie Randwertproblem von Molodensky. Es hat den Vorteil, keine Annahmen über die Dichteverteilung in der Erdkruste machen zu müssen. Allerdings hat das freie Randwertproblem angesichts der hohen Positionierungsgenauigkeiten nicht mehr die herausragende Bedeutung und ist vielmehr durch das fixe Randwertproblem von Molodensky abgelöst worden. Das Telluroid, als Element des Molodenskyschen Lösungsansatzes, hat auch deshalb große Bedeutung, da sich moderne Höhensysteme auf die sog. Normalhöhe beziehen, definiert im Zusammenhang mit der Theorie von Molodensky. In vielen Fällen wurden die normalorthometrischen bzw. orthometrischen Höhen durch die Normalhöhen abgelöst und werden vorzugsweise in den Landesvermessungswerken als Standardhöhen eingeführt.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 8. Weitere Randwertprobleme

Zusammenfassung
Die Verfügbarkeit neuartiger Beobachtungen, insbesondere im Zusammenhang mit präzisen Positionierungsverfahren, hat alternative Ansätze zur Lösung des geodätischen Randwertproblems ermöglicht. Insbesondere das geodätische Randwertproblem bei bekannter Randfläche hat unter der Bezeichnung „fixes schiefachsiges Randwertproblem“, bei dem lediglich die Bestimmung des Schwerefeldes als Zielgröße im Mittelpunkt steht, hat eine gewisse Bedeutung erlangt. Aber auch das sog. gemischte Randwertproblem, bei dem als Datensatz verschiedene geodätische Observable in die Lösung eingehen oder das überbestimmte geodätische Randwertproblem hat ein gewisses Interesse geweckt. Insbesondere die letzten beiden Varianten der geodätischen Randwertaufgaben sind wohl durch alternative geodätische Methoden, wie beispielsweise die Methoden der „Integrierten Geodäsie“ überflüssig geworden.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 9. Approximationsprobleme in der Geodäsie

Zusammenfassung
Das Kapitel 9 gibt eine überblicksartige Einführung in die geodätisch relevanten Approximationsaufgaben. Es werden die Eigenschaften und Anforderungen spezifiziert, die eine Approximationsfunktion aufweisen muss, um die anzunähernde Originalfunktion in wichtigen mathematischen Eigenschaften zu entsprechen. Es wird der Unterschied zwischen Modellbildung und Approximation der Realität diskutiert und am Beispiel der Anziehung topographischer Massen demonstriert. In diesem Kapitel wie auch in den folgenden Kapiteln werden die theoretischen Zusammenhänge an praktischen Beispielen demonstriert.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 10. Interpolationsansätze

Zusammenfassung
Im Kapitel 10 werden verschiedene Interpolationsansätze diskutiert und insbesondere auf die Eigenschaften der Basisfunktionen eines Interpolationsansatzes Bezug genommen. In diesem Zusammenhang sind Basisfunktionen mit den Eigenschaften von Tschebyscheff-Systemen von Bedeutung. Insbesondere wird darauf hingewiesen, dass die Basisfunktionen so gewählt werden müssen, dass sie die mathematischen Eigenschaften der zu interpolierenden Funktion repräsentieren. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist der Begriff der verallgemeinerten Interpolation und der Kollokation, mit der die Anpassung einer analytischen Näherungsfunktion an eine Anzahl linearer Funktionale möglich ist. In der Geodäsie hat auch die Interpolation mit sog. Sampling-Funktionen und vor allem die Interpolation mit Kovarianzfunktionen Bedeutung erlangt. In diesem Zusammenhang wird auf die Eigenschaften eines Systems von Lagrangeschen Basisfunktionen für die Zwecke der Interpolation hingewiesen.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 11. Gaußsche Fehlerquadratmethode

Zusammenfassung
Zur Vorbereitung der Interpolation und Kollokation nach kleinsten Quadraten wird die Approximation von diskreten Messreihen und linearen Funktionen in der Quadratnorm behandelt. Diese diskrete und insbesondere die kontinuierliche Gaußsche Fehlerquadratmethode stellen einen wichtigen Baustein der Integrierten Geodäsie dar und dient als Vorbereitung für die Behandlung der Kollokation nach kleinsten Quadraten.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 12. Interpolation und Kollokation

Zusammenfassung
Im Kapitel 12 werden verschiedene Aspekte der Kollokation und der Interpolation behandelt. Als besonderes Basisfunktionensystem werden sog. harmonische Kernfunktionen eingeführt. Insbesondere wird auf die „reproduzierende“ Eigenschaft der Kernfunktionen hingewiesen, weshalb sie auch unter der Bezeichnung reproduzierende Kernfunktionen bekannt sind. Es wird der Unterschied zwischen einer kontinuierlichen Interpolation mit reproduzierenden Kernfunktionen und der diskreten Interpolation mit beliebigen Basisfunktionen diskutiert. Neben der Betrachtung fehlerfreier Beobachtungen, die in einem Interpolationsansatz an den Beobachtungsstellen exakt reproduziert werden, können aber auch zufällige Beobachtungsfehler oder Parameter eines zusätzlichen systematischen Anteils berücksichtigt werden. Mit diesen Erweiterungen gelangt man zur Kollokation nach der Methode der kleinsten Quadrate.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 13. Kollokation und vermittelnde Ausgleichung

Zusammenfassung
Im Kapitel 13 werden gewisse Zusammenhänge der Kollokation nach kleinsten Quadraten und der vermittelnden Ausgleichung diskutiert. Die Bedeutung der Kollokation nach der Methode der kleinsten Quadrate als universellen Verarbeitungsalgorithmus heterogener geodätischer Beobachtungsfunktionale übersteigt diejenige eines bloßen Ausgleichungsformalismus. Der Ansatz der vermittelnden Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate geht i. Allg. davon aus, dass keine Informationen über die unbekannten zu bestimmenden Parameter vorhanden sind. In der praktischen Anwendung hat man jedoch häufig eine gewisse Vorstellung von der ungefähren Größe der Parameter, wobei man auch in der Lage ist, einen Variationsbereich anzugeben, innerhalb dem sich die Parameter mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit ergeben müssen. Dies eröffnet die Möglichkeit, Pseudobeobachtungen in das Ausgleichungsmodell einzuführen und die Unsicherheit dieser Pseudobeobachtungen durch die Angabe einer Varianz-Kovarianz-Matrix zu berücksichtigen. Selbstverständlich führt man durch solche Annahmen im Fall stabiler Probleme einen Bias bzw. eine Verzerrung des Ergebnisses in Richtung eines "gewünschten" oder „vermuteten“ Ergebnisses in die Lösung ein. In diesen Fällen sind solche Modellerweiterungen nicht zulässig.
Karl Heinz Ilk

Kapitel 14. Kovarianzfunktionen für das Störpotential

Zusammenfassung
Das Kapitel 14 behandelt die Wahl von globalen Kovarianzfunktionen für die Approximation des Störpotentials und die Möglichkeiten der empirischen Bestimmung von Kovarianzfunktionen. Die Kovarianzfunktion des Störpotentials der Erde ist natürlich unbekannt. Sicher wird sie eine komplizierte Struktur haben, gemessen an der unregelmäßigen Erdoberfläche und den Inhomogenitäten des Dichteaufbaues der oberen Erdschichten. Für die praktische Anwendung strebt man einfache Approximationen der Kovarianzfunktion an, die aus den verfügbaren Informationen des stochastischen Verhaltens des Störpotentials abgeleitet werden können. In diesem Kapitel werden Modelle für die globale Kovarianzfunktion des Störpotentials angegeben wie auch Verfahren für die empirische Bestimmung von Kovarianzfunktionen.
Karl Heinz Ilk

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