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Über dieses Buch

Das "Taschenbuch der Mathematik" von LN. Bronstein und K.A. Semendjajew wurde von Viktor Ziegler aus dem Russischen ins Deutsche übersetzt. Es erschien 1958 im Verlag B.G. Teubner in Leipzig, und bis zum Jahre 1978 lagen bereits 18 Auflagen vor. Unter der Herausgabe von Günter Grosche und Viktor Ziegler erschien 1979 die völlig überarbeitete 19. Auflage, an der Wissenschaftler der Leipziger Universität und anderer Hochschulen des mitteldeutschen Raums mitwirkten. In über drei Jahrzehnten hat sich dieses Nachschlagewerk für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker dank seiner Qualität und dank der kontinuierlichen Verbesserungen, die vom Verlag B.G. Teubner an dem Werk vorgenommen wurden, eine hervorragende Stellung in der wissenschaftlichen Fachliteratur erobert. Den Herausgebern und allen Autoren sei an dieser Stelle nochmals für ihr Engagement gedankt. In den letzten Jahren hat sich die Mathematik außerordentlich stürmisch entwickelt. Eine wesentliche Rolle spielt dabei der Einsatz immer leistungsfähigerer Computer. Ferner stellen die komplizierten Probleme der modernen Hochtechnologie an Ingenieure und Naturwissenschaftler sehr hohe mathematische Anforderungen, wobei Routinekenntnisse nicht mehr ausreichen und die Grenzen zwischen reiner und angewandter Mathematik fließend werden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einleitung

Zusammenfassung
Die Mathematik besitzt eine über 5000 Jahre alte Geschichte. Sie stellt das mächtigste Instrument des menschlichen Geistes dar, um die Naturgesetze präzise zu formulieren. Auf diesem Weg eröffnet sich die Möglichkeit, in die Geheimnisse der Welt der Elementarteilchen und in die unvorstellbaren Weiten unseres Universums vorzudringen.
W. Hackbusch, H. R. Schwarz, E. Zeidler

0. Wichtige Formeln, Graphische Darstellungen und Tabellen

Ohne Zusammenfassung
W. Hackbusch, H. R. Schwarz, E. Zeidler

1. Analysis

Zusammenfassung
Im Mittelpunkt der Analysis steht die Untersuchung von Grenzwerten. Viele wichtige mathematische und physikalische Begriffe lassen sich durch Grenzwerte definieren, z.B. Geschwindigkeit, Beschleunigung, Arbeit, Energie, Leistung, Wirkung, Volumen und Oberfläche eines Körpers, Länge und Krümmung einer Kurve, Krümmung einer Fläche usw. Das Herzstück der Analysis stellt die von Newton (1643–1727) und Leibniz (1646–1716) unabhängig voneinander geschaffene Differential- und Integralrechnung dar. Bis auf wenige Ausnahmen war der antiken Mathematik der Begriff des Grenzwerts fremd. Heute stellt die Analysis eine wichtige Grundlage der mathematischen Beschreibung der Naturwissenschaften2) dar (vgl. Abb. 1.1). Ihre volle Kraft entfaltet jedoch die Analysis erst im Zusammenwirken mit anderen mathematischen Disziplinen, wie zum Beispiel Algebra, Zahlentheorie, Geometrie, Stochastik und Numerik.
W. Hackbusch, H. R. Schwarz, E. Zeidler

2. Algebra

Zusammenfassung
Eine wichtige formale Voraussetzung für die Entwicklung des algebraischen Denkens war der Übergang von der Zahlenrechnung zur Buchstabenrechnung mit unbestimmten Ausdrücken. Diese Revolution in der Mathematik wurde von François Viète (Vieta) in der zweiten Hälfte des 16. Jahrhunderts vollzogen.
W. Hackbusch, H. R. Schwarz, E. Zeidler

3. Geometrie

Zusammenfassung
Die Geometrie der Antike war die euklidische Geometrie, die über 2 000 Jahre lang die Mathematik beherrschte. Die berühmte Frage nach der Existenz nichteuklidischer Geometrien führte im 19. Jahrhundert zur Entwicklung einer Reihe von unterschiedlichen Geometrien. Daraus ergab sich das Problem der Klassifizierung von Geometrien. Der dreiundzwanzigjährige Felix Klein löste dieses Problem und zeigte im Jahre 1872 mit seinem Erlanger Programm, wie man Geometrien mit Hilfe der Gruppentheorie übersichtlich klassifizieren kann. Man benötigt dazu eine Gruppe G von Transformationen. Jede Eigenschaft oder Größe, die bei Anwendung von G invariant (d.h. unverändert) bleibt, ist eine Eigenschaft der zu G gehörigen Geometrie, die man auch G-Geometrie nennt. Von diesem Klassifizierungsprinzip werden wir in diesem Kapitel ständig Gebrauch machen. Wir wollen die Grundidee am Beispiel der euklidischen Geometrie und der Ähnlichkeitsgeometrie erläutern.
W. Hackbusch, H. R. Schwarz, E. Zeidler

4. Grundlagen der Mathematik

Zusammenfassung
Im Unterschied zur Umgangssprache benutzt die Mathematik eine sehr präzise Sprache, deren Grundbegriffe wir hier erläutern wollen.
W. Hackbusch, H. R. Schwarz, E. Zeidler

5. Variationsrechnung und Optimierung — Mathematik des Optimalen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel betrachten wir die Elemente der Variationsrechnung, der Steuerungstheorie und der Optimierungstheorie. Weiterführende Resultate findet man in den Kapiteln 12 und 14 von Teil II. Insbesondere erläutern wir dort den Zusammenhang mit der nichtlinearen Funktionalanalysis, der Theorie nichtlinearer partieller Differentialgleichungen und der modernen Physik. Ferner werden im Kapitel 9 von Teil II über operations research unter anderem die Methoden der konvexen, (diskreten) dynamischen und kombinatorischen Optimierung sowie der Graphentheorie, der Spieltheorie und der Vektoroptimierung betrachtet.2)
W. Hackbusch, H. R. Schwarz, E. Zeidler

6. Stochastik — Mathematik des Zufalls

Zusammenfassung
Die Stochastik beschäftigt sich mit den mathematischen Gesetzmäßigkeiten des Zufalls. Während sich die Wahrscheinlichkeitstheorie den theoretischen Grundlagen widmet, entwickelt die mathematische Statistik auf der Basis der Wahrscheinlichkeitstheorie leistungsfähige Methoden, um aus umfangreichen Meßdaten Erkenntnisse über Gesetzmäßigkeiten des untersuchten Gegenstand zu gewinnen. Deshalb ist die mathematische Statistik ein unverzichtbares mathematisches Instrument für alle Wissenschaften, die mit empirischem Material arbeiten (Medizin, Naturwissenschaften, Sozialwissenschaften und Wirtschaftswissenschaften).
W. Hackbusch, H. R. Schwarz, E. Zeidler

7. Numerik und Wissenschaftliches Rechnen

Zusammenfassung
Dieses Softwaresystem erlaubt eine effektive Durchführung der numerischen Standardverfahren auf dem Personalcomputer.
W. Hackbusch, H. R. Schwarz, E. Zeidler

Backmatter

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