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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Kombinatorik

Zusammenfassung
Die Kombinatorik ist ein Gebiet von grundlegender Bedeutung für die Wahrscheinlichkeitstheorie, die Quantenmechanik von Vielteilchensystemen und die gesamte statistische Physik bis hin zur Fraktaltheorie und zur Chaostheorie. Die moderne Kombinatorik stellt eine sehr komplexe Disziplin dar, und die Erklärung ihres Begriffsinhalts macht gewisse Schwierigkeiten. Unter Kombinatorik hat man grob gesagt den Teil der Analysis der endlichen Mengen (der sogenannten niederen Analysis) zu verstehen, der alle möglichen Anordnungen von Mengenelementen bei bestimmten Nebenbedingungen untersucht, klassifiziert und abzählt. Diese Elemente können insbesondere Teilchen oder Teilchenwege sein, aber auch beispielsweise Graphen bestimmter Typen oder Symbolfolgen. Man hat sogar definiert: Kombinatorik ist die Theorie der endlichen Mengen. Die Kombinatorik bedeutet damit eine Grundlage der modernen diskreten Mathematik, die vor allem für die Computer-Wissenschaft, für Programmiersprachen, für die Kodierungstheorie und überhaupt für alle Problemkreise der Digitalisierung und digitaler Systeme so bedeutungsvoll ist.
Günter Vojta, Matthias Vojta

2. Wahrscheinlichkeitstheorie

Zusammenfassung
Die Wahrscheinlichkeitstheorie oder Stochastik ist ein Fundament der modernen Physik und der Naturwissenschaften insgesamt. Dabei kann man den Einsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie in drei Ebenen sehen.
Günter Vojta, Matthias Vojta

3. Quantenmechanik und Wahrscheinlichkeit

Zusammenfassung
Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie mit allen ihren Erweiterungen und modernen Entwicklungen — im folgenden oft zusammenfassend Quantentheorie genannt — sind probabilistische Theorien: Der Wahrscheinlichkeitsbegriff ist in ihnen fundamental und offenbar nicht zu eliminieren, vgl. Kap. 2.0. Die Quantentheorie als Theorie von (einzelnen) Teilchen und Feldern fungiert als die entscheidende physikalische Grundlage der gesamten statistischen Physik. Dabei sind die Grenzen zwischen Quantentheorie und statistischer Physik fließend; Belege dafür stellen dar
  • die Theorie des quantenmechanischen Meßprozesses
  • die Quantentheorie dissipativer Systeme
  • die Quantentheorie der Vielteilchensysteme und die Quantenfeldtheorie insgesamt.
Günter Vojta, Matthias Vojta

4. Thermodynamik

Zusammenfassung
(1)
Die Konzeption der Thermodynamik (genauer: der phänomenologischen Thermodynamik) als eines Gebietes der theoretischen Physik und der theoretischen Naturwissenschaften insgesamt kann in moderner Sicht etwa folgendermaßen umrissen werden:
  • Gegenstand der Thermodynamik sind alle Systeme, in denen die Temperatur ein Rolle spielt. Das sind Vielteilchensysteme. Die Thermodynamik abstrahiert jedoch von der atomistischen Struktur aller Materie; sie ist eine Kontinuumstheorie oder Feldtheorie.
  • Die Temperatur, genauer die thermodynamische Temperatur oder Kelvin-Temperatur, ist definiert als ein Maß für die mittlere Energie der ungeordneten Bewegung (die thermische Energie) der Teilchen des Systems.
    Im Rahmen der phänomenologischen Thermodynamik selbst wird der Temperaturbegriff über den sogenannten nullten Hauptsatz oder über einen Carnotschen Kreisprozeß oder auf andere Weise eingeführt.
    Eine Grundgröße der Thermodynamik ist die innere Energie eines Systems als Summe der thermischen Energien aller Teilchen des Systems. Äußere Energien, wie sie etwa durch eine Translation des Gesamtsystems (eine Translation des Massenmittelpunktes) oder durch eine Rotation gegeben sind, gehören nicht zum Gegenstand der Thermodynamik.
  • Teilchen in einem thermodynamischen System sind Objekte der Mikrophysik wie Moleküle, Atome, Ionen, Radikale, Atomkerne, Spins, Elektronen, Photonen und alle elementaren Teilchen, aber auch alle Quasiteilchen wie Phononen und Magnonen.
 
Günter Vojta, Matthias Vojta

5. Statistische Physik der Gleichgewichtssysteme

Zusammenfassung
Die statistische Physik ist die allgemeine (mikroskopische, atomistische) Theorie aller Vieltielchensysteme, d.h. Systeme aus vielen Atomen, Molekülen, Elektronen, Nukleonen, Photonen, Quarks,..., Quasiteilchen. Es werden dafür praktisch synonym auch die Bezeichnungen statistische Mechanik oder statistische Thermodynamik verwendet.
Günter Vojta, Matthias Vojta

6. Statistische Physik der Systeme im Nichtgleichgewicht

Zusammenfassung
Die statistische Physik der Systeme im thermodynamischen Nichtgleichgewicht (kurz: Nichtgleichgewichtsstatistik) ist in der Grundlagenforschung und mit ungeheuer zahlreichen Anwendungen heute das umfangreichste Gebiet der statistischen Physik; vgl. Kap. 5.0. Statistische Physik (oder statistische Theorie) irreversibler Prozesse ist dafür eine fast synonyme, aber etwas weniger allgemeine Bezeichnung — beispielsweise ist das Rauschen in einem stationären Nichtgleichgewichtszustand kein irreversibler Prozeß.
Günter Vojta, Matthias Vojta

7. Statistische Physik und Informationstheorie

Zusammenfassung
Zusammenhänge zwischen Informationen über ein physikalisches System und der (thermodynamischen) Entropie dieses Systems sind schon zeitig vermutet und versuchsweise formuliert worden. Das beginnt schon mit dem bekannten Maxwellschen Dämon (1871). Dieser Dämon wurde dann von dem ungarischen Physiker L. Szilard in einer wichtigen Arbeit (1929) gründlich untersucht, und es folgten später zahlreiche Publikationen weiterer Autoren. Der bedeutende Physikochemiker der USA G.N. Lewis schrieb bereits 1930: “Zuwachs an Entropie bedeutet Verlust an Information, und nichts weiter. ” In dem berühmten Lehrbuch “Theorie der Wärme” von R. Becker (1955) findet sich die (unscharfe) Formel Entropie
$$ Entropie S = k \ln (Unkenntnis) $$
(7.1)
Günter Vojta, Matthias Vojta

8. Phasenraummethoden der Quantenstatistik

Zusammenfassung
Phasenraummethoden nehmen in Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie und Quantenstatistik einen wichtigen Platz ein und sind unentbehrlich in Gebieten wie der semiklassischen Quantenmechanik, der Quantenoptik und der quantenstatistischen Kommunikationstheorie. Phasenraumdarstellungen bilden im Prinzip eine strenge Theorie (ohne Näherungen !), sie sind jedoch ein bequemer Ausgangspunkt für Näherungsmethoden, z.B. mit Reihenentwicklungen nach Potenzen der Planck-Konstanten ħ.
Günter Vojta, Matthias Vojta

9. Fraktaltheorie und Perkolationstheorie

Zusammenfassung
Fraktale sind Systeme, z.B. Kurven oder Flächen, mit (meist) gebrochenzahliger räumlicher Dimension. Die Fraktalkonzeption ist ein Musterbeispiel dafür, wie zunächst völlig abstrakte und formale Ergebnisse der mathematischen Grundlagenforschung — man vergleiche das obige Zitat von Poincaré — später doch für die Physik und die Naturwissenschaften insgesamt nicht nur anwendbar werden, sondern auch einen gewaltigen Nutzen bringen und grundlegende Fortschritte ermöglichen.
Günter Vojta, Matthias Vojta

10. Theorie dynamischer Systeme, Chaostheorie, Ergodentheorie

Zusammenfassung
Die Theorie dynamischer Systeme, die Chaostheorie und die Ergodentheorie bilden heute einen zusammenhängenden Komplex moderner Problemkreise, die von grundlegender Bedeutung für die Physik, die Naturwissenschaften insgesamt und zahlreiche angewandte und technische Disziplinen sind. Die Anfänge liegen über 100 Jahre zurück und sind mit den Namen H. Poincaré (dynamische Systeme, Chaos) und L. Boltzmann (Ergodentheorie) verknüpft. Seitdem ist ein riesiges theoretisches Gebäude entstanden, das vor allem von Mathematikern und Physikern geschaffen wurde.
Günter Vojta, Matthias Vojta

11. Statistische Thermodynamik chemischer Systeme

Zusammenfassung
Die Chemie als naturwissenschaftliche Grundlagendisziplin hat seit jeher das Interesse nicht nur der Chemiker, sondern auch der Physiker hervorgerufen. Das zeigen schon die Begriffsbildungen “physikalische Chemie” und “chemische Physik”.
Günter Vojta, Matthias Vojta

12. Statistische Theorie biologischer Systeme

Zusammenfassung
Die Biologie ist heute wohl die Naturwissenschaft mit der größten Faszination. Sie wird in wesentlichen Teilen immer mehr zu einer exakten Wissenschaft. Diese Entwicklung ist begleitet vom Eindringen von Konzeptionen, Modellen und Methoden der theoretischen Physik, darunter der statistischen Physik.
Günter Vojta, Matthias Vojta

13. Synergetik, weitere Anwendungen der statistischen Physik

Zusammenfassung
Die statistische Physik ist eine Grundlage oder ein nützliches Werkzeug für eine ganze Reihe von weiteren Anwendungen, die von der statistischen Theorie beispielsweise von Verkehrsströmen bis zur Theorie großer biologischer, sozialer oder ökonomischer Systeme reichen. Ein besonders wichtiges Beispiel ist das umfangreiche Gebiet der Synergetik. Diese neuartige naturwissenschaftliche Disziplin wurde von dem Stuttgarter Physiker Hermann Haken etwa ab 1970 begründet und definiert als die Wissenschaft von den kooperativen Phänomenen in Vielkomponentensystemen. Damit werden die Wechselwirkungen in den Vielteilchensystemen der statistischen Physik ebenso umfaßt wie etwa die Bildung chemischer und biologischer Strukturen und die Funktionsweisen von biochemischen, genetischen und ökologischen Systemen. Die theoretischen Ansätze hierzu gehen insbesondere von der Thermodynamik, der Stochastik und der statistischen Physik aus.
Günter Vojta, Matthias Vojta

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