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01.08.2016 | Ausgabe 4/2017

Theory of Computing Systems 4/2017

The Advice Complexity of a Class of Hard Online Problems

Zeitschrift:
Theory of Computing Systems > Ausgabe 4/2017
Autoren:
Joan Boyar, Lene M. Favrholdt, Christian Kudahl, Jesper W. Mikkelsen
Wichtige Hinweise
A preliminary version of this paper appeared in the proceedings of the 32nd International Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science (STACS 2015), Leibniz International Proceedings in Informatics 30: 116-129, 2015.
This work was partially supported by the Villum Foundation and the Danish Council for Independent Research, Natural Sciences.

Abstract

The advice complexity of an online problem is a measure of how much knowledge of the future an online algorithm needs in order to achieve a certain competitive ratio. Using advice complexity, we define the first online complexity class, AOC. The class includes independent set, vertex cover, dominating set, and several others as complete problems. AOC-complete problems are hard, since a single wrong answer by the online algorithm can have devastating consequences. For each of these problems, we show that \(\log \left (1+(c-1)^{c-1}/c^{c}\right )n={\Theta } (n/c)\) bits of advice are necessary and sufficient (up to an additive term of \(O(\log n)\)) to achieve a competitive ratio of c. The results are obtained by introducing a new string guessing problem related to those of Emek et al. (Theor. Comput. Sci. 412(24), 2642–2656 2011) and Böckenhauer et al. (Theor. Comput. Sci. 554, 95–108 2014). It turns out that this gives a powerful but easy-to-use method for providing both upper and lower bounds on the advice complexity of an entire class of online problems, the AOC-complete problems. Previous results of Halldórsson et al. (Theor. Comput. Sci. 289(2), 953–962 2002) on online independent set, in a related model, imply that the advice complexity of the problem is Θ(n/c). Our results improve on this by providing an exact formula for the higher-order term. For online disjoint path allocation, Böckenhauer et al. (ISAAC 2009) gave a lower bound of Ω(n/c) and an upper bound of \(O((n\log c)/c)\) on the advice complexity. We improve on the upper bound by a factor of \(\log c\). For the remaining problems, no bounds on their advice complexity were previously known.

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