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Erschienen in:

2014 | OriginalPaper | Buchkapitel

5. The Boussinesq Problem

verfasst von : P. Podio-Guidugli, A. Favata

Erschienen in: Elasticity for Geotechnicians

Verlag: Springer International Publishing

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Abstract

The Boussinesq Problem (Joseph Valentin B., 1842-1929) consists in finding the elastic state in a linearly elastic isotropic half-space, subject to a concentrated load applied in a point of its boundary plane and perpendicular to it. This problem has wide geotechnical applications.

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The information items needed for this calculation are:

$$\begin{aligned} {\varvec{S}}\varvec{g}^1=\sigma {\varvec{r}},\quad {\varvec{S}}\varvec{g}^2={\varvec{S}}\varvec{g}^3={\varvec{0}},\quad {\varvec{S}}{\varvec{h}}=(\sin \vartheta )\sigma {\varvec{r}};\quad {\varvec{r}},_{\vartheta \vartheta }=-{\varvec{r}},\quad {\varvec{r}},_{\varphi \varphi }=-(\sin \vartheta ){\varvec{h}}. \end{aligned}$$

With this, one finds:

$$\begin{aligned} {\varvec{S}},_\rho \varvec{g}^1+{\varvec{S}},_\vartheta \varvec{g}^2+{\varvec{S}},_\varphi \varvec{g}^3&=({\varvec{S}}\varvec{g}^1),_\rho +\;({\varvec{S}}\varvec{g}^2),_\vartheta -\rho ^{-1}{\varvec{S}}{\varvec{r}},_{\vartheta \vartheta } +\;({\varvec{S}}\varvec{g}^3),_\varphi -(\rho \sin ^2\vartheta )^{-1}{\varvec{S}}{\varvec{r}},_{\varphi \varphi }\nonumber \\&=(\sigma {\varvec{r}}),_\rho +\;\rho ^{-1}\sigma {\varvec{r}}\;+ (\rho \sin ^2\vartheta )^{-1}(\sin \vartheta ){\varvec{S}}{\varvec{h}},\nonumber \end{aligned}$$

whence (5.4) easily follows.

On differentiating (5.3) with respect to $\rho $, we quickly find that

$$\begin{aligned} \int _{-\pi /2}^{+\pi /2}\big ( 2\widehat{\sigma }(\rho ,\vartheta )+\rho \widehat{\sigma },_\rho (\rho ,\vartheta ) \big )\cos \vartheta \,d\vartheta =0. \end{aligned}$$

We are then driven to choose a mapping $\widehat{\sigma }$ that satisfies the partial differential equation (5.5).

Point $\vartheta =0$ is the only one in the interval $(-\pi /2,+\pi /2)$ where Eq. (5.7) is singular. The other fundamental solution of this equation being singular at that point is:

https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-319-01258-2_5/MediaObjects/314807_1_En_5_Equ198_HTML.gif

Here is a method to construct this solution. It is not difficult to show that (5.7) is equivalent to

$$\begin{aligned}(\sin \vartheta \,W(\vartheta ))^\prime =0, \end{aligned}$$

where

https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-319-01258-2_5/MediaObjects/314807_1_En_5_Equ199_HTML.gif

is the wronskian of $\widehat{\tau }$ and

https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-319-01258-2_5/MediaObjects/314807_1_En_5_IEq18_HTML.gif

. Hence, modulo a constant,

$$\begin{aligned} W(\vartheta )=\frac{1}{\sin \vartheta }\,, \end{aligned}$$

and the combination of the last two relations yields the following first order ODE for

https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-319-01258-2_5/MediaObjects/314807_1_En_5_IEq19_HTML.gif

https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-319-01258-2_5/MediaObjects/314807_1_En_5_Equ200_HTML.gif

which can be re-written in the form

https://static-content.springer.com/image/chp%3A10.1007%2F978-3-319-01258-2_5/MediaObjects/314807_1_En_5_Equ201_HTML.gif

The last bit of information needed is:

$$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sin \vartheta \cos ^2\vartheta }=\frac{1}{\cos \vartheta }+\log \tan \frac{\vartheta }{2}.\end{aligned}$$

In an attempt to satisfy (2.68) with the field (5.9), it is found that

$$\begin{aligned} \varDelta \widetilde{\varvec{S}}+\frac{1}{1+\nu }\nabla \nabla (\mathrm tr \,\widetilde{\varvec{S}})\ne {\varvec{0}}. \end{aligned}$$

To obtain the last two relations, it is useful to recall that

$$\begin{aligned} \nabla {\varvec{u}}={\varvec{u}},_z\otimes \ {{\varvec{e}}}_1+{\varvec{u}},_r\otimes \ {\varvec{h}}+r^{-1}{\varvec{u}},_\varphi \otimes \ {\varvec{h}}^\prime , \end{aligned}$$

and that the physical components of ${\varvec{u}}$ are:

$$\begin{aligned} u_z:={\varvec{u}}\cdot {{\varvec{e}}}_1,\quad u_r:={\varvec{u}}\cdot {\varvec{h}},\quad u_\varphi :={\varvec{u}}\cdot {\varvec{h}}^\prime . \end{aligned}$$

For an alternative way to deduce this condition, one writes (5.13) and (5.14) in the form:

$$\begin{aligned}(r\sigma _4),_r=-r\sigma _1,z,\quad (r\sigma _4),z=\sigma _3-(r\sigma _2),_r; \end{aligned}$$

differentiates the first equation with respect to $z$, the second with respect to $r$: and finishes by eliminating $(r\sigma _4),_{zr}$.

To take the last step in the calculation, use has been made of the following alternative version of (5.13):

$$\begin{aligned} r^{-1}\sigma _4,_r+\;r^{-2}\sigma _4=-r^{-1}\sigma _1,z. \end{aligned}$$

This condition is arrived at by adding (5.34) and (5.35)$_{1}$ and by taking into account of (5.30).

$R$ is star-shaped if there is a point $p_0\in R$ such that the line segment from $p_0$ to any point $p\in \partial R$ intersects $\partial R$ only at $p$ itself.

Revert to the footnote in Sect. 5.2.2.

On taking both (5.51) and (5.52) into account, (5.40) becomes:

$$\begin{aligned} f=-2\pi \int _{0}^{+\pi /2}\!\!\!(\cos \vartheta \,\widetilde{\tau }_1(\vartheta )+|\sin \vartheta |\widetilde{\tau }_4(\vartheta ))|\sin \vartheta |d\vartheta =-\pi \alpha _0. \end{aligned}$$

In [7], Flamant himself recognizes his debts to Boussinesq.

This result follows from the fact that

$$\begin{aligned}\int \frac{1}{x_2^2+x_3^2}\,dx_3=|x_2|^{-1}\arctan \frac{x_3}{|x_2|}.\end{aligned}$$

Boussinesq J (1878) Équilibre d’élasticité d’un sol isotrope sans pesanteur, supportant différents poids. CR Acad Sci 86:1260–1263MATH

Boussinesq J (1885) Application des Potentiels à l’Étude de l’Équilibre et du Mouvement des Solides Élastiques. Gauthiers-Villars, ParisMATH

Boussinesq J (1888) Équilibre d’élasticité d’un solide sans pesanteur, homogène et isotrope, dont les parties profondes sont maintenues fixes, pendant que sa surface éprouve des pressions ou des déplacements connus, s’annullant hors d’une région restreinte où ils sont arbitraires. CR Acad Sci 106(1043–1048):1119–1123MATH

Bowles JE (1996) Foundation analysis and design. Mcgraw-Hill, New York

Davis RO, Selvadurai APS (1996) Elasticity and geomechanics. Cambridge University Press, Cambridge

Favata A (2012) On the Kelvin problem. J Elast 109:189–204MathSciNetCrossRefMATH

Flamant A (1892) Sur la répartition des pressions dans un solide rectangulaire chargé transversalement. CR Acad Sci 114:1465–1468MATH

Gurtin ME (1972) The linear theory of elasticity. In: Flügge S (ed) Handbuch der Physik, vol VIa/2. Springer, Berlin

Malvern LE (1969) Introduction to the mechanics of a continuous medium. Prentice-Hall, Englewood Cliffs

10.

Selvadurai APS (2007) The analytical method in geomechanics. Appl Mech Rev 60:87–105CrossRef

11.

Timoshenko S, Goodier JN (1951) Theory of elasticity. McGraw-Hill, New YorkMATH

Titel: The Boussinesq Problem
verfasst von: P. Podio-Guidugli
A. Favata
Verlag: Springer International Publishing
Buch: Elasticity for Geotechnicians
Print ISBN: 978-3-319-01257-5

Electronic ISBN: 978-3-319-01258-2

Copyright-Jahr: 2014
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-01258-2_5

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