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01.10.2016 | Ausgabe 4/2016

Journal of Cryptology 4/2016

The \(\mathbb {Q}\)-curve Construction for Endomorphism-Accelerated Elliptic Curves

Zeitschrift:
Journal of Cryptology > Ausgabe 4/2016
Autor:
Benjamin Smith
Wichtige Hinweise
Communicated by Nigel Smart.
This is an extended treatment of the curves and techniques introduced in [43], including two more families of curves, more efficient scalar decompositions, and more detail on exceptional CM curves and four-dimensional decompositions.

Abstract

We give a detailed account of the use of \(\mathbb {Q}\)-curve reductions to construct elliptic curves over \(\mathbb {F}_{p^2}\) with efficiently computable endomorphisms, which can be used to accelerate elliptic curve-based cryptosystems in the same way as Gallant–Lambert–Vanstone (GLV) and Galbraith–Lin–Scott (GLS) endomorphisms. Like GLS (which is a degenerate case of our construction), we offer the advantage over GLV of selecting from a much wider range of curves and thus finding secure group orders when \(p\) is fixed for efficient implementation. Unlike GLS, we also offer the possibility of constructing twist-secure curves. We construct several one-parameter families of elliptic curves over \(\mathbb {F}_{p^2}\) equipped with efficient endomorphisms for every \(p > 3\), and exhibit examples of twist-secure curves over \(\mathbb {F}_{p^2}\) for the efficient Mersenne prime \(p = 2^{127}-1\).

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