nach oben

Erschienen in:

2013 | OriginalPaper | Buchkapitel

7. The Derivative of a Blaschke Product

verfasst von : Javad Mashreghi

Erschienen in: Derivatives of Inner Functions

Verlag: Springer New York

Einloggen

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche, um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config

KI-gestützte Suche

Aus

Abstract

Let (z _n)_{n ≥ 1} be a Blaschke sequence and let

$$B(z) = \prod \limits _{n=1}^{\infty }\frac{\vert {z}_{n}\vert } {{z}_{n}} \,\, \frac{{z}_{n} - z} {1 -\bar{ {z}}_{n}\,z}.$$

For a fixed point $z \in \mathbb{D}$, we know that the partial products

$${B}_{N}(z) = \prod \limits _{n=1}^{N}\frac{\vert {z}_{n}\vert } {{z}_{n}} \,\, \frac{{z}_{n} - z} {1 -\bar{ {z}}_{n}\,z}$$

converge to B(z). Indeed, more is true.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 102.000 Bücher
über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Maschinenbau + Werkstoffe
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 390 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Maschinenbau + Werkstoffe

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Vorheriges Kapitel B p -Means of S′

Nächstes Kapitel H p -Means of B′

Ahern P (1979) On a theorem of Hayman concerning the derivative of a function of bounded characteristic. Pacific J Math 83(2):297–301

Ahern P, Clark D (1971) Radial nth derivatives of Blaschke products. Math Scand 28:189–201

Ahern P, Clark D (1974) On inner functions with H ^p-derivative. Michigan Math J 21:115–127

Ahern P, Clark D (1976) On inner functions with B ^p derivative. Michigan Math J 23(2):107–118

Allen H, Belna C (1972) Singular inner functions with derivative in B ^p. Michigan Math J 19:185–188

Belna C, Muckenhoupt B (1977) The derivative of the atomic function is not in B ^2 ∕ 3. Proc Am Math Soc 63(1):129–130

Belna C, Colwell P, Piranian G (1985) The radial behavior of Blaschke products. Proc Amer Math Soc 93(2):267–271

Beurling A (1948) On two problems concerning linear transformations in Hilbert space. Acta Math 81:239–255

Blaschke W (1915) Eine erweiterung des satzes von vitali über folgen analytischer funktionen. Leipzig Ber 67:194–200

10.

Bourgain J (1993) On the radial variation of bounded analytic functions on the disc. Duke Math J 69(3):671–682

11.

Carathéodory C (1929) Über die winkelderivierten von beschränkten analytischen funktionen. Sitzunber Preuss Akad Wiss 32:39–52

12.

Cargo G (1961) The radial images of Blaschke products. J London Math Soc 36: 424–430

13.

Caughran J, Shields A (1969) Singular inner factors of analytic functions. Michigan Math J 16:409–410

14.

Cohn W (1983) On the H ^p classes of derivatives of functions orthogonal to invariant subspaces. Michigan Math J 30(2):221–229

15.

Collingwood EF, Lohwater AJ (1966) The theory of cluster sets. Cambridge tracts in mathematics and mathematical physics, No 56. Cambridge University Press, Cambridge

16.

Colwell P (1985) Blaschke products. University of Michigan Press, Ann Arbor. Bounded analytic functions

17.

Cullen M (1971) Derivatives of singular inner functions. Michigan Math J 18:283–287

18.

Duren P, Schuster A (2004) Bergman spaces, volume 100 of mathematical surveys and monographs. American Mathematical Society, Providence

19.

Duren P, Romberg B, Shields A (1969) Linear functionals on H ^p spaces with 0 < p < 1. J Reine Angew Math 238:32–60

20.

Fatou P (1906) Séries trigonométriques et séries de Taylor. Acta Math 30(1):335–400

21.

Fricain E, Mashreghi J (2008) Integral means of the derivatives of Blaschke products. Glasg Math J 50(2):233–249

22.

Frostman O (1935) Potentiel d’équilibre et capacité des ensembles avec quelques applications à la théorie des fonctions. Meddel Lund Univ Mat Sem 3

23.

Frostman O (1942) Sur les produits de Blaschke. Kungl. Fysiografiska Sällskapets i Lund Förhandlingar [Proc Roy Physiog Soc Lund] 12(15):169–182

24.

Girela D, Peláez J, Vukotić D (2007) Integrability of the derivative of a Blaschke product. Proc Edinb Math Soc (2), 50(3):673–687

25.

Hardy G, Littlewood J (1932) Some properties of fractional integrals. II. Math Z 34(1):403–439

26.

Hedenmalm H, Korenblum B, Zhu K (2000) Theory of Bergman spaces, volume 199 of graduate texts in mathematics. Springer, New York

27.

Heins M (1951) A residue theorem for finite Blaschke products. Proc Amer Math Soc 2:622–624

28.

Herglotz G (1911) Über potenzreihen mit positivem, reellen teil in einheitskreis. S-B Sächs Akad Wiss Leipzig Math-Natur Kl 63:501–511

29.

Julia G (1920) Extension nouvelle d’un lemme de Schwarz. Acta Math 42(1):349–355

30.

Linden C (1976) H ^p-derivatives of Blaschke products. Michigan Math J 23(1):43–51

31.

Lucas F (1874) Propriétés géométriques des fractionnes rationnelles. CR Acad Sci Paris 77:631–633

32.

Mashreghi J (2002) Expanding a finite Blaschke product. Complex Var Theory Appl 47(3):255–258

33.

Mashreghi J (2009) Representation theorems in Hardy spaces, volume 74 of london mathematical society student texts. Cambridge University Press, Cambridge

34.

Mashreghi J, Shabankhah M (2009) Integral means of the logarithmic derivative of Blaschke products. Comput Methods Funct Theory 9(2):421–433

35.

Nevanlinna R (1929) Über beschränkte analytische funcktionen. Ann Acad Sci Fennicae A 32(7):1–75

36.

Plessner A (1923) Zur theorie der konjugierten trigonometrischen reihen. Mitt Math Sem Giessen 10:1–36

37.

Privalov I (1918) Intégral de cauchy. Bulletin de l’Université, à Saratov

38.

Privalov I (1924) Sur certaines propriétés métriques des fonctions analytiques. J de l’École Polytech 24:77–112

39.

Protas D (1973) Blaschke products with derivative in H ^p and B ^p. Michigan Math J 20:393–396

40.

Riesz F (1923) Über die Randwerte einer analytischen Funktion. Math Z 18(1):87–95

41.

Riesz M (1931) Sur certaines inégalités dans la théorie des fonctions avec quelques remarques sur les géometries non-euclidiennes. Kungl Fysiogr Sällsk i Lund 1(4): 18–38

42.

Rudin W (1955) The radial variation of analytic functions. Duke Math J 22:235–242

43.

Seidel W (1934) On the distribution of values of bounded analytic functions. Trans Am Math Soc 36(1):201–226

44.

Tsuji M (1959) Potential theory in modern function theory. Maruzen, Tokyo

45.

Vukotić D (2003) The isoperimetric inequality and a theorem of Hardy and Littlewood. Am Math Mon 110(6):532–536

46.

Walsh JL (1939) Note on the location of zeros of the derivative of a rational function whose zeros and poles are symmetric in a circle. Bull Am Math Soc 45(6):462–470

Titel: The Derivative of a Blaschke Product
verfasst von: Javad Mashreghi
Verlag: Springer New York
Buch: Derivatives of Inner Functions
Print ISBN: 978-1-4614-5610-0

Electronic ISBN: 978-1-4614-5611-7

Copyright-Jahr: 2013
DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-5611-7_7

Springer Professional

Abstract

Bitte loggen Sie sich ein, um Zugang zu Ihrer Lizenz zu erhalten.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Springer Professional "Technik"

Springer Professional "Wirtschaft"