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01.08.2014 | Ausgabe 2/2014

Theory of Computing Systems 2/2014

The Equivalence of Sampling and Searching

Zeitschrift:
Theory of Computing Systems > Ausgabe 2/2014
Autor:
Scott Aaronson
Wichtige Hinweise
This material is based upon work supported by the National Science Foundation under Grant No. 0844626, a TIBCO Chair, and an Alan T. Waterman award.

Abstract

In a sampling problem, we are given an input x∈{0,1}n, and asked to sample approximately from a probability distribution \(\mathcal{D}_{x}\) over \(\operatorname{poly} ( n ) \)-bit strings. In a search problem, we are given an input x∈{0,1}n, and asked to find a member of a nonempty set Ax with high probability. (An example is finding a Nash equilibrium.) In this paper, we use tools from Kolmogorov complexity to show that sampling and search problems are “essentially equivalent.” More precisely, for any sampling problem S, there exists a search problem RS such that, if \(\mathcal{C}\) is any “reasonable” complexity class, then RS is in the search version of \(\mathcal{C}\) if and only if S is in the sampling version. What makes this nontrivial is that the same RS works for every \(\mathcal{C}\).
As an application, we prove the surprising result that SampP=SampBQPif and only ifFBPP=FBQP. In other words, classical computers can efficiently sample the output distribution of every quantum circuit, if and only if they can efficiently solve every search problem that quantum computers can solve.

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