The Hajós property

In Section 1.1 we mentioned that a finite abelian group G possesses the Hajós 2-property if and only if G is a subgroup of a group of type <math display='block'> <mrow> <mtable columnalign='left'> <mtr columnalign='left'> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mi>&#x03B1;</mi> </msup> <mo>,</mo><mi>q</mi> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo><msup> <mi>q</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo><mi>r</mi> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <mi>p</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>s</mi> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr columnalign='left'> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mn>3</mn> </msup> <mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>p</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <mi>p</mi><mo>,</mo><msup> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo><mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <mi>p</mi><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr columnalign='left'> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <mi>p</mi><mo>,</mo><mi>q</mi><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <mi>p</mi><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>3</mn> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>3</mn> <mn>3</mn> </msup> <mo>,</mo><mn>3</mn> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mi>&#x03B1;</mi> </msup> <mo>,</mo><mn>2</mn> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr columnalign='left'> <mtd columnalign='left'> <mrow></mrow> </mtd> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <msup> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msup> <mo>,</mo><msup> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msup> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd columnalign='left'> <mrow> <mrow><mo>(</mo> <mrow> <mi>p</mi><mo>,</mo><mi>p</mi> </mrow> <mo>)</mo></mrow><mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd columnalign='left'> <mrow></mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mrow> </math>$$\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {{p^\alpha },q} \right),}&{\left( {{p^2},{q^2}} \right),}&{\left( {{p^2},q,r} \right),}&{\left( {p,q,r,s} \right),} \\ {\left( {{p^3},2,2} \right),}&{\left( {{p^2},2,2,2} \right),}&{\left( {p,{2^2},2} \right),}&{\left( {p,2,2,2,2} \right),} \\ {\left( {p,q,2,2} \right),}&{\left( {p,3,3} \right),}&{\left( {{3^3},3} \right),}&{\left( {{2^\alpha },2} \right),} \\ {}&{\left( {{2^2},{2^2}} \right),}&{\left( {p,p} \right).}&{} \end{array}$$. Here p, q, r, s are distinct primes, the p = 2 or p = 3 cases are not excluded and α ≥ 3 is an integer.