nach oben

Erschienen in:

2020 | OriginalPaper | Buchkapitel

The Halfspace Depth Characterization Problem

verfasst von : Stanislav Nagy

Erschienen in: Nonparametric Statistics

Verlag: Springer International Publishing

Einloggen

Aktivieren Sie unsere intelligente Suche, um passende Fachinhalte oder Patente zu finden.

search-config

KI-gestützte Suche

Aus

Abstract

The halfspace depth characterization conjecture states that for any two distinct (probability) measures P and Q in the d-dimensional Euclidean space, there exists a point at which the halfspace depths of P and Q differ. Until recently, it was widely believed that this conjecture holds true for all integers \(d \ge 1\). In several research papers dealing with this problem, partial positive results towards the complete characterization of measures by their depths can be found. We provide a comprehensive review of this literature, point out to certain difficulties with some of these earlier results and construct examples of distinct (probability or finite) measures whose halfspace depths coincide at all points of the sample space, for all integers \(d > 1\).

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft+Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 102.000 Bücher
über 537 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Maschinenbau + Werkstoffe
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Technik"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Technik" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 390 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Automobil + Motoren
Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Elektrotechnik + Elektronik
Energie + Nachhaltigkeit
Maschinenbau + Werkstoffe

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Springer Professional "Wirtschaft"

Online-Abonnement

Mit Springer Professional "Wirtschaft" erhalten Sie Zugriff auf:

über 67.000 Bücher
über 340 Zeitschriften

aus folgenden Fachgebieten:

Bauwesen + Immobilien
Business IT + Informatik
Finance + Banking
Management + Führung
Marketing + Vertrieb
Versicherung + Risiko

Jetzt Wissensvorsprung sichern!

Jetzt informieren

Vorheriges Kapitel United Statistical Algorithms and Data Science: An Introduction to the Principles

Nächstes Kapitel A Component Multiplicative Error Model for Realized Volatility Measures

Detailed computations are omitted from the present note due to space restrictions. They are available online at http://www.karlin.mff.cuni.cz/~nagy/ or upon request from the author.

Inspection of the proof of [2, Lemma 2.2] shows that in the formula on page 2308, line 6 of [2], \(x_{n_{k}^*}\) cannot be replaced by x.

Measures from Sect. 2.1 are not compactly supported. But, also for compactly supported measures, the depth level sets may fail to be strictly convex, see [13, Example 7].

Chen, Z., Tyler, D.E.: On the behavior of Tukey’s depth and median under symmetric stable distributions. J. Stat. Plan. Infer. 122(1–2), 111–124 (2004)MathSciNetCrossRef

Cuesta-Albertos, J.A., Nieto-Reyes, A.: The Tukey and the random Tukey depths characterize discrete distributions. J. Multivar. Anal. 99(10), 2304–2311 (2008)MathSciNetCrossRef

Dupin, C.: Applications de Géométrie et de Méchanique. Bachelier, Paris (1822)

Hassairi, A., Regaieg, O.: On the Tukey depth of an atomic measure. Stat. Methodol. 4(2), 244–249 (2007)MathSciNetCrossRef

Hassairi, A., Regaieg, O.: On the Tukey depth of a continuous probability distribution. Stat. Probab. Lett. 78(15), 2308–2313 (2008)MathSciNetCrossRef

Kong, L., Mizera, I.: Quantile tomography: using quantiles with multivariate data. Stat. Sinica 22(4), 1589–1610 (2012)MathSciNetMATH

Kong, L., Zuo, Y.: Smooth depth contours characterize the underlying distribution. J. Multivar. Anal. 101(9), 2222–2226 (2010)MathSciNetCrossRef

Koshevoy, G., Mosler, K.: Lift zonoids, random convex hulls and the variability of random vectors. Bernoulli 4(3), 377–399 (1998)MathSciNetCrossRef

Koshevoy, G.A.: The Tukey depth characterizes the atomic measure. J. Multivar. Anal. 83(2), 360–364 (2002)MathSciNetCrossRef

10.

Koshevoy, G.A.: Lift-zonoid and multivariate depths. In: Developments in Robust Statistics (Vorau, 2001), pp. 194–202. Physica, Heidelberg (2003)

11.

Massé, J.-C., Theodorescu, R.: Halfplane trimming for bivariate distributions. J. Multivar. Anal. 48(2), 188–202 (1994)MathSciNetCrossRef

12.

Nagy, S.: Halfspace depth does not characterize probability distributions. Statist. Papers, 2019. To appear

13.

Nagy, S., Schütt, C., Werner, E.M.: Halfspace depth and floating body. Stat. Surv. 13, 52–118 (2019)MathSciNetCrossRef

14.

Rousseeuw, P.J., Ruts, I.: The depth function of a population distribution. Metrika 49(3), 213–244 (1999)MathSciNetMATH

15.

Struyf, A., Rousseeuw, P.J.: Halfspace depth and regression depth characterize the empirical distribution. J. Multiv. Anal. 69(1), 135–153 (1999)MathSciNetCrossRef

16.

Tukey, J.W.: Mathematics and the picturing of data. In: Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Vancouver, B. C., 1974), Vol. 2, pp. 523–531. Canad. Math. Congress, Montreal, Que., 1975

Titel: The Halfspace Depth Characterization Problem
verfasst von: Stanislav Nagy
Verlag: Springer International Publishing
Buch: Nonparametric Statistics
Print ISBN: 978-3-030-57305-8

Electronic ISBN: 978-3-030-57306-5

Copyright-Jahr: 2020
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-57306-5_34

Springer Professional

Abstract

Bitte loggen Sie sich ein, um Zugang zu Ihrer Lizenz zu erhalten.

Sie haben noch keine Lizenz? Dann Informieren Sie sich jetzt über unsere Produkte:

Springer Professional "Wirtschaft+Technik"

Springer Professional "Technik"

Springer Professional "Wirtschaft"