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01.12.2016 | Research | Ausgabe 1/2016 Open Access

Journal of Inequalities and Applications 1/2016

The quadratic variation for mixed-fractional Brownian motion

Zeitschrift:
Journal of Inequalities and Applications > Ausgabe 1/2016
Autoren:
Han Gao, Kun He, Litan Yan
Wichtige Hinweise

Competing interests

The authors declare that they have no competing interests.

Authors’ contributions

LTY carried out the mathematical studies, participated in the sequence alignment and drafted the manuscript. HG participated in the design of the study and performed the proofs of some inequalities. All authors read and approved the final manuscript.

Abstract

Let \({W}=\lambda B+\nu B^{H}\) be a mixed-fractional Brownian motion with Hurst index \(0< H<\frac{1}{2}\) and \(\lambda,\nu\neq0\). In this paper we study the quadratic covariation \([f({W}),{W}]^{(H)}\) defined by
$$\bigl[f({W}),{W}\bigr]^{(H)}_{t}:=\lim_{\varepsilon\downarrow 0} \frac{1}{\nu^{2}\varepsilon^{2H}} \int_{0}^{t} \bigl\{ f({W}_{ s+\varepsilon})-f({W}_{s}) \bigr\} ({W}_{s+\varepsilon}-{W}_{s}) \,d\eta_{s} $$
in probability, where f is a Borel function and \(\eta_{s}=\lambda^{2}s+\nu^{2}s^{2H}\). For some suitable function f we show that the quadratic covariation exists in \(L^{2}(\Omega)\) and the Itô formula
$$F({W}_{t})=F(0)+ \int_{0}^{t}f({W}_{s})\,dW_{s}+ \frac{1}{2}\bigl[f({W}),{W}\bigr]^{(H)}_{t} $$
holds for all absolutely continuous function F with \(F'=f\), where the integral is the Skorohod integral with respect to W.

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