Theoretische Festkörperphysik

Die Festkörperphysik befaßt sich mit den Eigenschaften von Materie im festen Aggregatzustand, insbesondere mit der Struktur, den elektronischen und den thermischen Eigenschaften fester Körper. Ein fester Körper besteht wie alle kondensierte Materie, d. h. Materie, wie wir sie unter normalen Umständen (Drucken und Temperaturen) vorfinden, aus Atomen, die durch chemische Bindungen zusammengehalten werden. Er unterscheidet sich insofern zunächst nur dadurch von einem Molekül, daß die Anzahl der beteiligten Atome so groß ist, daß der Festkörper als ganzes ein makroskopisches Objekt ist.Während in einemMolekül die Zahl der beteiligten Atome zwischen 2 und einigen 1000 beträgt, besteht ein makroskopischer Festkörper aus größenordnungsmäßig 10²³ Atomen, also einer unvorstellbar großen Zahl von Konstituenten.

Es ist eine experimentelle Erfahrungstatsache, daß der thermodynamisch stabilste Zustand von Materie im allgemeinen der kristalline Zustand ist, bei dem die Atome oder die molekulare Baugruppe periodisch angeordnet sind. Es ist physikalisch unmittelbar klar, daß es für ein System aus mehreren oder beim Festkörper sehr vielen Atomen oder Molekülen, die eine Bindung miteinander eingehen und daher miteinander wechselwirken, eine Gleichgewichtskonfiguration geben muß, die dem absoluten Minimum des Wechselwirkungspotential entspricht. Bei hinreichend tiefen Temperaturen wird diese Gleichgewichtskonfiguration angenommen.Wenn ein System aus sehr vielen gleichen Atomen oder sonstigen molekularen Bausteinen besteht und insgesamt makroskopisch groß ist, muß die Umgebung von jedem Baustein aus gesehen gleich aussehen, womit verständlich wird, daß eine periodische, translationsinvariante Anordnung zustandekommt. Außerdem ist klar, daß eine periodische Anordnung im Vergleich zu anderen denkbaren Anordnungen der geordnetere Zustand mit der größeren Symmetrie ist und damit die geringere Entropie aufweist, so daß der kristalline Zustand bei tiefen Temperaturen im thermodynamischen Gleichgewicht angenommen wird.

Wir beginnen mit der expliziten Angabe des in der Einleitung erwähnten allgemeinen Festkörper-Hamilton-Operators. Ein Festkörper besteht aus \( N_{{\text{K}}} \) Atomkernen der Massen \( M_k \) und Ladungszahlen \( Z_k \) (d.h. Ladung \( Z_k e \)), wobei \( e \) die (positive) Elementarladung bezeichnet, und \( N_{{{{\text{ e}}}}} \) Elektronen der Ladung \( -e \). Wegen Ladungsneutralität gilt dann schon einmal Falls \( N_{{\text{K}}} \) identische Atomkerne mit Masse \( M \) und Kernladungszahl \( Z \) vorliegen, gilt \( N_{{\text{e}}} = Z N_{{\text{K}}} \).

Wir betrachten in diesem Kapitel \( N \) Massenpunkte (Atomkerne oder Ionen), die miteinander über ein effektives Potential \( V_{\text{eff}}(\vec{R}_1,\ldots,\vec{R}_N) \) von der im vorigen Kapitel diskutierten Art wechselwirken. Der Hamilton-Operator bzw. die klassische Hamilton-Funktion hat die Gestalt:

In diesem Kapitel werden wir eine Reihe von vereinfachenden und eigentlich nicht realistischen Modellannahmen machen, die aber sehr nützlich sind, um die Grundlagen der elektronischen Struktur von Festkörpern zu verstehen. In späteren Kapiteln werden wir dann sehen, wie man zumindest einige dieser Annahmen rechtfertigen kann. Zunächst soll das Gitter als starr betrachtet werden, d. h. die Gitterbausteine (die Ionen) sind an festen Positionen R _n . Diese Annahme ist auch im Sinn der Born-Oppenheimer-Näherung zur Entkopplung von Gitter- und Elektronen- Freiheitsgraden vernünftig. Zusätzlich wollen wir annehmen, daß die Positionen der Atomkerne die Gittervektoren eines Bravais-Gitters sind. Dies ist streng genommen nur für sehr tiefe Temperaturen gültig; wir werden trotzdem später die Thermodynamik für Elektronen in einem streng periodischen Potential berechnen, also den Einfluß endlicher Temperatur in Betracht ziehen, obwohl wir wissen, daß es bei jeder endlichen Temperatur auch Auslenkungen der Ionen aus den Gleichgewichtslagen gibt. Die gröbste Vernachlässigung dieses Kapitels ist aber die, jegliche Wechselwirkung der Elektronen untereinander wegzulassen. Da die Coulomb-Abstoßung der Elektronen groß ist (Größenordnung einige eV), gibt es dafür zunächst keinen naheliegenden Grund. In einem späteren Kapitel werden wir aber die Elektron- Elektron-Wechselwirkung explizit betrachten und dabei sehen, daß man vielfach ein wechselwirkendes Elektronensystem auf ein nichtwechselwirkendes System mit effektiven Parametern abbilden kann; die Wechselwirkung steckt dann nur noch in den Parametern, die in der Regel selbstkonsistent zu bestimmen sind.

Wir haben im letzten Kapitel dieWechselwirkung der Elektronen untereinander vernachlässigt, was letztlich quantitativ nicht zu rechtfertigen ist. Quantenmechanisch hat man dann nur ein Einteilchenproblem zu lösen, nämlich das eines Elektrons im periodischen Potential, was zumindest schon die Ausbildung von Energiebändern und Bandlücken verstehen läßt. Ein Vielteilchenproblem wurde nur in Form des aus der Grundvorlesung über Statistische Physik bekannten idealen Fermigases behandelt, aber dabei werden Vielteilcheneffekte nur über das Pauli-Prinzip berücksichtigt. EchteWechselwirkungen und Korrelationen zwischen den Elektronen sind bisher nicht betrachtet worden.

Eine der wichtigsten Eigenschaften von Metallen ist die Tatsache, daß sie elektrischen Strom transportieren können. Für den Transport des elektrischen Stroms sind die quasifreien Elektronen verantwortlich. Diese liefern bei Metallen nicht nur den alleinigen Beitrag zur elektrischen Leitfähigkeit sondern außerdem noch einen Hauptbeitrag zurWärmeleitfähigkeit, zu der aber auch die Phononen beitragen. Daneben gibt es noch thermoelektrische Effekte, also z. B. einen Wärmestrom infolge eines elektrischen Feldes etc. Außerdem sind elektronische Transporteigenschaften auch in Halbleitern wichtig, in denen es bei endlicher Temperatur und insbesondere bei Dotierung ja auch quasifreie Ladungsträger (allerdings wesentlich geringerer Dichte als in Metallen) gibt; dafür sind dann in Halbleitern in der Regel zwei Arten von quasifreien Ladungsträgern vorhanden, nämlich Elektronen im Leitungsband und Löcher im Valenzband. In diesem einleitenden Kapitel soll zunächst ein Überblick über die verschiedenen elektronischen Transportphänomene und einfache, klassisch-phänomenologische Modellvorstellungen dafür gegeben werden.

Läßt man elektromagnetische Wellen, also z.B. Licht, auf einen Festkörper fallen, so können diese vom Festkörper reflektriert oder absorbiert werden oder durch den Kristall transmittiert werden. Messungen von Größen wie dem Transmissions-, Absorptions- oder Reflexionskoeffizient des Kristalls geben unmittelbar Aufschluß über die möglichen Anregungen in der Probe. In diesem Kapitel sollen zunächst die grundlegenden Definitionen und die Zusammenhänge zwischen diesen Meßgrößen und anderen Größen wie frequenzabhängiger Leitfähigkeit und Dielektrizitätskonstante, etc. zusammengestellt werden. Diese Größen sollten zum größten Teil schon aus der Elektrodynamik und der experimentellen Festkörperphysik vertraut sein.

In den vorausgegangenen Kapiteln wurde fast immer vom Bild des idealen, unendlich ausgedehnten Kristalls ausgegangen mit Translationsinvarianz bezüglich der Gittervektoren eines Bravais-Gitters etc. Dies war ja eine der Voraussetzungen für eine Anwendung des Blochschen Theorems und dafür, daß die Wellenvektoren k aus der ersten Brillouinzone eine gute Quantenzahl sind. Tatsächlich wird diese Idealisierung aber nie in der Natur realisiert sein. Jeder reale Kristall ist natürlich endlich, d. h. er ist nicht unendlich ausgedehnt sondern hat Oberflächen, und wenn der Einfluß von Oberflächen wichtig wird, sind z.B. die vielfach benutzten periodischen Randbedingungen etc. nicht mehr sinnvoll. Außerdem sind in realen Kristallen Kristallfehler unvermeidlich. Hierbei sind einerseits Versetzungen zu nennen, d. h. Störungen der Kristallstruktur z.B. durch das Einschieben einer Gitterebene nur in der oberen Kristallhälfte (siehe Abb. 9.1).

Ein magnetisches Feld koppelt - zumindest in der nicht-relativistischen Quantenmechanik - auf zwei verschiedene Arten an Materie und geladene Teilchen (Elektronen) in der Materie, nämlich einmal - wie jedes elektromagnetische Feld - über die Minimal-Ankopplung (Standard-Ersetzung) wobei \( \vec A \) das Vektorpotential ist, und zum anderen über den Spin \( \vec S \), mit dem ja ein magnetisches Moment \( {\pmb\mu} = g \frac{e}{2mc} \vec S \) verbunden ist, über einen Zusatzterm zum Hamilton-Operator: wobei der elektronische g-Faktor ist (für das freie Elektron) und das Bohrsche Magneton (\( e,m \) freie Elektronen-Ladung bzw. -Masse). \( \pmb\sigma \) bezeichnet den (dimensionslosen) Spin des Elektrons, also den Vektor mit den drei Paulischen Spinmatrizen als Komponente n.

Viele Metalle verlieren bei einer kritischen Temperatur T _c abrupt ihren elektrischen Widerstand. Dies wurde erstmals 1911 von Heike Kamerlingh Onnes an Quecksilber (Hg) beobachtet, das bei T _c = 4.15K supraleitend wird; die Original-Meßdaten sind in Abbildung 11.1) wiedergegeben.

In Abschnitt 10.2 ist das Modell unabhängiger magnetischer Momente oder Spins betrachtet worden. Tatsächlich werden magnetischeMomente sich aber gegenseitig beeinflussen, und diese Wechselwirkung zwischen den Momenten kann Anlaß zu Phasenübergängen geben, d. h. zu verschiedenen Typen von magnetischer Ordnung bei hinreichend tiefen Temperaturen. Besonders wichtig ist der Ferromagnetismus z. B. von Eisen, der im Alltag vielfältige Anwendung findet. Naiv könnte man sich vorstellen, dass die gegenseitige Beeinflussung zwischen den magnetischen Momenten über die Dipol-Dipol-Wechselwirkung zustande kommt: Ein magnetisches Moment spürt das von dem anderenMoment erzeugteMagnetfeld (Dipol-Feld) und die Momente richten sich dann z.B. parallel aus, wie es etwa in Demonstrationsmodellen aus Magnetnadeln der Fall ist. Man kann jedoch leicht abschätzen, dass die Dipol-Dipol-Wechselwirkung zwischen atomaren magnetischen Momenten viel zu schwach ist, um Effekte wie magnetische Ordnung mit den richtigen Größenordnungen für die kritische Temperatur erklären zu können. Es muss daher ein anderer Mechanismus existieren, eine effektiveWechselwirkung zwischen atomaren magnetischen Momenten zu vermitteln. Ein möglicher Mechanismus soll hier besprochen werden, nämlich die Austauschwechselwirkung, die ja letztlich auf das quantenmechanische Prinzip der Ununterscheidbarkeit identischer Teilchen zurückführbar ist und somit ein reiner Quanteneffekt ist, der kein klassisches Analogon hat.