Theoretische Physik 3

Schon bei einer festen Aufteilung der vierdimensionalen Raumzeit in den Raum, in dem Experimente ausgeführt werden, und in die Laborzeit zeigen die Maxwell’schen Felder ein interessantes Transformationsverhalten unter kontinuierlichen und diskreten Transformationen. Ihre volle Symmetriestruktur entfaltet sich aber erst wirklich, wenn man die Wirkung der Lorentz-Gruppe auf die Maxwell’schen Gleichungen studiert. Ihre Kovarianz unter dieser Gruppe wird besonders anschaulich am Beispiel der elektromagnetischen Felder einer gleichförmig bewegten Punktladung.

Die Reformulierung der Maxwell-Theorie in der Sprache der äußeren Formen über dem R4 wirft einerseits Licht auf einige ihrer Eigenschaften, die im Rahmen der älteren Vektoranalysis nicht so klar hervortreten, andererseits bringt sie den geometrischen Charakter dieser einfachsten aller Eichtheorien zu Tage und bereitet den Boden für das Verständnis der nicht-Abel’schen Eichtheorien, die für die Beschreibung der fundamentalen Wechselwirkungen der Natur wesentlich sind.

Aus der ungeheuren Fülle von elektromagnetischen und optischen Phänomenen, die durch die Maxwell’schen Gleichungen erfolgreich beschrieben werden, greifen wir hier einige wenige charakteristische Beispiele auf. Dabei handelt es sich in diesem Band ausschließlich um Anwendungen, auf die die klassische, nichtquantisierte Version der Theorie anwendbar ist. Der Bereich der semiklassischen Wechselwirkung von (Quanten-)Materie mit dem (klassischen) Strahlungsfeld ebenso wie die volle quantenfeldtheoretische Behandlung der Maxwell-Theorie wird in Band 4 behandelt.

Obwohl sie ein Prinzip der klassischen Feldtheorie ist, hat die Eichinvarianz der Elektrodynamik erst im Zusammenhang der Quantenmechanik von Elektronen und der Schrödinger-Gleichung eine tiefe und weit führende Bedeutung gewonnen. In diesem Kapitel studieren wir die Verallgemeinerung des Konzepts einer lokal eichinvarianten Feldtheorie, die nach dem Vorbild der Maxwell-Theorie aufgebaut wird, auf nicht-Abel’sche Eichgruppen. Diese Verallgemeinerung, die zunächst etwas akademisch wirkt, weil sie neben dem Maxwell-Feld weitere masselose Eichfelder enthält, von denen man in der makroskopischen Physik nichts weiß, wird physikalisch realistisch, wenn sie mit dem Phänomen der spontanen Symmetriebrechung kombiniert wird. Beide Konzepte, das der nicht-Abel’schen Eichtheorie und das der spontanen Symmetriebrechung, sind rein klassischer, also nicht quantenmechanischer Natur. Gleichzeitig legt man damit das (klassische) Fundament für die heute allgemein akzeptierten, durch das Experiment bestätigten Eichtheorien der fundamentalen Wechselwirkungen. Dieses Kapitel legt die Grundlagen für die Konstruktion einer solchen Theorie dar, soweit sie im klassischen Rahmen bleibt. Erst mit der Einführung von fermionischen Teilchen (Quarks und Leptonen) wird die Quantisierung solcher Theorien unausweichlich.

Allen bis zu diesem Punkt behandelten klassischen Feldtheorien ist gemeinsam, dass sie auf einer flachen Raumzeit formuliert sind, d. h. einer Raumzeit-Mannigfaltigkeit M, die ein Euklidischer Raum ist und die lokal in ein direktes Produkt M = ℝ³ × ℝ aus physikalischem Raum ℝ³ _x der Bewegungen und einer Zeitachse ℝ ^t zerlegt werden kann. Der erste Anteil ist dabei der dreidimensionale Raum, wie ihn ein ruhender Beobachter wahrnimmt, während die Zeitachse diejenige (Koordinaten-)Zeit darstellt, die er auf seinen Uhren misst. Dieser Raumzeit wird durch die Poincaré-Gruppe --~oder im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten |v| ≪ c durch die Galilei-Gruppe – eine Invarianzgruppe physikalischer Gesetze und, im Fall der Lorentz-Gruppe, eine spezifische Kausalitätsstruktur aufgeprägt. Bewegungsgleichungen, die physikalische Observable verknüpfen, müssen unter allen Transformationen der Gruppe forminvariant sein, oder, wie man auch sagt, sie müssen bei Transformationen des Bezugssystems selbst kovariant transformieren. Der Lichtkegel in jedem Raumzeitpunkt x ∈ M sortiert die Menge aller Ereignisse y in solche, die mit x in kausalem Zusammenhang stehen, und solche, für die dies nicht gilt. Die flache Raumzeit zeichnet sich dadurch aus, dass alle solchen Lichtkegel parallel sind, d. h. durch Translationen auseinander hervorgehen. Jeder Beobachter definiert durch die Wahl eines Bezugssystems, in dem er selbst ruht, ein global anwendbares Koordinatensystem, das ihm erlaubt, physikalische Messgrößen an verschiedenen Punkten x = (ct _x ,x) ^T und y = (ct _y ,y) ^T zu vergleichen.