Theoretische Physik kompakt III

Quantenmechanik

2025
Buch

Verfasst von: Wolfgang Cassing
Verlag: Springer Nature Switzerland
Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik"; Springer Professional "Technik"; Springer Professional "Wirtschaft"

Über dieses Buch

Dieses Buch zusammen mit den drei weiteren Bänden bietet einen klaren und umfassenden Zugang zur Theoretische Physik des gesamten Bachelorstudiums.

Besonderheiten

Theoretische Herleitungen werden verknüpft mit charakteristischen Beispielen, deren Lösungen sowie typischen Anwendungen und klar veranschaulicht in Abbildungen. Die benötigte Mathematik wird im physikalischen Kontext hergeleitet und transparent erklärt.

Inhalt

Prinzipien der klassischen Physik – Grenzen der Klassischen Physik – Anfänge der Quantentheorie: Materiewellen – Quantentheorie eines Teilchens – Operatoren und Erwartungswerte – Messwerte und Messwahrscheinlichkeiten – Teilchen unter dem Einfluss äußerer Kräfte – Grundbegriffe der Streutheorie.- Der Hilbert-Raum – Operatoren im Hilbertraum – Der Zeitentwicklungsoperator – Teilchenzahldarstellung für Fermionen – Teilchenzahl-Darstellung für Bosonen. – Quantisierung des Strahlungsfeldes: Photonen – Formale Streutheorie – Die Hartree-Fock Näherung – Supraleitung im BCS - Modell

Zielgruppe:

Dieses Buch ist besonders geeignet für Bachelorstudierende im zweiten oder dritten Jahr.

Vorkenntnisse

Die mathematischen Voraussetzungen umfassen Kenntnisse in Analysis, Linearer Algebra sowie Funtionentheorie.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einführung

Frontmatter

1. Prinzipien der klassischen Physik

Zusammenfassung

Bevor wir zur eigentlichen Formulierung der Quantenmechanik kommen, fassen wir kurz die grundlegenden Konzepte und Gleichungen der klassischen Mechanik zusammen. Darüber hinaus wird die klassische Statistik im Hinblick auf das Konzept identischer Teilchen diskutiert und die grundlegenden Annahmen für experimentelle Messungen in der klassischen Physik werden dargelegt um sie den unterschiedlichen Perspektiven in der Quantenmechanik gegenüberzustellen.

Wolfgang Cassing

2. Grenzen der Klassischen Physik

Zusammenfassung

Die klassische Physik hat sich bewährt bei der Anwendung auf makroskopische Körper (z. B. Himmelsmechanik) und makroskopische Felder (z. B. Ablenkung eines Elektronenstrahls im Kondensator oder Magnetfeld). Im Folgenden sollen einige charakteristische Experimente kurz erläutert werden, bei deren Erkärung die klassische Physik definitiv versagt.

Wolfgang Cassing

3. Anfänge der Quantentheorie: Materiewellen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel besprechen wir kurz das Bohrsche Atommodell und das Konzept der Materiewellen.

Wolfgang Cassing

Elementare Quantenmechanik

Frontmatter

4. Quantentheorie eines Teilchens

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die Schrödinger-Gleichung – ohne und mit äußeren Kräften – vorstellen und die Eigenschaften stationärer Zustände untersuchen.

Wolfgang Cassing

5. Operatoren und Erwartungswerte

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die Regeln einführen nach denen klassische Observable in Phasenraumdarstellung zu übersetzen sind in hermitesche Operatoren im formalen Raum der Wellenfunktionen (Hilbertraum). Es wird außerdem bewiesen, daß die klassischen Bewegungsgleichungen auch für die Erwartungswerte des entsprechenden Quantenoperators gelten (Ehrenfest-Theorem). Die formale Übersetzung der Poisson-Klammern in der klassischen Mechanik in Kommutatoren der Quantenphysik wird hergeleitet und es wird gezeigt, daß die Kommutatoren derselben Algebra folgen wie die Poisson-Klammern.

Wolfgang Cassing

6. Meßwerte und Meßwahrscheinlichkeiten

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir den Zusammenhang zwischen den möglichen Erwartungswerten einer Observablen A und ihren Schwankungen im Zusammenhang mit ihrem Kommutator [A, H] untersuchen. Außerdem werden wir die Beziehung zwischen Impulserhaltung und Translationsinvarianz sowie zwischen Drehimpulserhaltung und Rotationsinvarianz in der Quantentheorie herstellen. Darüber hinaus werden wir den Spin von Elektronen (oder verwandten Fermionen) einführen und seine Eigenschaften im Hinblick auf Rotationen erkunden.

Wolfgang Cassing

7. Teilchen unter dem Einflußäußerer Kräfte

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die Quantenmechanik eines einzelnen Teilchens in einem externen Potential untersuchen und die möglichen Lösungen klassifizieren. Als Beispiele berechnen wir die Wellenfunktionen für einen unendlichen und einen endlichen Potentialtopf sowie für Potentiale, die räumlich periodisch sind. Außerdem wird das Problem des harmonischen Oszillators im Detail berechnet, ebenso wie die Bewegung eines geladenen Teilchens (und dessen Spin) in einem Magnetfeld. Den Abschluß dieses Kapitels bilden die gebundenen Zustände und Energieniveaus des Wasserstoffatoms.

Wolfgang Cassing

8. Grundbegriffe der Streutheorie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die Streutheorie eines einzelnen Teilchens mit einem Wechselwirkungspotential \(V(\textbf{r})\) einführen und die Kontinuumszustände des effektiven Einteilchenproblems im Fall der Zweikörperstreuung untersuchen.

Wolfgang Cassing

Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

Frontmatter

9. Der Hilbert-Raum

Zusammenfassung

In diesem Kapitel führen wir das Konzept abstrakter Zustände in einem Hilbertraum \(\mathcal{H}\) ein und spezifizieren die formalen Anforderungen. Außerdem werden wir die Dirac-Notation einführen, die sich besonders gut für Vielteilchensysteme eignet.

Wolfgang Cassing

10. Operatoren im Hilbertraum

Zusammenfassung

In diesem Kapitel führen wir lineare Operatoren in \(\mathcal{H}\) und deren jeweilige Definitionsbereiche ein. Physikalische Observable werden mit Matrixelementen von selbstadjungierten Operatoren in \(\mathcal{H}\) identifiziert, und ihre Spektren und Eigenzustände werden untersucht. Dieses Konzept wird auf Operatoren in Produkträumen erweitert. Als Beispiel werden wir die Kopplung von Drehimpulsen in \(\mathcal{H}\) und die Trennung von Schwerpunkts- und Relativbewegung berechnen. Außerdem wird die Austauschsymmetrie für identische Teilchen untersucht, was zur Unterscheidung von symmetrischen und antisymmetrischen Vielteilchen-Zuständen führt, d. h. zu Bose- und Fermi-Systemen.

Wolfgang Cassing

Quantenmechanik der Vielteilchensysteme

Frontmatter

11. Der Zeitentwicklungsoperator

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir uns mit der zeitlichen Entwicklung von quantenmechanischen Gesamtheiten befassen. Dafür bieten sich verschiedene Darstellungsformen (Bilder) an, die im Prinzip alle gleichwertig sind, aber in der Praxis in verschiedenen Anwendungsbereichen und Entwicklungen genutzt werden.

Wolfgang Cassing

12. Teilchenzahldarstellung für Fermionen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die Teilchenzahl-Darstellung für Fermionen einführen, die eine transparente Formulierung von Vielteilchen-Problemen ermöglicht und die Antisymmetrie der Fermionen-Wellenfunktion durch einfache (Anti)-Vertauschungsrelationen berücksichtigt. Darüber hinaus geben wir explizite Ausdrücke für Einteilchen- und Zweiteilchenoperatoren in der Teilchenzahl-Darstellung an und berechnen einige charakteristische Größen.

Wolfgang Cassing

13. Teilchenzahl-Darstellung für Bosonen

Zusammenfassung

Dieser Fall läuft weitgehend analog dem der Fermionen; wir werden uns daher auf eine knappe Darstellung beschränken und nur die Unterschiede Bosonen – Fermionen herausarbeiten.

Wolfgang Cassing

14. Quantisierung des Strahlungsfeldes: Photonen

Zusammenfassung

In diesem Kapitel beschreiben wir die Quantisierung des elektromagnetischen Strahlungsfeldes, das in der Quantenmechanik nicht länger durch ein klassisches Vektorfeld \(\textbf{A}(\textbf{r};t)\) beschrieben werden kann. Außerdem werden wir die Wechselwirkung zwischen Materie und dem quantisierten Strahlungsfeld in führender Ordnung der Kopplung berechnen.

Wolfgang Cassing

Systematische Näherungsverfahren

Frontmatter

15. Formale Streutheorie

Zusammenfassung

In Kap. 8 haben wir die Streutheorie eines Teilchens, das durch ein Potential V(r) mit einem anderen unabhängigen Teilchen wechselwirkt, vorgestellt und die relevanten Größen wie die Streuamplitude und den differentiellen Wirkungsquerschnitt aus der Lippmann-Schwinger Gleichung abgeleitet. In diesem Kapitel werden wir die formale Streutheorie für Vielteilchensysteme bereitstellen, die in der Definition der allgemeinen S-Matrix, der T-Matrix und der Born’schen Reihe münden wird.

Wolfgang Cassing

16. Die Hartree-Fock Näherung

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir den Hartree-Fock Theorie vorstellen, die ein selbstkonsistenter Ansatz führender Ordnung für das Vielteilchenproblem ist und häufig bei Berechnungen der Grundzustandseigenschaften von Atomen, Molekülen und Atomkernen angewendet wird.

Wolfgang Cassing

17. Supraleitung im BCS – Modell

Zusammenfassung

In diesem Kapitel werden wir die Beschreibung der Supraleitung einführen, die eine allgemeine Eigenschaft von Fermionsystemen bei niedrigen Temperaturen darstellt, sofern eine attraktive Restwechselwirkung zwischen bestimmten Zuständen existiert.

Wolfgang Cassing

Titel: Theoretische Physik kompakt III
Verfasst von: Wolfgang Cassing
Verlag: Springer Nature Switzerland
Electronic ISBN: 978-3-031-96448-0
Print ISBN: 978-3-031-96447-3
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-031-96448-0

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1. Prinzipien der klassischen Physik

2. Grenzen der Klassischen Physik

3. Anfänge der Quantentheorie: Materiewellen

Elementare Quantenmechanik

Frontmatter

4. Quantentheorie eines Teilchens

5. Operatoren und Erwartungswerte

6. Meßwerte und Meßwahrscheinlichkeiten

7. Teilchen unter dem Einflußäußerer Kräfte

8. Grundbegriffe der Streutheorie

Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik

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9. Der Hilbert-Raum

10. Operatoren im Hilbertraum

Quantenmechanik der Vielteilchensysteme

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11. Der Zeitentwicklungsoperator

12. Teilchenzahldarstellung für Fermionen

13. Teilchenzahl-Darstellung für Bosonen

14. Quantisierung des Strahlungsfeldes: Photonen

Systematische Näherungsverfahren

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15. Formale Streutheorie

16. Die Hartree-Fock Näherung

17. Supraleitung im BCS – Modell

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