Theoretische Physik kompakt IV

Inhaltsverzeichnis

1. Frontmatter

2. Einführung

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 1. Statistische Gesamtheiten

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      Dem Ziel der Berechnung makroskopischer Eigenschaften von Systemen mit sehr vielen Teilchen auf der Basis des mikroskopischen Aufbaus der Materie dient die statistische Mechanik. Angelpunkt ist das Konzept der statistischen Gesamtheit: anstelle des tatsächlich vorliegenden Systems betrachtet man eine große Anzahl von Kopien dieses Systems, die sich in allen möglichen Zuständen befinden können, welche die vorgegebenen makroskopischen Bedingungen (z. B. konstante Gesamtenergie für ein abgeschlossenes System) erfüllen. Eine statistische Geamtheit ist dann charakterisiert durch die Angabe der Wahrscheinlichkeiten, mit der die mit den makroskopischen Bedingungen verträglichen Zustände (oft auch Mikrozustände genannt) in der Gesamtheit vertreten sind. Makroskopische Eigenschaften, die eine zeitliche und räumliche Mittelung über das betrachtete System implizieren, werden dann als Mittelwerte über die statistische Gesamtheit verstanden. Das Konzept der statistischen Gesamtheit setzt zusammen mit den klassischen Bewegungsgleichungen den Rahmen der klassischen statistischen Mechanik.

   3. Kapitel 2. Identische Teilchen

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      Wir wollen uns in diesem Kapitel mit der Behandlung von Systemen identischer Teilchen befassen, also von Systemen, die z. B. nur Elektronen, nur Nukleonen oder nur \(^4He\)-Atome enthalten. Kompliziertere Systeme, wie z. B. ein Gasgemisch, können daraus aufgebaut werden.

3. Grundlagen der statistischen Physik

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 3. Konzept der statistischen Gesamtheit

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      In diesem Kapitel werden wir den Unterschied zwischen Mikro- und Makrozuständen diskutieren und den statistischen Operator in der Quantenmechanik einführen. Observable werden dann durch Matrixelemente innerhalb der Mikrozustände und durch einen statistischen Mittelwert über das Ensemble definiert. Die Unterschiede zur klassischen Dichtefunktion werden explizit hervorgehoben.

   3. Kapitel 4. Statistische Definition der Entropie

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      In diesem Kapitel werden wir die Entropie S als Maß für fehlende Informationen einführen. Es wird sich herausstellen, daß die Entropie S in der Quantenmechanik streng durch den Mittelwert des negativen Logarithmus des statistischen Operators \(\rho \) definiert werden kann. Wenn man sich auf die Diagonalelemente des statistischen Operators in einer approximativen Basis beschränkt, kann gezeigt werden, dass die Entropie mit der Zeit zunimmt, d. h. \(S(t) \ge S(0)\) für \(t > 0\). Außerdem wird der Unterschied zwischen Mikro-Reversibilität und Makro-Irreversibilität diskutiert und die allgemeinen Postulate der statistischen Mechanik formuliert.

   4. Kapitel 5. Statistische Gesamtheiten im Gleichgewicht

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      In diesem Kapitel werden wir verschiedene statistische Ensembles untersuchen, die durch die Kenntnis der Energie E, der Teilchenzahl N und des Volumens V charakterisiert sind. Wenn diese Größen nur im Mittel bekannt sind, müssen einige Lagrange-Parameter eingeführt werden, die später mit der Temperatur, dem chemischen Potenzial und dem Druck in Verbindung gebracht werden.

   5. Kapitel 6. Unabhängige identische Teilchen

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      In diesem Kapitel werden wir die Ergebnisse für unabhängige identische Teilchen, d. h. getrennt für Bosonen und Fermionen, diskutieren und die Gleichgewichts-Besetzungszahlen sowie charakteristische Observablen berechnen. Die Grenzfälle niedriger Dichte und/oder hoher Temperatur führen dann zum klassischen Grenzfall und zur Boltzmann-Statistik.

   6. Kapitel 7. Statistische Mechanik und Thermodynamik

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      In diesem Kapitel werden wir den Zusammenhang der Lagrange-Parameter mit der Temperatur, dem chemischen Potenzial und dem Druck herstellen. Darüber hinaus werden thermodynamische Potentiale für die verschiedenen Gesamtheiten eingeführt, die Funktionen der natürlichen Variablen – sowie deren totale Differenziale – sind. Letztere führen zu verschiedenen Maxwell-Beziehungen zwischen thermodynamischen Größen. Wir werden die Hauptsätze der Thermodynamik formulieren (und beweisen) und insbesondere die spezifische Wärme und den thermischen Ausdehnungskoeffizienten diskutieren. Es wird gezeigt, daßdas klassische ideale Gas insbesondere gegen den 3. Hauptsatz der Thermodynamik verstößt. Schließlich werden wir verschiedene Zustandsänderungen besprechen und den Wirkungsgrad für den Carnot-Kreisprozess und den Ottomotor berechnen.

   7. Kapitel 8. Kleine Abweichungen vom Gleichgewicht

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      In diesem Kapitel untersuchen wir den Zusammenhang zwischen spontanen Fluktuationen physikalischer Größen um ihre Mittelwerte im statistischen Gleichgewicht und erzwungenen Abweichungen von den Mittelwerten aufgrund von Störungen des Gleichgewichts durch äußere Einflüsse. Es wird sich zeigen, daß diese beiden Phänomene bei schwachen äußeren Störungen eng miteinander verbunden sind und ihren Ausdruck im Fluktuations-Dissipations-Theorem finden. Zu diesem Zweck werden wir die thermodynamische Störungstheorie einführen und für verschiedene Beispiele Response-Funktionen berechnen.

4. Anwendungen der Statistischen Mechanik

   1. Kapitel 9. Das ideale Fermi-Gas

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      In diesem Kapitel werden wir das ideale Fermigas insbesondere bei niedrigen Temperaturen untersuchen und die Zustandsgleichung sowie die Schwankungen der mittleren Besetzungszahl berechnen. Als Beispiele werden die spezifische Wärme von Metallelektronen bei niedrigen Temperaturen sowie die Glühemission von Elektronen aus Metallen bei endlicher Temperatur berechnet.

   2. Kapitel 10. Das ideale Bose-Gas

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      In diesem Kapitel werden wir das ideale Bose-Gas insbesondere bei niedrigen Temperaturen untersuchen und die Eigenschaften des Bose-Kondensats ermitteln. Wir werden die innere Energie und die spezifische Wärme berechnen und zeigen, daß die Ergebnisse mit dem dritten Hauptsatz der Thermodynamik übereinstimmen. Als Beispiele werden wir die Eigenschaften eines Photongases in einem großen Hohlraum und die Phononen in Festkörpern untersuchen.

   3. Kapitel 11. Reale Gase

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      Bisher haben wir stark verdünnte (ideale) Gase betrachtet, bei denen die Wechselwirkung zwischen den Teilchen vernachlässigt werden konnte. Im folgenden Kapitel werden wir mäßig verdünnte und wechselwirkende Gase ohne Spin behandeln, d. h. \((2s+1)\) =1. Als wichtige Beispiele werden wir das klassische Van der Waals Gas untersuchen sowie ‚Kernmaterie‘ als Beispiel für ein wechselwirkendes Fermi-System.

   4. Kapitel 12. Magnetische und elektrische Eigenschaften der Materie

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      In diesem Kapitel werden wir die Reaktion von Materie auf äußere Störungen durch elektromagnetische Felder diskutieren und die Eigenschaften der Materie im Grenzfall schwacher und starker Felder aufzeigen.

5. Nichtgleichgewichtsdynamik

   1. Frontmatter

   2. Kapitel 13. Kinetische Theorien

      Wolfgang Cassing

      Zusammenfassung

      Während wir bisher physikalische Systeme von Fermionen, Bosonen oder klassischen Teilchen im thermodynamischen Gleichgewicht oder deren Reaktionen auf äußere Störungen (Kap. 8) betrachtet haben, bleibt unklar, wie diese Systeme im Laufe der Zeit den endgültigen Gleichgewichtszustand erreichen und welche charakteristischen Zeitskalen dafür erforderlich sind. Die Beantwortung dieser Fragen erfordert die Formulierung einer konsistenten Nichtgleichgewichtsdynamik, die die explizite zeitliche Entwicklung des physikalischen Systems beschreibt. Einerseits kann man die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung verwenden und ein System von kinetischen Gleichungen unter Verwendung von Green’schen Funktionen ableiten, andererseits kann man die zeitliche Entwicklung der N-Teilchen-Dichtematrix auch direkt in geeigneten Näherungen betrachten. Im Folgenden werden wir den Dichtematrix-Formalismus für schwach wechselwirkende N-Teilchen-Fermionensysteme vorstellen, was die Grundlage für die Ableitung von kinetischen Theorien bilden wird.

6. Backmatter