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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung
Ein System von Teilchen oder Quasiteilchen (Ionen, Elektronen, Moleküle, Quarks, Gluonen, Löcher etc.) wird unter recht unterschiedlichen Bedingungen Plasma genannt. Bei der Formulierung dieser Bedingungen treten in der Literatur Unterschiede auf, je nachdem ob man an ionisierten Gasen, Festkörpern, an voll- oder teilionisierten Systemen, oder an makroskopisch neutralen oder nicht-neutralen Anordnungen interessiert ist. Wie so oft werden die Unterschiede und ihre Auswirkungen erst deutlich, wenn allgemeine Kenntnisse vorhanden sind, die einen Einblick in die grundsätzlich neuen Phänomene zulassen. Wir werden deshalb zunächst von einer einfachen und nicht allzu strengen Definition eines Plasmas ausgehen und die Systeme weitgehend vereinfachen, um dann im weiteren Verlauf zu verallgemeinern und zu vertiefen.
Karl-Heinz Spatschek

2. Bewegung einzelner Teilchen

Zusammenfassung
Die Teilchen bewegen sich in einem Plasma unter dem Einfluß von Feldern. Letztere können von außen vorgegeben sein, d.h. in Form von sogenannten äußeren elektrischen und magnetischen Feldern. Daneben findet noch eine Wechselwirkung der Teilchen untereinander aufgrund sogenannter innerer Felder, z.B. Coulomb-Felder in elektrostatischer Näherung, statt. Die inneren Felder ignorieren wir in diesem Kapitel.
Karl-Heinz Spatschek

3. Gleichgewichtsstatistik eines Plasmas

Zusammenfassung
Das Vielteilchensystem Plasma ist im thermodynamischen Gleichgewicht mit den bekannten Methoden der Gleichgewichtsstatistik und Thermodynamik beschreibbar. Insofern stellen die Rechnungen dieses Kapitels „nur“ eine Anwendung der in der entsprechenden Kursvorlesung entwickelten Prinzipien dar. Allerdings sind die Auswertungen keinesfalls trivial; im Gegenteil: in Systemen mit innerer Wechselwirkung stößt man schnell auf sehr große mathematische Schwierigkeiten, deren Auflösungen bis heute Gegenstand intensiver Forschung sind.
Karl-Heinz Spatschek

4. Kinetische Beschreibung eines Plasmas

Zusammenfassung
Startpunkt einer Nichtgleichgewichts-Beschreibung des Plasmas ist die Liouville-Gleichung (3.1.5)
$$\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} = \{ H,\rho \} $$
(4.1.1)
in kanonisch konjugierten Orts- und Impulsvariablen q und p. Im Gleichgewicht haben wir die linke Seite von (4.1.1) zu Null gesetzt; das wollen wir jetzt nicht mehr tun. Es bietet sich aber auch hier die im vorigen Kapitel mit Erfolg angewandte Methode der Reduzierung an. Zur Unterscheidung von Ergebnissen des vorigen Kapitels wählen wir für die reduzierte Ein-Teilchen-Verteilungsfunktion die neue Bezeichnung
Karl-Heinz Spatschek

5. Makroskopische Beschreibung eines Plasmas

Zusammenfassung
In vielen Fällen sind wir gar nicht an einer detaillierten kinetischen Beschreibung mit typischen Effekten aufgrund der diskreten Teilchenbewegung interessiert. Wir fassen dann das Plasma als eine (oder mehrere sich durchmischende) Flüssigkeit(en) auf. Diese Art der Beschreibung, die stark an eine hydrodynamische Theorie neutraler Flüssigkeiten erinnert, nennen wir makroskopisch. Die entsprechenden Modelle werden Fluid-Modelle genannt. Die Idee hinter dieser Modellvorstellung basiert auf einer im Rahmen der linearen Theorie möglichen Trennung von Zeitskalen und deren gegenseitiger Nichtbeeinflussung. Letzteres soll heißen, daß wir jede Variable additiv in Beiträge aufspalten können, die auf verschiedenen Skalen variieren und beim Fehlen nichtlinearer Terme auch nicht „durchmischen“.
Karl-Heinz Spatschek

6. Wellen und Instabilitäten in Vlasov-Systemen

Zusammenfassung
Ausgehend von einem zeitunabhängigen (stationären) Zustand eines Plasmas kann man die Frage untersuchen, wie sich das Plasma bei (kleinen) Störungen dynamisch verhält. Im Grunde haben wir — im Rahmen der Vlasov-Beschreibung — bereits mit der Bearbeitung dieses Problems begonnen, als wir die Plasmadispersionsfunktion hergeleitet haben und Konsequenzen für die Plasmaschwingungen in Form der Landau-Dämpfung diskutierten. Wenn wir in diesem Abschnitt die Stabilitätsfrage wieder aufgreifen, so wollen wir das unter allgemeineren Gesichtspunkten tun, also nicht immer als ungestörten Zustand eine Maxwell-Verteilung voraussetzen. Beibehalten werden wir die lineare Näherung, und somit werden wir hier nicht auf die Problematik der nichtlinearen Stabilität eingehen. Außerdem legen wir hier ebenfalls das Vlasov-Modell zugrunde.
Karl-Heinz Spatschek

7. Stabilität magnetohydrodynamischer Systeme

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt befassen wir uns mit der Stabilität magnetohydrodynamischer Systeme in idealer Näherung = 0). Die entsprechenden Grundgleichungen wurden in den Abschnitten 5.3 und 5.4 diskutiert. Konkret behandeln wir jetzt im Rahmen der idealen MHD das Problem, wann ein Gleichgewicht (∂= 0) stabil ist. Das Gleichgewicht ist durch u 0 = 0 und
$$\nabla {p_0} = \frac{1}{{4\pi }}\left( {\nabla \times {{\vec B}_0}} \right) \times {\vec B_0}$$
(7.1.1)
gegeben. Kleine Störungen erfüllen (in linearer Näherung) die Bewegungsgleichung
$${p_0}{\partial _t}\vec u = \nabla p + \frac{1}{{4\pi }}\left( {\nabla \times {{\vec B}_0}} \right) \times \vec B + \frac{1}{{4\pi }}\left( {\nabla \times \vec B} \right) \times {\vec B_0}.$$
(7.1.2)
Karl-Heinz Spatschek

8. Nichtlineare Wellen

Zusammenfassung
Die lineare Approximation, die wir bei der Untersuchung kollektiver Effekte bislang benutzt haben, kann sehr leicht zusammenbrechen. Endliche und nicht kleine Amplituden sind in der Regel bei experimentell erzeugten Wellen unvermeidbar und sogar oft erwünscht. Darüber hinaus können anfänglich durchaus kleine Wellenamplituden als Folge einer Instabilität anwachsen und schnell das lineare Regime verlassen. Verschiedene physikalische Prozesse gewinnen dann an Bedeutung. Offensichtlich ist die Beschreibung mittels einzelner Fourier-Moden i.a. nicht mehr angemessen, da Kopplungen (Faltungsintegrale) und nichtlineare Wechselwirkungen auftreten. Außerdem können Teilchen in den ausgeprägten Wellentälern regelrecht eingefangen werden (“particle trapping”). Darüber hinaus verändert eine Welle großer Amplitude die wesentlichen Plasmadaten, wie z.B. lokale Teilchendichte, Temperatur, usw. All diese Erscheinungen erfordern umfangreiche Analysen, die nicht in einem Kapitel auf wenigen Seiten dargestellt werden können. Wir konzentrieren uns hier auf einige wichtige Effekte bei kohärenten Wellenphänomenen, bei denen die Phaseninformation deterministisch verfolgt wird. Im Gegensatz dazu stehen die sogenannten turbulenten Prozesse, bei denen in der Regel über die Phasen gemittelt wird. Während eine recht erfolgreiche Theorie der schwachen Turbulenz (im Rahmen einer Störungstheorie) entwickelt werden konnte, gibt es bislang noch keine befriedigende Theorie der voll entwickelten starken Turbulenz.
Karl-Heinz Spatschek

9. Integrabilität, Chaos und Turbulenz

Zusammenfassung
Um das Jahr 1965 lösten Zabusky und Kruskal numerisch das zeitliche Anfangswertproblem der KdV-Gleichung für räumlich periodische Randbedingungen. Aus einer sinus-förmigen Anfangsverteilung entwickelten sich lokalisierte Pulse, die recht stabil aussahen und deren Geschwindigkeiten sich als proportional zur Amplitude erwiesen. Aus Stößen gingen die Pulse praktisch formunverändert hervor. Zu dieser Zeit wurde der Name Soliton geprägt, um das teilchenartige Verhalten der Pulse zu charakterisieren.
Karl-Heinz Spatschek

10. Anhang

Zusammenfassung
Die gebräuchlichsten Maßsysteme der Elektrodynamik sind das MKSA-System und das Gaußsche Einheitensystem. Wir benutzen letzteres, in dem die Maxwell-Gleichungen (im Vakuum) die Gestalt
$$\nabla \cdot \vec E = 4\pi \rho ,$$
(10.1.1)
$$\nabla \times \vec B - \frac{1}{c}\frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}} = \frac{{4\pi }}{c}\vec j,$$
(10.1.2)
$$\nabla \times \vec E + \frac{1}{c}\frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}} = 0,$$
(10.1.3)
$$\nabla \cdot \vec B = 0$$
(10.1.4)
annehmen. Im MKSA-System haben wir entsprechend
$$\nabla \cdot \vec E = \frac{1}{{{ \in _0}}}\rho ,$$
(10.1.5)
$$\nabla \times \vec B = {\mu _0}{ \in _0}\frac{{\partial \vec E}}{{\partial t}} + {\mu _0}\vec j,$$
(10.1.6)
$$\nabla \times \vec E = - \frac{{\partial \vec B}}{{\partial t}},$$
(10.1.7)
$$\nabla \cdot \vec B = 0.$$
(10.1.8)
Karl-Heinz Spatschek

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