5. Theorie der Haushalte

Vgl. Just, Richard et al. (1982), S. 69.

Ein an dieser Stelle ausgeblendeter Aspekt ist der, dass die Nutzenfunktionen unserer Haushalte in der Realität in vielen Fällen voneinander abhängig sind. Angenommen wird von uns aber Unabhängigkeit: Wenn Sie – so wie ich – einen Skoda Fabia Combi erwerben, dann aus dem eigenen Nutzenkalkül heraus. Dass Ihr Nachbar sich als Zweitauto einen Lamborghini kauft, hat keinen Einfluss auf den Nutzen, den Sie Ihrem Auto beimessen. So lautet unsere Annahme. Relevant wird dieser Aspekt aber im Fall des Positionsgüterwettbewerbs oder auch, wenn wir uns die Definitionen von Armut und deren Unterscheidung in absolute und relative Armut anschauen. Unter absoluter Armut wird die fehlende Möglichkeit der Befriedigung der Grundbedürfnisse angesehen. Relative Armut aber leitet sich genau aus den in unseren Nutzenfunktionen ausgeblendeten Interdependenzen ab, denn es geht um die Position im gesellschaftlichen Gefüge und der fehlenden Möglichkeit der Teilhabe am gesellschaftlichen Leben. Vgl. bspw. Butterwegge, Christoph (2016), S. 12. (Dabei geht es aber um bedeutendere Positionen und nicht – wie in meinem plumpen Beispiel – um die Größe des Automobils.) Sprechen wir von Armut, geht es nunmehr aber eben nicht mehr rein um das materielle Existenzminimum, dass Gesellschaftsteile vor dem Erfrieren, Verhungern und Verdursten bewahrt, sondern um die Sicherung des „soziokulturellen Existenzminimums“, welches die Teilhabe am gesellschaftlichen Leben sichern soll. Vgl. hierzu etwa Schneider, Ulrich (2015), S. 14. Wir haben den Umstand, dass Nutzenkalküle vom Verhalten anderer Marktteilnehmer beeinflusst werden, auch bereits einmal beiseitegeschoben, als es um Mitläufer- und Snob-Effekte ging.

Vgl. bspw. Rätzel, Steffen (2007), S. 336.

Vgl. Rätzel, Steffen (2007), S. 337 und die dort zitierte Literatur sowie Bok, Derek (2010), S. 32–44.

Vgl. Richert, Robert (2010), S. 11. Der Nutzen wird somit durch den rationalen Verbraucher kognitiv bestimmt und der mit einem Gut assoziierte Nutzen ist auch über die Zeit hinweg stabil. Vgl. Franke, Marie-Kristin (2012), S. 22.

Mit Util bezeichnen wir unsere hypothetische Nutzeneinheit.

Mit dem Wechsel zur Bedeutung der Präferenzen im Rahmen der ordinalen Nutzentheorie geht einher, dass wir den Begriff des Nutzens nicht überstrapazieren müssen. Woraus sich nun eine Präferenz für eine Handlungsalternative gegenüber einer anderen genau ergibt, ist nicht von Belang. Wichtig ist lediglich, dass wir bei rationalem Verhalten der Akteure davon ausgehen, dass die gewählte Alternative die am meisten präferierte Alternative darstellt und somit auch den Nutzen maximiert. Vgl. Angner, Erik (2016), S. 30–31.

Vgl. auch Goodwin, Neva et al. (2009), S. 270–271.

Stephen Schwarzman ist Chef des Finanzinvestors Blackstone. Das Jahresgehalt ist eine Schätzung, die ich einem Artikel (17.03.2015) der „Welt“ entnommen habe. Vgl. Welt.de (2015).

Dafür ist (1) keine neurophysiologische Untersuchung notwendig und dies sollte (2) auch gelten, trotz der Verlustaversion im Rahmen der Prospect-Theory von Daniel Kahneman und Amos Tversky, die besagt, dass wir Menschen Verluste stärker gewichten als Gewinne (bildlich in Util gesprochen: 10 € finden bringen +50 Util, aber 10 € verlieren kosten −65 Util). Vgl. Tversky, Amos und Kahneman, Daniel (1991). Frage: Wäre Robin Hood ein Utilitarist?

Vgl. ausführlich Sen, Amartya (2009), S. 36.

Vgl. hierfür Sen, Amartya (2009), S. 36 und 37.

Nicht verausgabtes Geld ist einfach weg und somit wäre es irrational, das Geld nicht auszugeben.

Budgetgeraden sind in der Regel durch Einkommen und Preise bestimmt, grundlegend sind jedoch weitere Möglichkeiten denkbar. Im Bereich der Arbeitsmarktforschung zur Bestimmung des Arbeitsangebots eines Haushalts wird die „Budgetgerade“ als eine Art Freizeit-Einkommens-Gerade aufgespannt. Diese nimmt den Wert null an, wenn die komplette zur Verfügung stehende Zeit für Freizeit aufgewendet wird, und einen vom Stundenlohn abhängigen Einkommenswert im Maximum, wenn die komplette Zeit zum Arbeiten genutzt wird. Eine weitere Idee erwähnen Krugman und Wells (2017). Sie stellen die Konsumentscheidung einer Person dar, die am Punktesystem einer „Weight-Watchers“-Diät teilnimmt. Entsprechend ergibt sich nach Körpergröße, Alter und anderer Charakteristika ein maximaler Punktewert pro Tag („Budget“), so wie auch Lebensmitteleinheiten mit Punkten („Preisen“) bewertet werden. Am Tag darf nun die zugeführte Nahrung gemessen in Punkten nicht über der Punktegrenze liegen. Vgl. Krugman, Paul und Wells, Robin (2017), S. 306. Gleiches würde für eine einfache Begrenzung auf 2000 Kalorien pro Tag („Budget“) gelten und jedes Nahrungsmittel besitzt einen entsprechenden Kalorienwert („Preis“). Fahren Sie in den Urlaub, haben Sie nur begrenzten Stauraum im Auto zur Verfügung („Budget“) und jedes mitzuführende Gut kostet Sie Platz („Preis“). Auch hier würden Sie je nach Nutzen und Platzverbrauch kalkulieren, was Sie letzten Endes mitnehmen.

Führen Sie sich vor Augen, dass das negative Preisverhältnis die Steigung der Budgetgerade angibt: \( -\frac{p_{x_1}}{p_{x_2}}=\frac{\varDelta_{x_2}}{\varDelta_{x_1}}. \)

In unserem Fall bedeutet dies: \( \frac{U_{\ddot{\mathrm{A}\quad } pfel}^{\hbox{'}}}{p_{\ddot{\mathrm{A}\quad } pfel}}=\frac{U_{Bananen}^{\hbox{'}}}{p_{Bananen}}\to \frac{44\, U}{0,40\, \text{\EUR}}=\frac{22\, U}{0,20\, \text{\EUR}}=110\frac{\, U}{\, \text{\EUR}}. \)

Mit Bezeichnungen anstelle der Werte demnach: \( -\frac{U_{\ddot{\mathrm{A}\quad } pfel}^{\hbox{'}}}{U_{Bananen}^{\hbox{'}}}=-\frac{p_{\ddot{\mathrm{A}\quad } pfel}}{p_{Bananen}}. \)

So gleicht das (negative) Verhältnis des Grenznutzens dem (negativen) umgekehrten Tauschverhältnis (der umgekehrten Grenzrate der Substitution).

Obwohl „einfach“ vielleicht auch das falsche Wort ist, denn Untersuchungen haben gezeigt, dass zwar intrakategorial (bspw. mag ich in der Kategorie Obst etwa Bananen lieber als Birnen) eine solche Einschätzung gut funktioniert und stabile Ergebnisse liefert, diese Stabilität aber interkategorial („Mögen Sie Rinderfilet oder Apfel lieber?“) nicht vorausgesetzt werden kann. Vgl. hierzu Kahneman, Daniel (2011), S. 440.

Was ebenfalls damit einhergeht, ist die Abkehr der interpersonellen Vergleichbarkeit von Nutzen.

Nutzenindifferenzkurven können Sie sich wie Höhenlinien im Gebirge vorstellen. Sie haben ein Koordinatensystem mit drei Achsen. Zwei der Achsen stellen die Gütermengen für die Güter x₁ und x₂ dar. Die dritte Achse den Gesamtnutzen (U). Sie können sich nun vorstellen, dass Sie das Koordinatensystem von drei Seiten betrachten können. Von links sehen Sie die Zunahme des Gesamtnutzens bei Ausweitung der Menge des Gutes x₂ und konstanter Menge x₁. Von rechts (illustriert anhand der degressiv verlaufenden Gesamtnutzenkurve in Abhängigkeit der Menge x₁) den Gesamtnutzen bei Ausweitung der Menge von x₁ und konstanter Menge x₂. Und von oben betrachtet (mit demnach x₁ und x₂ als Achsen bei zweidimensionaler Betrachtung) die Höhenlinien. Und je „höher“ auf dem Nutzengebirge, desto höher ist das Nutzenniveau, kurzum: Je weiter entfernt vom Ursprung in unserem x₁x₂-Diagramm.

Die Grenzrate der Substitution (GRS) wäre in diesem Beispiel demnach bestimmt, durch den Tausch zweier Flaschen Rotwein gegen eine Tafel Schokolade: \( GRS\, \left({x}_2\backslash zu\, {x}_1\right)=\frac{\varDelta {x}_2}{\varDelta {x}_1}=\frac{\varDelta Wein}{\varDelta Schokolade}=\frac{-2\, \backslash Wein}{+1\, \backslash Schokolade}=-2 \). Vgl. hierzu auch Feldman, Allan M. (1980), S. 30 sowie Fischbach, Rainer und Wollenberg, Klaus (2007), S. 176–177. Zwei Flaschen Wein werden demnach durch eine Einheit Schokolade substituiert. Dass die Substitutionskraft von Schokolade abnimmt, je mehr wir hiervon besitzen und je weniger Wein wir haben (bzw. je mehr oder weniger wir relativ zum anderen Gut besitzen), zeigt die Berechnung der GRS von Wein durch Schokolade, wenn wir von vier Flaschen ausgehend eine abgeben würden. In dem Fall müssten uns bereits drei Einheiten Schokolade geboten werden. Die GRS beträgt dann: \( GRS=\frac{\varDelta Wein}{\varDelta \, Schokolade}=\frac{-1\, \backslash Wein}{+3\, \backslash Schokolade}=-\frac{1}{3} \). Eine Einheit Schokolade ersetzt also lediglich ein Drittel an Wein. Vgl. Fehl, Ulrich und Oberender, Peter (2002), S. 196. Zugegeben, das ist genau genommen nicht ganz korrekt. Wird mit dem Differenzenquotienten gearbeitet, so wie ich dies zuvor noch getan habe, dann ermitteln wir genau genommen nicht die Grenzrate der Substitution, sondern die Durchschnittsrate der Substitution (DRS). Die Grenzrate (marginal rate) geht von der infinitesimal kleinen Änderung von Schokolade aus. Verwendung findet der Differenzialquotient. Genau wäre demnach Folgendes korrekt: \( DRS\, \left({x}_2\backslash \, zu\, {x}_1\right)=\frac{\varDelta {x}_2}{\varDelta {x}_1} \) und \( GRS\, \left({x}_2\, \backslash zu\, {x}_1\right)=-\frac{\mathrm{d}{x}_2}{\mathrm{d}{x}_1} \). Wir werden diese Unterscheidung, so wie viele Lehrbücher, nachfolgend aber nicht aufrechterhalten.

Vgl. bspw. Feess, Eberhard (2000), S.190–191.

Falls Sie in einer Lerngruppe arbeiten: Jemand kauft bspw. zehn kleine Tüten Gummibären und zwanzig Fruchtbonbons. Einer Person aus der Lerngruppe geben Sie zwei Tüten Gummibären und zwölf Bonbons, die andere Person bekommt den Rest beider Güter. Nun dürfen die beiden so lange tauschen, bis keiner der beiden einem Tausch mehr zustimmen würde. Im Kern sollte dabei das Ergebnis hergestellt werden, dass im Folgenden Abschnitt als Tauschhandlungen innerhalb der Edgeworth-Box dargestellt wird.

Wir erinnern uns: Pareto-Effizienz bedeutet, dass niemand mehr bessergestellt werden kann, ohne jemanden schlechter zu stellen.

Die Tauschbox muss aber nicht so schön symmetrisch sein, wie in diesem Beispiel mit jeweils zwölf Einheiten der Güter. Vgl. für eine allgemeinere Darstellung bspw. Scheufen, Marc (2018), S. 71–72.

Im Übrigen können wir auch einmal die Nutzenfunktion partiell nach x₁ und x₂ ableiten, um den Grenznutzen zu ermitteln. Wir erhalten: \( \frac{\partial U}{\partial {x}_1}=2{x}_1{x}_2 \) und \( \frac{\partial U}{\partial {x}_2}={x}_1^2 \). Im Falle des optimalen Güterbündels laut Equimarginalprinzip sollten die Grenznutzen der Güter je Euro identisch sein. Die Preise der Güter kennen wir. Somit können wir auch den Grenznutzen je Euro ausdrücken. Für Gut 1 wäre dies \( \frac{\frac{\partial U}{\partial {x}_1}}{p_1}=\frac{2{x}_1{x}_2}{2} \) und für Gut 2 wäre dies \( \frac{\frac{\partial U}{\partial {x}_2}}{p_2}=\frac{x_1^2}{1}. \) Setzen wir für beide Güter einmal die ermittelten Mengen von 10 Einheiten ein, ist der Grenznutzen je Euro mit einem Wert von \( 100\frac{U}{\text{\EUR}} \) in der Tat in beiden Fällen gleich groß. Und wie wir sehen, stimmt der Grenznutzen je Euro durch Ermittlung mithilfe des Equimarginalprinzips mit dem über den Lambda-Wert bestimmten Grenznutzen je Euro überein. Ebenfalls kennen wir die Umformung, aus \( \frac{U_{x_1}^{\prime }}{p_1}=\frac{U_{x_2}^{\prime }}{p_2} \) zu \( \frac{U_{x_1}^{\prime }}{U_{x_2}^{\prime }}=\frac{p_1}{p_2} \). Setzen wir hierfür die vorhandenen Informationen ein, erhalten wir: \( \frac{2{x}_1{x}_2}{x_1^2}=\frac{2}{1}\to \frac{2{x}_2}{x_1}=2\to 2{x}_2=2{x}_1\to {x}_1={x}_2. \)

Vgl. bspw. Schumann, Jochen et al. (2011), S. 61–63.

Da zu Zeiten von Ernst Engel das Elastizitätskonzept noch nicht gebräuchlich war, kam die Aufarbeitung von Engels Ergebnissen unter Berücksichtigung der Einkommenselastizität erst später. Vgl. Grings, Michael (2007), S. 293. Betrachten wir aber kurz folgendes Zitat von Ernst Engel: „[…] je ärmer eine Familie ist, einen desto grösseren Anteil von der Gesammtausgabe [sic] muss zur Beschaffung der Nahrung aufgewendet werden“ Ernst Engel, 1895, Anhang I, S. 28 und er schlussfolgert „die Thatsache [sic], dass das Mass der Ausgaben für die Ernährung unter übrigens gleichen Umständen ein untrügliches Mass des materiellen Befindens einer Bevölkerung überhaupt ist.“ Ernst Engel 1895, Anhang I, S. 29. Und er ergänzt „Diese Zahlen zeigen sehr deutlich, wie das vorn ausgesprochene Gesetz gelesen und verstanden werden muss. Nicht die absolute Menge der Ausgaben für Nahrung, Kleidung etc. wird bei grösserem Wohlstand vermindert, nein, […] sondern nur die relative Menge“ Ernst Engel, 1895, Anhang I, S. 33. Was schließen wir aus dieser Aussage? Wenn wir also bei steigendem Einkommen auch steigenden Konsum von Nahrungsmitteln beobachten, dann handelt es sich um normale Güter und um einen positiven Elastizitätswert. Ist der Anstieg des Nahrungsmittelkonsums jedoch gemessen an der Verfügbarkeit eines steigenden Einkommens unterproportional, so können wir von einem Elastizitätswert kleiner 1 ausgehen. Vgl. Grings, Michael (2007), S. 293. Steigt nunmehr das Einkommen immer weiter an, der Anteil der Ausgaben (also relative Ausgaben, nicht absolute) an etwa Nahrungsmitteln aber sinkt, dann schließt Engel daraus auf gestiegenen Wohlstand: „Einen je geringeren Procentsatz (unter übrigens gleichen klimatischen Verhältnissen) von sämtlichen Ausgaben die Ausgaben für Nahrung und für die physische Erhaltung überhaupt in Anspruch nehmen und zu nehmen brauchen desto wohlhabender ist dies Volk und umgekehrt.“ Ernst Engel, 1895, Anhang I, S. 50.

Dies ergibt sich einfach durch Multiplikation der errechneten Mengen mit den Güterpreisen: 14, 14 ∗ 9,00 + 21,21 ∗ 6,00 = 254,52 €.

Vgl. Demmler, Horst (1995), S. 137 sowie Baßeler, Ulrich et al. (1999), S. 150–152 und Breyer, Friedrich (2015), S. 156–159.

Vgl. Demmler, Horst (1995), S. 138 sowie Baßeler, Ulrich et al. (1999), S. 150–152.

\( {x}_{t_1}=\frac{1}{p}\ast \left({E}_{t_0}+i{E}_{t_0}-p{x}_{t_0}- ip{x}_{t_0}+{E}_{t_1}\right) \) und nun folgt \( \frac{d{x}_{t_1}}{d{x}_{t_0}}=\frac{1}{p}\ast \left(-p- ip\right)\to -1-i\to -\left(1+i\right) \). Vgl. auch Endres, Alfred und Martiensen, Jörn (2007), S. 184.

Erhöht sich die konsumierte Menge in der Gegenwart bspw. von 0 auf 40, so reduziert sich die konsumierbare Menge in der Zukunft um 50 Einheiten auf 40 Einheiten. Dies ist der Punkt B, in dem nämlich das laufende Einkommen gänzlich in der jeweiligen Periode verausgabt wird.

Vgl. Demmler, Horst (1995), S. 139–145 sowie Baßeler, Ulrich et al. (1999), S. 150–152.

Ein weiterer Aspekt, der betrachtet werden könnte, wäre eine Veränderung des laufenden Einkommens. So könnte das Einkommen in Periode 0 weiterhin 400 € betragen, das Einkommen in t = 1 dagegen 500 €. Die Änderung in einer entsprechenden Abbildung sind denkbar einfach. Eine Einkommenserhöhung (egal in welcher Periode) führen zu einer Parallelverschiebung der intertemporalen Budgetrestriktion nach außen und eine Einkommenssenkung zu einer Verschiebung nach innen. Siehe hierzu Endres, Alfred und Martiensen, Jörn (2007), S. 188–189.

Vgl. auch Scheufen, Marc (2018), S. 80–81.

In der Tat steckt in der Nachfragekurve sowohl der Einkommens- als auch der Substitutionseffekt, was ein typisches Charakteristikum der „Marshall’schen“ Nachfragefunktion ist. Ein alternatives, jedoch nicht sehr verbreitetes Konzept ist die in der Regel steiler verlaufende „Hicks’sche“ Nachfragefunktion, bei der durch die Einkommenskompensation lediglich der Substitutionseffekt zur Herleitung der Nachfragefunktion Verwendung findet. Die Hick’sche Nachfragekurve ist auch unter dem Begriff der „kompensierten Nachfragefunktion“ bekannt.

Siehe Hicks, John R. und Allen, Roy G. D. (1934).

Vgl. Eaton, B. Curtis und Eaton, Diane F. (1995), S. 100.