9. Theorie der Variation

In diesem Kapitel werden grundlegende Konzepte der deterministischen Integrationstheorie im Sinne von Riemann-Stieltjes und Lebesgue-Stieltjes untersucht. Es wird gezeigt, dass die Trajektorien einer Brownschen Bewegung nicht regulär genug sind, um das Brownsche Integral in einem deterministischen Sinne Pfad für Pfad zu definieren. Dafür werden die Konzepte der ersten und zweiten Variation einer Funktion eingeführt, die bei der Konstruktion des stochastischen Integrals entscheidend sind. Im zweiten Teil des Kapitels werden Semimartingale als wichtige Klasse von stochastischen Prozessen eingeführt, die die Summe eines lokalen Martingals und eines Prozesses von beschränkter Variation sind. Ein zentrales Ergebnis ist der Doob-Meyer-Zerlegungssatz, der besagt, dass jedes Martingal in die Summe eines Martingals und eines Prozesses von beschränkter Variation zerlegt werden kann. Die Ergebnisse dieses Kapitels bilden die Grundlage für die Konstruktion des stochastischen Integrals, das im nächsten Kapitel vorgestellt wird. Das Kapitel bietet eine detaillierte Herleitung und Erklärung der Konzepte, die für die stochastische Integration essenziell sind, und verbindet diese mit praktischen Beispielen und Anwendungen.