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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Numerische Methoden zur Lösung Linearer Integralgleichungen

Frontmatter

Einleitende Bemerkungen

Zusammenfassung
Nachdem in Kapitel 5 die Frage nach der Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen linearer Integralgleichungen geklärt und in den danach folgenden Kapiteln allgemeine Lösungsverfahren für verschiedene Klassen von Integralgleichungen entwickelt worden sind, wobei auch eine Reihe wichtiger Eigenschaften der Lösungen untersucht wurden, soll nunmehr einiges über die genäherte numerische Bestimmung der Lösungsfunktionen und der zu den Integraloperatoren gehörigen Eigenwerte gesagt werden.
S. Fenyö, H. W. Stolle

17. Approximation von Kernen durch ausgeartete Kerne

Zusammenfassung
In 5.4. wurden die Eigenschaften endlichdimensionaler Integraloperatoren untersucht, deren Kerne die Gestalt
$$ K(s,t) = \sum\limits{k = 1}^n {{a_k}(s){b_k}(t)\;((s,t)\varepsilon \times )} $$
(1)
haben und die hier ausgeartete Kerne (oder auch Produktkerne) genannt werden sollen.
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18. Iterationsverfahren für Fredholmsche Gleichungen zweiter Art

Zusammenfassung
Die numerische Lösung von Operatorgleichungen durch Iterationsverfahren ist in vielfältiger Weise möglich. Eine spezielle Methode, die sukzessive Approximation und die damit in Zusammenhang stehende Neumannsche Reihe, haben wir schon in früheren Kapiteln behandelt.
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19. Quadraturformelmethoden für Fredholmsche Integralgleichungen zweiter Art

Zusammenfassung
Wir werden wieder die Integralgleichung
$$ x = \mu kx + g,(kx)(s) = \int\limits_\Delta {K(s,t)x(t)dt} $$
(A)
zugrunde legen, wobei Δ= [a, b] ein endliches Intervall sein soll und K(s, t) als stetige Funktion Δ × Δ vorausgesetzt wird.
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20. Variationsmethoden und Projektionsverfahren

Zusammenfassung
Die Suche nach der Lösung einer Operatorgleichung der Gestalt (E - μK) x = g wird häufig auf die Aufgabe zurückgeführt, ein gewisses Funktional zu einem Minimum zu machen. Methoden dieser Art werden Variationsmethoden genannt. Dazu gehört als ein fundamentales Verfahren die sogenannte energetische Methode von Michlin (siehe z. B. [Michlin 1962 (c), 1972]) für lineare, positiv definite und selbstadjungierte Operatoren im Hilbertraum, die mit großem Erfolg zur numerischen Lösung von Integralgleichungen herangezogen werden kann. Sie soll deshalb hier kurz besprochen werden.
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21. Weitere numerische Verfahren für Fredholmsche und Volterrasche Integralgleichungen

Zusammenfassung
Für eine sehr allgemeine Klasse von Integralgleichungen kann ein wirksames Verfahren zur Eingrenzung der Lösungen angegeben werden, das von Marsal stammt [Marsal 1970] und eine bequeme Methode zum Auffinden einer groben Näherung für die Lösung darstellt.
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22. Lösung von Integralgleichungen mit Splinefunktionen

Zusammenfassung
In jüngster Zeit hat die Verwendung von Splinefunktionen zur Lösung verschiedener Operatorgleichungen eine weite Verbreitung gefunden. Wir geben im folgenden einen kurzen Einblick in diese wichtige Methode der numerischen Mathematik mit der Blickrichtung auf die numerische Lösung linearer Integralgleichungen.
S. Fenyö, H. W. Stolle

23. Einige Lösungsverfahren für Integralgleichungen mit singulären Kernen

Zusammenfassung
In den meisten bisher behandelten numerischen Lösungsverfahren für lineare Integralgleichungen erster und zweiter Art wurde vorausgesetzt, daß der Kern beschränkt und stetig ist. Wir betrachten jetzt nur Integralgleichungen, die einen singulären Kern haben, genauer, deren Kern an bestimmten Stellen unbeschränkt ist.
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24. Spezielle Methoden zur Eigenwertberechnung

Zusammenfassung
Eine sehr wichtige Frage für die Anwendungen ist die numerische Berechnung der Eigenwerte von Integralgleichungen. Alle in den vorhergehenden Abschnitten besprochenen Methoden geben die Möglichkeit, die Eigenwerte numerisch zu bestimmen. An verschiedenen Stellen wurde bereits darauf hingewiesen. In diesem Zusammenhang muß insbesondere das Ritzverfahren erwähnt werden (siehe 21.1.), durch das obere Schranken für die charakteristischen Zahlen geliefert werden. In diesem Abschnitt sollen darüber hinaus noch einige spezielle und unter den gegebenen Bedingungen besonders wirkungsvolle Verfahren zusammengestellt werden.
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25. Fehlerschranken, Konvergenz und Stabilität der Näherungslösungen von Operatorgleichungen zweiter Art

Zusammenfassung
Wir betrachten in diesem Abschnitt Operatorgleichungen der allgemeinen Gestalt
$$ ({\cal E} + A)x = g, $$
(1)
wobei A ein beliebiger linearer und beschränkter Operator sein soll, der den Banachraum X in sich abbildet, d. h. A ∈ B(X, X). ℰ ist wie immer der Identitätsoperator, g ∈ X ein gegebenes und x ∈ X ein gesuchtes Element, so daß (1) erfüllt ist.
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Einige Anwendungen von Integralgleichungen

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26. Anwendung der Theorie der Integralgleichungen zur Lösung von Differentialgleichungen

Zusammenfassung
Wir betrachten die lineare inhomogene Differentialgleichung
$$ {y^{(n)}} + {a_1}{y^{(n - 1)}} + ... + {a_n}y = f $$
(1)
im Intervall 0 ≦ tT wobei die Koeffizienten \( {a_i} = {a_i}(t)(i = 1,2,...,n;0tT \) und f vorgegebene Funktionen aus C([0, T]) sind.
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27. Integralgleichungen und konforme Abbildungen

Zusammenfassung
Es sollen in diesem Kapitel einige konstruktive Methoden zur Bestimmung der konformen Abbildung eines einfach zusammenhängenden Bereichs S+ mit der glatter bzw. stückweise glatten rektifizierbaren Randkurve Γ auf das Innere des Einheitskreises |w| < 1 besprochen werden, die mit Hilfe von Integralgleichungen beschrieben werden können (siehe z. B. auch [Gaier 1964; KantorowitschKrylow 1956]).
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28. Einige Probleme der Elastizitätstheorie

Zusammenfassung
Wir betrachten die linearen elastischen Gebilde (z. B. einen Träger oder eine gespannte Saite) auf der Grundlage der Theorie kleiner Verformungen. Die Länge des ins Auge gefaßten elastischen Gebildes sei l. Wir nehmen an, daß seine Durchbiegung G(s, t) im Punkt mit der Koordinate s hervorgerufen durch eine Kraft der Größe P = 1 quer zur Längsrichtung des Trägers oder der Saite, die im Punkt mit der Koordinate t angreift, aus statischen Überlegungen heraus bekannt ist. G(s, t) wird als Einfluβfunktion (manchmal auch Greensche Funktion (siehe Kapitel 26)) des elastischen Gebildes bezeichnet (Bild 1; 28.1).
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29. Einige Probleme der Strömungsmechanik

Zusammenfassung
Bevor wir auf die Anwendung der Integralgleichungen in der Strömungsmechanik eingehen, wollen wir einige Grundlagen über ebene Potentialströmungen zusammenstellen.
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30. Einige Probleme der Elektrodynamik

Zusammenfassung
Die grundlegenden Beziehungen der Elektrodynamik bilden die Maxwellschen Gleichungen, die die gegenseitige Abhängigkeit der elektrischen Feldstärke E, der magnetischen Feldstärke H, des elektrischen Stromes J, des magnetischen Stromes J’ und der Ladungsdichten ϱ und ϱ’ beschreiben.
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31. Die Integralgleichung der Neutronentransporttheorie

Zusammenfassung
Im folgenden sollen einige Probleme der monoenergetischen Theorie des Neutronentransports zur Darstellung gebracht werden. Dabei wird angenommen, daß die Geschwindigkeit y aller Teilchen (Neutronen) gleich groß ist. Bedeutet ϱ(u, s, t) die Dichte der Teilchen im Punkt u = u1, u2, u3) des Mediums, die zum Zeitpunkt t in der Richtungs s = (cos(s, u1), cos(s, u2), cos(s, u3) mit |s| = 1 fliegen, dann wird der Teilchenstrom durch Ψ(u, s, t) = vϱ(u, s, t) gegeben.
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32. Die Integralgleichung der Erneuerungstheorie

Zusammenfassung
Wir betrachten in diesem Kapitel die Integralgleichung
$$ x(s) = g(s) + \int\limits_o^s {k(s - t)x(t)dt,} $$
(1)
bei der der Kern nur von st abhängt. Sie kann als die grundlegende Gleichung der Erneuerungstheorie betrachtet werden. Da das Integral in Gleichung (1) die Faltung k * x der beiden Funktionen k(t) und x(t) darstellt (siehe 15 ; 11.5)), können wir anstelle von (1) auch
$$ x(s) = g(s) + (k*x)(8) $$
(1’)
schreiben (Faltungsgleichung). Mit dieser Gleichung haben wir uns auch schon in 13.1.2. beschäftigt.
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