Time-Inconsistent Control Theory with Finance Applications
- 2021
- Buch
- Verfasst von
- Prof. Tomas Björk
- Dr. Mariana Khapko
- Dr. Agatha Murgoci
- Buchreihe
- Springer Finance
- Verlag
- Springer International Publishing
Über dieses Buch
Dieses Buch widmet sich Problemen stochastischer Kontrolle und Unterbrechung, die insofern zeitlich widersprüchlich sind, als sie kein Bellman-Optimalitätsprinzip zulassen. Diese Probleme werden in einen spieltheoretischen Rahmen gegossen, wobei der Schwerpunkt auf subgame-perfekten Nash-Gleichgewichtsstrategien liegt. Die allgemeine Theorie wird durch eine Reihe von Finanzanwendungenveranschaulicht. Bei dynamischen Auswahlproblemen ist Zeitunstimmigkeit eher die Regel als die Ausnahme. Tatsächlich führt, wie Robert H. Strotz in seinem bahnbrechenden Aufsatz aus dem Jahr 1955 aufzeigte, die Lockerung der weit verbreiteten Ad-hoc-Annahme exponentieller Diskontierung zu zeitlicher Inkonsistenz. Weitere berühmte Beispiele für zeitliche Inkonsistenz sind die Wahl des Portfolios mit der mittleren Varianz und die Prospekttheorie in einem dynamischen Kontext. Bei derartigen Modellen wird schon das Konzept der Optimalität problematisch, da sich die Präferenzen der Entscheidungsträger im Laufe der Zeit auf zeitlich widersprüchliche Weise ändern. In diesem Buch wird ein zeitlich inkonsistentes Problem als unkooperatives Spiel zwischen dem gegenwärtigen und zukünftigen Selbst des Agenten betrachtet, mit dem Ziel, intrapersonale Gleichgewichte im spieltheoretischen Sinne zu finden. Es werden eine Reihe von Finanzanwendungen angeboten, darunter Probleme mit nicht exponentiellen Diskontierungen, Objektiven mit mittlerer Varianz, zeitlich inkonsistenten linearen quadratischen Regulierungsmechanismen, Wahrscheinlichkeitsverzerrungen und Marktgleichgewichten mit zeitlich inkonsistenten Präferenzen. Time-Inconsistent Control Theory with Finance Applications bietet die erste umfassende Behandlung von zeitlich inkonsistenten Steuerungs- und Stopp-Problemen sowohl in kontinuierlicher als auch diskreter Zeit und im Kontext von Finanzanwendungen. Es richtet sich an Forscher und Doktoranden in den Bereichen Finanzen und Ökonomie und umfasst eine Überprüfung der standardmäßig zeitkonsistenten Ergebnisse, bibliografische Notizen sowie detaillierte Beispiele, die Probleme mit der Zeitkonsistenz aufzeigen. Für den Leser, der mit der gängigen Arbitrage-Theorie nicht vertraut ist, bietet ein Anhang einen Werkzeugkasten an Material, das für das Buch benötigt wird.
Mit KI übersetzt
Über dieses Buch
This book is devoted to problems of stochastic control and stopping that are time inconsistent in the sense that they do not admit a Bellman optimality principle. These problems are cast in a game-theoretic framework, with the focus on subgame-perfect Nash equilibrium strategies. The general theory is illustrated with a number of finance applications.
In dynamic choice problems, time inconsistency is the rule rather than the exception. Indeed, as Robert H. Strotz pointed out in his seminal 1955 paper, relaxing the widely used ad hoc assumption of exponential discounting gives rise to time inconsistency. Other famous examples of time inconsistency include mean-variance portfolio choice and prospect theory in a dynamic context. For such models, the very concept of optimality becomes problematic, as the decision maker’s preferences change over time in a temporally inconsistent way. In this book, a time-inconsistent problem is viewed as a non-cooperative game between the agent’s current and future selves, with the objective of finding intrapersonal equilibria in the game-theoretic sense. A range of finance applications are provided, including problems with non-exponential discounting, mean-variance objective, time-inconsistent linear quadratic regulator, probability distortion, and market equilibrium with time-inconsistent preferences.
Time-Inconsistent Control Theory with Finance Applications offers the first comprehensive treatment of time-inconsistent control and stopping problems, in both continuous and discrete time, and in the context of finance applications. Intended for researchers and graduate students in the fields of finance and economics, it includes a review of the standard time-consistent results, bibliographical notes, as well as detailed examples showcasing time inconsistency problems. For the reader unacquainted with standard arbitrage theory, an appendix provides a toolbox of material needed for the book.
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Inhaltsverzeichnis
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Frontmatter
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Chapter 1. Introduction
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDieses Kapitel vertieft sich in das komplizierte Konzept der zeitlichen Inkonsistenz dynamischer Auswahlprobleme, ein Phänomen, bei dem optimale Entscheidungen zu einem bestimmten Zeitpunkt möglicherweise nicht mit denen zu einem späteren Zeitpunkt übereinstimmen. Die Autoren beginnen mit einer Überprüfung der dynamischen Programmierung und der Prinzipien der Zeitkonsistenz, wobei sie die Bedingungen hervorheben, unter denen Probleme im Laufe der Zeit konsistent bleiben. Anschließend präsentieren sie vier überzeugende Beispiele aus der Finanzökonomie, bei denen die Zeitkonsistenz versagt, wie etwa nicht exponentielle Diskontierung und der Nutzen der mittleren Varianz. Um diese Widersprüche zu beheben, untersuchen die Autoren verschiedene Ansätze, darunter Vorverpflichtung, naive Strategien und eine spieltheoretische Perspektive, die nach subgame-perfekten Gleichgewichtspunkten strebt. Das Kapitel weitet diese Ideen auch auf das Stoppen von Problemen aus und zeigt, wie Zeitunstimmigkeiten auftreten können und wie die Spieltheorie angewendet werden kann, um optimale Stoppstrategien zu finden. Insgesamt bietet der Text einen detaillierten theoretischen Rahmen und praktische Beispiele, was ihn zu einer wertvollen Ressource für das Verständnis und die Behebung von Zeitunstimmigkeiten in dynamischen Entscheidungsprozessen macht.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we introduce the concept of time inconsistency in dynamic choice problems. We start by reviewing the key ideas of dynamic programming and listing the main reasons for the time consistency in a given problem. We then present a number of seemingly simple examples from financial economics in which time consistency fails to hold. To tackle these (and similar problems), we outline the different approaches developed in the literature for handling time inconsistency in a dynamic stochastic control setting. In this book, we take the game-theoretic approach and look for subgame-perfect equilibrium strategies. Additionally, we emphasize that, similar to control problems, a stopping problem can be time inconsistent if it does not admit a Bellman optimality principle. -
Optimal Control in Discrete Time
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Frontmatter
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Chapter 2. Dynamic Programming Theory
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDas Kapitel beginnt mit einem grundlegenden Aufbau eines gefilterten Wahrscheinlichkeitsraums und eines diskret zeitgesteuerten Markov-Prozesses, wobei das Konzept eines kontrollierten Prozesses und das damit verbundene Gesetz vorgestellt werden. Anschließend vertieft sie sich durch einen Vergleich optimaler und abweichender Kontrollgesetze in die Ableitung der Bellman-Gleichung, einem Eckpfeiler dynamischer Programmierung. Das Kapitel untersucht auch das Konzept der Zustandsvariablen und betont ihre Bedeutung sowohl für Vorwärts- als auch Rückwärtszeitprozesse. Praktische Ansätze zum Umgang mit der Bellman-Gleichung, einschließlich numerischer Methoden, analytischer Ansätze und qualitativer Analysen, werden diskutiert. Der Text schließt mit einer Literaturübersicht, in der wichtige Referenzen im Bereich der stochastischen Optimalkontrolle empfohlen werden.KI-Generiert
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AbstractAlthough our objective is to study time-inconsistent control problems, we will in fact make use of ideas from dynamic programming in our study. In this chapter we therefore give a brief summary of standard discrete-time dynamic programming. We will give the main arguments while going lightly on some of the more technical issues, sweeping measurability and integrability issues under the carpet. -
Chapter 3. The Linear Quadratic Regulator
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDer Linear Quadratic Regulator (LQR) ist eine grundlegende Konstruktionstechnik in Steuerungssystemen, die darauf abzielt, Prozesseinstellungen durch Minimierung einer quadratischen Kostenfunktion zu optimieren. Dieses Kapitel konzentriert sich auf eine vereinfachte skalare Version des LQR-Problems und veranschaulicht den Einsatz dynamischer Programmierung und der Bellman-Gleichung. Ziel ist es, eine bestimmte Funktion mit bekannter skalarer Dynamik zu minimieren, was zu einem zeitkonsistenten Problem führt. Die Lösung besteht darin, einen Ansatz für die Wertfunktion vorzuschlagen und die optimale Steuerung durch ein rekursives System abzuleiten. Dieser Ansatz bietet einen klaren Weg zum Verständnis und zur Anwendung von LQR in verschiedenen Bereichen, von der Robotik bis hin zu Klimakontrollsystemen.KI-Generiert
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AbstractIn order to illustrate the use of dynamic programming and the Bellman equation we now consider a classical engineering problem: The linear quadratic regulator or LQR. The LQR is a well-known design technique in which a process or machine has its settings optimized by minimizing a quadratic cost function. The cost function is often defined as the sum of deviations for key properties (altitude, temperature, etc.). Applications range from underactuated robotics to nanorobotics, general operation of technical systems such as power or climate control systems, physics, statistics, and econometrics. -
Chapter 4. A Simple Equilibrium Model
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDas Kapitel befasst sich mit einem zeitkonsistenten Gleichgewichtsmodell, wobei der Schwerpunkt auf einer diskreten Zeitversion des Cox-Ingersoll-Ross-Modells liegt. Sie beginnt mit der Analyse eines Konsum- und Investitionsproblems bei exogen angegebenen Preisen und bewegt sich dann zu einem Gleichgewichtsrahmen, in dem zentrale Variablen endogen bestimmt werden. Das Problem des Wirkstoffs wird mittels dynamischer Programmierung formuliert, was zur Ableitung der Euler-Gleichung für den Verbrauch führt. Das Kapitel untersucht auch Konzepte aus der Arbitrage-Theorie, einschließlich der Identifizierung des stochastischen Diskontfaktors und des Märtyrermaßes. Er schließt mit einer Diskussion über das Marktgleichgewicht, die eine umfassende Analyse des Modells und seiner Implikationen enthält.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we study a time-consistent equilibrium model, namely a discrete-time simplified version of the Cox–Ingersoll–Ross continuous-time model. We start by analyzing a consumption–investment problem in which the agent considers all prices as exogenously given. We then move to the equilibrium framework, in which the short rate, the stochastic discount factor, and the martingale measure are determined endogenously in equilibrium. In Chap. 10 we will study a time-inconsistent version of this standard problem, and it will be instructive to compare the results.
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Time-Inconsistent Control in Discrete Time
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Chapter 5. Time-Inconsistent Control Theory
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDas Kapitel vertieft die Komplexität zeitlich inkonsistenter Kontrollprobleme, bei denen optimale Entscheidungen zu einem bestimmten Zeitpunkt möglicherweise nicht mit zukünftigen Präferenzen übereinstimmen. Es beginnt mit der Rückbesinnung auf das Bellman-Optimalitätsprinzip und führt dann einen spieltheoretischen Rahmen ein, um diese Probleme als unkooperative Spiele zu modellieren. Das Hauptergebnis ist die Erweiterung der Standard-Bellman-Gleichung zu einem System nichtlinearer Gleichungen zur Bestimmung von Gleichgewichtsstrategien und Wertfunktionen. Das Kapitel beleuchtet die komplizierte Natur der zeitlichen Inkonsistenz und die Notwendigkeit zusätzlicher Funktionsabläufe, um sich ändernde Präferenzen und Anreize zu erfassen. Außerdem werden Variationen des Bellman-Systems für verschiedene Arten von Belohnungsfunktionen untersucht, einschließlich staatlich abhängiger und nichtlinearer Fälle. Die letzten Abschnitte setzen diese Ergebnisse zusammen, um ein einheitliches erweitertes Bellman-System für den allgemeinsten Fall zu präsentieren, das ein robustes Rahmenwerk für die Handhabung zeitlich inkonsistenter Steuerungsprobleme bietet.KI-Generiert
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AbstractWe now go on to study a class of time-inconsistent control problems. Before proceeding to the formal theory, we first recall a part of our discussion on the Bellman optimality principle from the Introduction. We then detail the game-theoretic formulation, whereby we view the problem as a non-cooperative game with one player at each point in time representing different incarnations of decision maker’s preferences. The main result of this chapter is the extension of the standard Bellman equation, in the form of a system of nonlinear equations, for the determination of the equilibrium strategy and the equilibrium value function. We arrive at the extended Bellman system by first studying a couple of simpler problems to highlight the main ideas and then by bringing things together for the general case. -
Chapter 6. Extensions and Further Results
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDieses Kapitel vertieft wesentliche Erweiterungen der fundamentalen Theorie nichtlinearer G-Teile in objektiven Funktionalitäten. Sie führt einen allgemeineren Begriff ein, der einen breiteren Anwendungsbereich zulässt. Der Fall des unendlichen Horizonts wird untersucht, wobei die Feinheiten der zeitlichen Inkonsistenz und die Herausforderungen der Gleichgewichtskontrolle von Existenz und Einzigartigkeit angesprochen werden. Darüber hinaus präsentiert das Kapitel ein wertvolles Skalierungsergebnis und stellt eine bemerkenswerte Äquivalenz zwischen zeit- und zeitkonsistenten Problemen dar, die eine neue Perspektive auf Optimierungsstrategien in dynamischen Umgebungen eröffnet.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we provide some extensions of the basic theory. In particular, we allow for a more general term in the nonlinear G part of the objective functional, study the infinite-horizon case, and consider a generalized expected utility model. Furthermore, we discuss questions of existence and uniqueness, present a useful scaling result, and provide an equivalence result between time-inconsistent and time-consistent problems. -
Chapter 7. Non-exponential Discounting
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDas Kapitel vertieft sich in die Komplexität der nicht exponentiellen Diskontierung, einer kritischen Unterklasse zeitlich inkonsistenter Probleme in der Ökonomie. Es wird eine allgemeine Modellklasse mit nicht-exponentiellem Diskontieren eingeführt, die sich auf hyperbolische Diskontierung konzentriert und eine analytische Lösung für ein Beispiel mit logarithmischem Nutzen bietet. Der Text untersucht auch die Verallgemeinerung der Euler-Gleichung für hyperbolische Verbraucher, die als hyperbolische Euler-Gleichung bekannt ist, und diskutiert die Implikationen nicht-exponentieller Diskontierung in verschiedenen wirtschaftlichen Anwendungen wie Portfoliooptimierung, Wachstumstheorie und Umweltressourcenmanagement. Das Kapitel bietet ein umfassendes Verständnis davon, wie Zeitwidersprüchlichkeit in solchen Konstellationen natürlich entsteht und wie sie langfristige Entscheidungen beeinflusst, was es zu einer wertvollen Ressource für Fachleute macht, die versuchen, die Nuancen intertemporaler Entscheidungen zu verstehen.KI-Generiert
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AbstractProblems with non-exponential discounting constitute an important subclass of the family of time-inconsistent problems. To see how the general theory works in a more concrete case, we now consider a fairly general model class with non-exponential discounting. As a special case, we will then study the case of hyperbolic discounting, and we will obtain an analytic solution for an example with logarithmic utility. We also discuss a generalization of the Euler equation for hyperbolic consumers, the so-called hyperbolic Euler equation of Harris and Laibson (Econometrica 69:935–957, 2001). -
Chapter 8. Mean-Variance Portfolios
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDieses Kapitel vertieft das Problem der mittleren Varianz des Portfolios, einen Eckpfeiler der modernen Portfoliotheorie, indem es dessen Mehrperiodenversion untersucht. Sie befasst sich mit dem Zielkonflikt zwischen höheren Renditen und Risiken, gemessen als Varianz, in einem dynamischen Umfeld. Die Studie untersucht die daraus resultierenden intertemporalen Hedging-Strategien und stellt Portfolios mit konstanter und staatlich abhängiger Risikoaversion vor. Der letztere Ansatz, der Risikoaversion als Funktion des Wohlstands betrachtet, bietet ein wirtschaftlich vernünftigeres Modell. Das Kapitel beleuchtet auch die Probleme der zeitlichen Inkonsistenz, die den Problemen mit der mittleren Varianz innewohnen, und diskutiert Methoden, die auf ihre quadratische Struktur zugeschnitten sind. Durch die Einführung einer staatlich abhängigen Risikoaversion bietet das Kapitel einen realistischeren und wirtschaftlich solideren Rahmen für das Portfoliomanagement.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we study a multi-period version of the classical mean-variance problem. The mean-variance problem is a cornerstone of modern portfolio theory. An agent faces the trade-off between higher returns and higher risk, the latter measured as variance. The formulation is both simple and intuitive, and it is widely used both in financial industry and academia. Initially formulated as a static problem, it has been widely studied in a pre-committed setup or for myopic agents that optimize only for the next period, step by step. When applying the theory developed above, we can study the intertemporal hedging that arises in a fully dynamic setting. -
Chapter 9. Time-Inconsistent Regulator Problems
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDieses Kapitel vertieft sich in die Feinheiten zeitlich inkonsistenter linearer quadratischer Regulatorprobleme und präsentiert zwei unterschiedliche Varianten. Die erste Variante führt durch eine quadratische Funktion des zu erwartenden Wertes zu einer zeitlichen Inkonsistenz, was zu einer einzigartigen Bellman-Gleichung und einer linearen Gleichgewichtskontrolle führt. Die zweite Variante beinhaltet eine explizite Abhängigkeit vom Ausgangszustand, was zu einer anderen Form der zeitlichen Inkonsistenz führt. Beide Variationen werden durch spezifische Rekursionen und Vorschläge gelöst und bieten eine umfassende Analyse, die das klassische lineare quadratische Regulatorproblem erweitert. Das Kapitel hebt auch relevante Literatur hervor und bietet eine vergleichende Analyse bestehender Lösungen in diesem Bereich.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we study two time-inconsistent versions of the classical linear quadratic regulator. In the first version, time inconsistency enters through a quadratic function of the expected value. In the second version, time inconsistency enters through an explicit dependence of the initial state in the quadratic term. As time passes, the final target point changes. -
Chapter 10. A Time-Inconsistent Equilibrium Model
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDieses Kapitel baut auf dem Gleichgewichtsmodell von Kapitel 4 auf und führt zeitlich inkonsistente Präferenzen für den Repräsentanten ein. Die Nützlichkeitsfunktion des Agenten hängt sowohl von der Zeit als auch vom Zustand ab, was zu einem dynamischen Entscheidungsprozess führt. Das Kapitel untersucht das Problem des Maklers, einschließlich Portfoliodynamik und Verbrauchsbeschränkungen, und definiert intrapersonale Gleichgewichte und Marktgleichgewichte. Sie leitet auch die erweiterte Bellman-Gleichung, Bedingungen erster Ordnung und den stochastischen Diskontfaktor ab. Das Marktgleichgewicht wird endogen bestimmt, wobei der risikofreie Renditeprozess eine Schlüsselkomponente darstellt. Das Kapitel schließt mit einem Theorem, das die Gleichgewichtsbedingungen und die optimalen Verbrauchs- und Portfoliogewichte für den repräsentativen Agenten skizziert.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we consider the equilibrium model from Chap. 4, which is a discrete-time simplified version of the Cox–Ingersoll–Ross type of economy. We now assume, however, that the representative agent has time-inconsistent preferences. The time inconsistency enters the problem via time- and state-dependence of the agent’s utility function. Loosely speaking, when standing today and making decisions about the future, the preference ordering of the decision maker is allowed to depend on the current state and the current time. In this setting we study both the agent’s problem (intrapersonal equilibrium) and the pricing implications (market equilibrium).
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Optimal Control in Continuous Time
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Chapter 11. Dynamic Programming Theory
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDieses Kapitel vertieft sich in die Theorie der dynamischen Programmierung in kontinuierlicher Zeit, insbesondere im Kontext kontrollierter stochastischer Differentialgleichungen (SDEs), die durch einen enddimensionalen Wiener Prozess angetrieben werden. Es beginnt mit der Festlegung des grundlegenden Rahmens, einschließlich Driftfunktion, Diffusionsmatrix, lokaler Versorgungsfunktion und terminaler Versorgungsfunktion. Das Hauptproblem ist die Optimierung eines Kontrollprozesses, um den erwarteten Nutzen zu maximieren. Das Kapitel stellt das Konzept der zulässigen Kontrollgesetze vor, die an den staatlichen Prozess angepasst werden müssen und gewisse Einschränkungen erfüllen. Es wird auch der infinitesimale Operator und seine Rolle in der Theorie diskutiert, sowie die Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung, die für die Lösung des optimalen Steuerungsproblems entscheidend ist. Das Kapitel liefert eine heuristische Ableitung dieser Gleichung und hebt die Bedeutung der Zeitkonsistenz und des Bellman-Optimalitätsprinzips hervor. Überall betont der Text die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen kontinuierlichen und diskreten Zeitfällen, was ihn zu einer wertvollen Ressource für Fachleute macht, die die Nuancen dynamischer Programmierung in einem kontinuierlichen Zeitumfeld verstehen wollen.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we review the theory of dynamic programming in continuous time. This can be done within the framework of a general controlled Markov process, but in order to keep the theory reasonably concrete we restrict ourselves to the case of a controlled stochastic differential equation (SDE) driven by a finite-dimensional Wiener process. The extension to an arbitrary controlled Markov process is rather obvious and we will comment upon it later. As the reader will see, the arguments in the continuous-time case will be almost exactly the same as for the discrete-time case. -
Chapter 12. The Continuous-Time Linear Quadratic Regulator
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDas Kapitel wendet die Theorie der dynamischen Programmierung auf das Problem des kontinuierlichen linearen quadratischen Reglers (LQR) an, eine klassische technische Herausforderung. Sie formuliert das LQR-Problem als Minimierung einer quadratischen Kostenfunktion, die bestimmten Beschränkungen unterliegt. Die Lösung umfasst die Ableitung der Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung (HJB) und die Vermutung, dass die Wertfunktion quadratisch ist. Das optimale Kontrollgesetz wird in der Zustandsvariablen als linear erkannt, und die Wertfunktion wird als quadratisch bestätigt. Das Kapitel hebt auch die Riccati-Gleichung zur Lösung der Matrix ODE und die Skalargleichung für die Koeffizienten der Wertfunktion hervor. Bemerkenswerte Referenzen sind Anderson und Moore (1990) und Bertsekas (2005).KI-Generiert
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AbstractIn this chapter, we apply the dynamic programming theory to the continuous-time linear quadratic regulator problem (LQR). The LQR is a classical engineering problem and design technique in which a process has its settings optimized by minimizing a quadratic cost function. The cost function is often defined as the sum of deviations for key properties (altitude, temperature, etc.). -
Chapter 13. Optimal Consumption and Investment
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociIn diesem Kapitel geht es um das klassische Konsum- und Investitionsproblem, bei dem ein Wirtschaftsakteur über Konsum und Investitionsstrategien über einen festen Zeithorizont entscheidet. Der Makler hat Zugriff auf eine risikofreie Anlage und eine riskante Anlage mit einer Dynamik, die vom Black-Scholes-Modell bestimmt wird. Das Ziel besteht darin, den Nutzen zu maximieren, der der Wohlstandsdynamik und den Beschränkungen der Kontrolle unterliegt. Das Kapitel unterstreicht die Bedeutung einer korrekten Definition des Bereichs, um unsinnige Probleme zu vermeiden, und führt eine neue Kontrollvariable ein, um die Hamiltonsche-Jacobi-Bellman-Gleichung zu vereinfachen. Sie bietet Einblicke in die Optimierung von Konsum- und Investitionsstrategien und sorgt dafür, dass Wohlstandsprozesse nicht negativ werden.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we consider a standard consumption–investment problem. In this problem, an economic agent, taking prices as given, makes decisions about how much to consume and how much to save, as well as how to allocate their savings between the available assets. (For the reader without previous experience from economic theory, Appendix A provides the necessary background on arbitrage and portfolio theory.) -
Chapter 14. A Simple Equilibrium Model
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDieses Kapitel vertieft sich in die Analyse eines einfachen Gleichgewichtsmodells innerhalb einer Produktionswirtschaft mit dem primären Ziel, die Gleichgewichtspreise von Vermögenswerten zu lösen. Im Gegensatz zu früheren Kapiteln, die von bestimmten Preisen ausgingen, zielt dieses Kapitel darauf ab, den risikofreien Gleichgewichtszinssatz, den Girsanov-Kern und den stochastischen Diskontfaktor abzuleiten. Das Modell beruht auf formalen Annahmen, einschließlich einer konstanten Rendite im Maßstab 1: 1 physischen Produktionstechnologie und eines risikofreien Vermögenswertes mit null Nettoangebot. Die Dynamik der Produktionstechnologie und der risikofreie Vermögenswert werden spezifiziert, und das Modell enthält einen repräsentativen Vertreter, der den erwarteten Nutzen maximiert. Das Kapitel definiert ein Gleichgewicht und untersucht das optimale Konsum- und Investitionsproblem für den repräsentativen Akteur, was zur Bestimmung der Gleichgewichtskurzrate und der Dynamik des Gleichgewichtswohlstandsprozesses führt. Der Girsanov-Kern und der stochastische Diskontfaktor werden ebenfalls abgeleitet, wobei ein besonderer Schwerpunkt auf der expliziten Darstellung des stochastischen Diskontfaktors mittels dynamischer Programmierung liegt. Das Kapitel schließt mit Literaturhinweisen, die die Unterscheidung zwischen Produktions- und Stiftungsgleichgewichtsmodellen hervorheben und auf einschlägige Lehrbücher verweisen.KI-Generiert
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AbstractWe now go on to analyze the simplest possible equilibrium model. Unlike the previous chapter, where we studied individual consumption and portfolio choices while taking prices as given, in this chapter our goal will be to solve for the equilibrium prices of assets in the economy. In particular, we will be able to derive the equilibrium risk-free interest rate, the equilibrium Girsanov kernel, and the equilibrium stochastic discount factor. See Appendix A for the necessary background in arbitrage theory.
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Time-Inconsistent Control in Continuous Time
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Chapter 15. Time-Inconsistent Control Theory
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDas Kapitel befasst sich mit zeitlich inkonsistenten Kontrollproblemen in kontinuierlicher Zeit und verwendet ein spieltheoretisches Rahmenwerk, um Strategien für das subgame-perfekte Nash-Gleichgewicht zu untersuchen. Sie führt eine erweiterte Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung (HJB) ein, ein Gleichungssystem, das die Standard-HJB-Gleichung verallgemeinert, um zeitlich inkonsistenten Problemen Rechnung zu tragen. Das Kapitel belegt auch einen Verifikationssatz, der zeigt, dass Lösungen für das erweiterte HJB-System tatsächlich Gleichgewichtskontrolle und Wertfunktionen liefern. Das Modell ist mit mehreren Annahmen formalisiert, einschließlich Drift- und Diffusionsfunktionen, lokalen und terminalen Versorgungsfunktionen und einem Beschränkungsset für zulässige Kontrollen. Die Belohnungsfunktion wird definiert, und das Ziel besteht darin, sie für jede Ausgangsbedingung zu maximieren. Das Kapitel behandelt die Feinheiten der Definition des Gleichgewichts in kontinuierlicher Zeit, wobei eine Methode zur Variation der Spitzen verwendet wird, um den Herausforderungen zu begegnen, die die kontinuierliche Natur der Zeit darstellt. Das erweiterte HJB-System wird informell abgeleitet und dann rigoros durch einen Verifikationssatz bewiesen. Das Kapitel schließt mit dem Hinweis auf das offene Problem der Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen für das erweiterte HJB-System und hebt neuere Literatur zu stärkeren Gleichgewichtskonzepten hervor.KI-Generiert
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AbstractWe now move on to study time-inconsistent control problems in continuous time and, as in Part II, we use a game-theoretic framework, studying subgame-perfect Nash equilibrium strategies. It turns out, however, that the equilibrium concept in continuous time is quite delicate and so requires a detailed investigation. Our main result is an extension of the standard HJB equation to a system of equations: the extended HJB system. We also prove a verification theorem, showing that a solution to the extended HJB system does indeed deliver the equilibrium control and equilibrium value function for our original problem. -
Chapter 16. Special Cases and Extensions
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDieses Kapitel geht auf Sonderfälle und die Verlängerung von kontinuierlichen Zeitergebnissen in zeitlich inkonsistenten Problemen ein. Es beginnt mit der Vereinfachung des HJB-Systems, wenn Zeitunstimmigkeiten durch Zustandsabhängigkeit oder nichtlineare Funktionen der erwarteten Werte auftreten. Das Kapitel untersucht dann den unendlichen Horizont und die Dynamik der Punktprozesse und zeigt die Vielseitigkeit des erweiterten HJB-Systems. Darüber hinaus stellt sie eine Verbindung zwischen zeitlich inkonsistenten Problemen und ihren zeitkonsistenten Pendants her und bietet einen neuartigen Ansatz zum Verständnis dieser komplexen Systeme. Das Kapitel enthält auch ein Skalierungsergebnis und diskutiert die theoretischen Implikationen der Verknüpfung von zeitlich inkonsistenten und zeitkonsistenten Problemen und bietet wertvolle Erkenntnisse für Spezialisten auf diesem Gebiet.KI-Generiert
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AbstractHere we present a couple of important special cases and comment on possible extensions of the continuous-time results that were developed in the previous chapter. In particular, we show how the extended HJB system simplifies in the special case when we have time inconsistency entering the problem only through state-dependency or only through a nonlinear function of the expected value. Results are extended to allow for infinite horizon and point process dynamics. The chapter also establishes a connection between the original time-inconsistent problem and an equivalent time-consistent problem that yields the same solution. -
Chapter 17. Non-exponential Discounting
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDas Kapitel stellt eine detaillierte Untersuchung der nicht exponentiellen Diskontierung bei Problemen mit der kontinuierlichen Zeitkontrolle dar, ein Phänomen, bei dem verzögerte Belohnungen nicht in konstanter Höhe diskontiert werden. Es beginnt mit einem allgemeinen Modell, das die kontrollierte stochastische Differentialgleichung und die Belohnungsfunktion spezifiziert, und leitet dann die erweiterte Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung (HJB) ab. Das Kapitel betrachtet auch das Szenario des unendlichen Horizonts, in dem zeitinvariante Lösungen gesucht werden. Ein konkretes Beispiel für eine nicht exponentielle Diskontierung bei einem Investitionsproblem mit dem Log Utility wird geliefert, was zu einer detaillierten Analyse und Lösung führt. Das Kapitel schließt mit einer Literaturübersicht, in der das wachsende Interesse an nicht exponentiellen Diskontierungen in verschiedenen Bereichen, einschließlich Klimapolitik und optimalen Dividendenproblemen, hervorgehoben wird.KI-Generiert
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AbstractWe now illustrate the theory developed in Chap. 15, and the first example we consider is a fairly general case of a continuous-time control problem with non-exponential discounting. As mentioned before, non-exponential discounting captures preferences under which delayed rewards are not discounted at a constant rate. As delay discounting arises naturally in economics, understanding deviations from exponential discounting has important implications for a wide range of problems, from finance and pension economics to studies of climate change and natural resource allocation. -
Chapter 18. Mean-Variance Control
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDieses Kapitel befasst sich mit der dynamischen Mittelwertvarianzoptimierung, einer kontinuierlichen Anpassung des klassischen Markowitz-Investitionsproblems. Es beginnt damit, den einfachsten Fall einer einzigen risikoreichen Anlage Wiener Ursprungs erneut aufzugreifen und die Ergebnisse aus Basak und Chabakauri (2010) herzuleiten. Das Modell wird dann auf Punkteprozesse ausgeweitet, was der Dynamik zusätzliche Komplexität verleiht. Das Kapitel untersucht auch die Auswahl des Portfolios mit mittleren Varianzen und wohlstandsabhängigen Präferenzen - ein wirtschaftlich vernünftigerer Ansatz, der es ermöglicht, die Risikoaversion je nach Vermögen zu variieren. Während des gesamten Kapitels werden spieltheoretische und probabilistische Methoden angewandt, um das zeitlich inkonsistente Problem zu lösen, und es werden Einsichten geboten, die sowohl für theoretische als auch praktische Anwendungen im Finanzbereich wertvoll sind.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we will consider dynamic mean-variance optimization. This is a continuous-time version of a standard Markowitz investment problem, where we penalize the risk undertaken by the conditional variance. In Sect. 18.1 we first consider the simplest possible case of a Wiener driven single risky asset and re-derive the corresponding results of Basak and Chabakauri (Rev. Financ. Stud. 23:2970–3016, 2010). We then extend the model in Sect. 18.2 and study the case when the risky asset is driven by a point process as well as by a Wiener process. In Sect. 18.3, we study mean-variance portfolio choice with wealth-dependent preferences. -
Chapter 19. The Inconsistent Linear Quadratic Regulator
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDas Kapitel untersucht ein zeitlich inkonsistentes lineares quadratisches Regulatorproblem in kontinuierlicher Zeit, bei dem sich der Zielzustand im Laufe der Zeit entwickelt. Das Problem wird mit einem funktionalen Wert, der vom Ausgangszustand abhängt, und einem Zustandsprozess mit skalarer Dynamik formuliert. Die Lösung umfasst ein erweitertes Hamilton-Jacobi-Bellman-System (HJB), das zu einem Vorschlag führt, der die Struktur des zeitlich inkonsistenten Regulierers skizziert. Das Kapitel vergleicht die Ergebnisse mit der bestehenden Literatur zu ähnlichen Problemen und hebt die einzigartigen Aspekte des Ansatzes und seine Anwendung in verschiedenen Bereichen hervor.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we study a simple time-inconsistent version of the linear quadratic regulator in continuous time. Time inconsistency enters through an explicit dependence on the initial state for the final quadratic term. Loosely speaking, we want to control a system such that the final state is close to the initial point while at the same time keeping the control energy small. As the starting point changes, the final target point also changes as time passes. -
Chapter 20. A Time-Inconsistent Equilibrium Model
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDas Kapitel befasst sich mit der Anwendung zeitlich inkonsistenter Präferenzen in einem allgemeinen Gleichgewichtsmodell für eine Produktionswirtschaft, das vom klassischen Cox-Ingersoll-Ross-Modell inspiriert ist. Sie führt formale Annahmen über Produktionstechnologie und Wirtschaftsakteure ein und definiert intrapersonale und marktwirtschaftliche Gleichgewichte. Zu den Hauptzielen gehören die Bestimmung des Gleichgewichts-Martyrium-Maßes, des kurzfristigen Prozesses und des stochastischen Diskontfaktors. Zur Ableitung dieser Größen wird die erweiterte Hamilton-Jacobi-Bellman-Gleichung verwendet, die sowohl Ähnlichkeiten als auch Unterschiede zum zeitkonsistenten Standardfall aufzeigt. Das Kapitel schließt mit einer Darstellungsformel für den stochastischen Diskontfaktor, die seine strukturelle Ähnlichkeit mit früheren Studien aufzeigt und ein tieferes Verständnis seiner Interpretation bietet.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we apply the previously developed theory to a rather detailed study of a general equilibrium model for a production economy with time-inconsistent preferences. The model under consideration is a time-inconsistent version of the classic Cox–Ingersoll–Ross model in Cox et al. (Econometrica, 53:363–384, 1985). Our main objective is to investigate the structure of the equilibrium short rate, the equilibrium Girsanov kernel, and the equilibrium stochastic discount factor. See Appendix A for the necessary background from arbitrage theory.
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Optimal Stopping Theory
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Frontmatter
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Chapter 21. Optimal Stopping in Discrete Time
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDie Theorie des optimalen Stopps ist ein kritischer Studienbereich, der sich darauf konzentriert, den idealen Zeitpunkt zu bestimmen, um in einen Prozess einzugreifen, um die erwarteten Vorteile zu maximieren oder die Kosten zu minimieren. Dieses Kapitel bietet einen prägnanten Überblick über optimale Stopps in diskreter Zeit, beginnend mit einem grundlegenden Aufbau, der einen gefilterten Wahrscheinlichkeitsraum und eine Stoppzeit umfasst. Das Problem des optimalen Stopps wird durch einen dynamischen Programmierungsansatz gelöst, bei dem das ursprüngliche Problem in eine Reihe zeitgebundener Probleme eingebettet und durch Rekursion miteinander verbunden wird. Das Kapitel stellt den optimalen Wertprozess vor und definiert optimale Stoppzeiten, wobei das Wesentliche und die Bedingungen, unter denen diese Zeiten existieren, hervorgehoben werden. Die Anwendungsmöglichkeiten der Optimalstopptheorie sind zahlreich und umfassen Vermögenshandel, Derivatepreise, Theorie realer Optionen und vieles mehr, was dieses Kapitel für Fachleute, die Entscheidungsprozesse in verschiedenen Bereichen optimieren wollen, von unschätzbarem Wert macht.KI-Generiert
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AbstractOptimal stopping theory studies problems that involve determining the best time to intervene and stop a process in order to maximize expected rewards or minimize expected costs. Applications of optimal stopping theory are plentiful and include asset trading (e.g., the best time to sell an asset), derivative pricing (e.g., American options), real options theory (e.g., the best time to invest in a project), economics of gambling (e.g., when to stop gambling in a casino), and search and matching (e.g., when to stop searching and accept a job). In this chapter we briefly summarize standard optimal stopping theory in discrete time. -
Chapter 22. Optimal Stopping in Continuous Time
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDieses Kapitel bietet eine kurze Zusammenfassung des optimalen Stopps in kontinuierlicher Zeit, eine komplexe Erweiterung der zuvor diskutierten Theorie der diskreten Zeit. Das Hauptziel besteht darin, die Kerngedanken und -argumente darzulegen und gleichzeitig die damit verbundenen technischen Schwierigkeiten anzuerkennen. Das Setup beinhaltet eine Stoppzeit τ und eine vorgegebene Halbmartinale Z, mit dem Ziel, das optimale Stoppproblem mittels dynamischer Programmierung zu lösen. Das Snell-Hüllkurventheorem wird überarbeitet, und das Kapitel betont den Übergang von diskreter zu kontinuierlicher Zeit, wobei sowohl die logische Kontinuität als auch die zusätzlichen technischen Herausforderungen hervorgehoben werden. Die Leser wenden sich an die Literatur, um detaillierte Korrekturen und präzise Formulierungen zu erhalten, was dieses Kapitel zu einem zugänglichen Einstiegspunkt in die komplizierte Welt des kontinuierlichen optimalen Innehaltens macht.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we provide a brief summary of optimal stopping in continuous time. Our objective here is simply to present some of the main ideas and arguments. We will often sweep technical problems (mostly concerning regularity) under the carpet. The continuous-time case is technically a much more complicated subject than the discrete-time theory discussed in Chap. 21. We refer the reader to the literature referenced in the Notes at the end of this chapter for technical details and proofs, as well as more precise formulations.
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Time-Inconsistent Stopping Problems
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Frontmatter
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Chapter 23. Time-Inconsistent Stopping in Discrete Time
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDas Kapitel vertieft sich in die Feinheiten zeitlich inkonsistenter Stoppprobleme in diskreter Zeit und erweitert die Standard-Wald-Bellman-Gleichung, um nicht standardmäßige Systeme aufzunehmen. Es beginnt mit der Definition von Schlüsselkonzepten wie Markovischen Stoppstrategien und subgame-perfekten Nash-Gleichgewichtsstoppstrategien. Der Kern des Kapitels umfasst die Ableitung rekursiver Systeme für die Gleichgewichtswertfunktion und -strategien, einschließlich vereinfachter Versionen für nicht exponentielle Diskontierung und quasi-hyperbolische Formen. Beispiele wie das zeitlich inkonsistente Sekretärsproblem und Verzögerungsprobleme werden zur Veranschaulichung praktischer Anwendungen geliefert. Das Kapitel schließt mit einer detaillierten Analyse des Problems des unendlichen Horizonts und der Implikationen quasi-hyperbolischer Diskontierung, die eine einzigartige Perspektive auf zeitlich inkonsistente Entscheidungsfindung bietet.KI-Generiert
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AbstractWe now go on to study a class of time-inconsistent stopping problems in discrete time. We start by defining the concepts of Markovian stopping strategies and subgame-perfect Nash equilibrium stopping strategies. Following similar steps to those in the control case, we then proceed to derive an extension of the standard Wald–Bellman equation to a non-standard extended system that allows for the determination of the equilibrium value function and the equilibrium stopping strategy. Examples studied at the end of the chapter include a time-inconsistent version of a simple secretary problem and a procrastination problem for a time-inconsistent agent who decides when to complete a task. -
Chapter 24. Time-Inconsistent Stopping in Continuous Time
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDas Kapitel befasst sich mit zeitlich inkonsistenten Stoppproblemen in kontinuierlicher Zeit, beginnend mit der Formulierung von Problemen und der Definition eines Gleichgewichtskonzepts. Sie erweitert die Ungleichheiten zwischen den Variationen dieser Probleme, indem sie das Kontinuitätsproblem diskreditiert und zuvor abgeleitete Ergebnisse in diskreter Zeit verwendet. Zur Veranschaulichung der Theorie werden in diesem Kapitel auch Verifikationsargumente und Beispiele präsentiert, wie etwa ein Problem beim Verkauf von Vermögenswerten mit nicht exponentieller Diskontierung und ein Mittelwert-Varianz-Ziel. Die Beispiele veranschaulichen die praktische Anwendung des theoretischen Rahmens und machen das Kapitel zu einer wertvollen Ressource für das Verständnis von zeitlich inkonsistenten Stoppproblemen in kontinuierlicher Zeit.KI-Generiert
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AbstractWe now turn to the case of time-inconsistent stopping problems in continuous time. We start by formulating the problem and formally defining the continuous-time equilibrium concept. In order to derive the relevant extension of variational inequalities for the time-inconsistent problem, we discretize (to some extent) the continuous-time problem, use our previously derived results in discrete time, and then take the limit. We present a sketch of a verification argument establishing the connection between the extended dynamic programming system and our continuous-time equilibrium concept. Finally, we exemplify the theory with two examples of an asset-selling problem with non-exponential discounting and the mean-variance objective. -
Chapter 25. Time-Inconsistent Stopping Under Distorted Probabilities
Tomas Björk, Mariana Khapko, Agatha MurgociDas Kapitel "Time-Inconsistent Stopping Under Distorted Probabilities" geht der Komplexität von Strategien zur Unterbrechung verzerrter Wahrscheinlichkeiten nach, ein herausragendes Merkmal von Modellen wie der kumulativen Prospekttheorie und der rangabhängigen Nützlichkeit. Entgegen der erwarteten Nutzentheorie erfassen diese Modelle wirtschaftliches Verhalten, das in experimentellen Umgebungen beobachtet wird, wo Individuen dazu neigen, kleine Wahrscheinlichkeiten zu übergewichten und große zu untergewichtigen. Dieses Mal macht die Inkonsistenz das Problem des Entscheidungsträgers von Natur aus dynamisch und herausfordernd. Das Kapitel formuliert die Belohnungsfunktion mathematisch anhand des Choquet-Integrals anstelle der konventionellen Erwartung und entwickelt Gleichgewichtsrichtlinien und Wertfunktionen sowohl in diskreten als auch kontinuierlichen Zeiteinstellungen. Sie führt rekursive Schemata und variierende Ungleichheiten ein, um diese Strategien zu charakterisieren, und bietet einen soliden Rahmen für das Verständnis zeitlich inkonsistenter Bremsprobleme. Das Kapitel verbindet diese Erkenntnisse auch mit dem Snell-Hüllkurventheorem und bietet so ein tieferes Verständnis der Gleichgewichtswertfunktion. Insgesamt präsentiert das Kapitel eine umfassende Analyse der Strategie, Strategien unter verzerrten Wahrscheinlichkeiten zu stoppen, was es zu einer wertvollen Ressource für Forscher und Praktiker in der Verhaltensökonomie und Finanzwirtschaft macht.KI-Generiert
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AbstractIn this chapter we study stopping strategies in the presence of distorted probabilities, in both discrete and continuous time. Probability distortion is a salient ingredient for a number of important models in behavioral economics, including cumulative prospect theory (Kahneman and Tversky (Econometrica 47:263–291, 1979), Tversky and Kahneman (Journal of Risk and Uncertainty 5:297–323, 1992)) and rank-dependent utility (Quiggin (Journal of Economic Behavior & Organization 3:323–343, 1982), Schmeidler (Econometrica 57:571–587, 1989)). Contrary to the expected utility theory, in the prospect theory model, economic agents do not weight outcomes by their objective probabilities but rather by transformed probabilities. These transformed probabilities (or decision weights) allow the model to capture economic behavior observed in experimental settings showing that people tend to overweight small probabilities and underweight large probabilities. Similarly, rank-dependent expected utility overweighs unlikely extreme outcomes. Importantly, in a dynamic context probability weighting makes the decision maker’s problem inherently time inconsistent. Mathematically, the reward functional with probability distortion involves the so-called Choquet integral (Choquet (Annales de l’Institut Fourier, 5:131–295, 1954)), instead of the conventional expectation.
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Backmatter
- Titel
- Time-Inconsistent Control Theory with Finance Applications
- Verfasst von
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Prof. Tomas Björk
Dr. Mariana Khapko
Dr. Agatha Murgoci
- Copyright-Jahr
- 2021
- Electronic ISBN
- 978-3-030-81843-2
- Print ISBN
- 978-3-030-81842-5
- DOI
- https://doi.org/10.1007/978-3-030-81843-2
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