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Über dieses Buch

Die Behandlung kontinuierlicher und diskreter Signale und die Beschreibung entsprechender zeitunabhängiger linearer Systeme in Regelungs-, Nachrichten- und Digitaltechnik erfordert eine Reihe von Transformationen, die in dem vorliegenden Text bereitgestellt werden. Besonderer Wert wird auf die Darlegung der für die Anwendung wichtigen Zusammenhänge zwischen verschiedenen Transformationen gelegt. Dieses Buch ist als Begleittext einer einschlägigen Vorlesung für Studierende der Elektrotechnik, Technischen Informatik oder Technomathematik gedacht.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Fourier-Reihen

Bei der Spektralzerlegung von periodischen Signalen befaßt man sich mit der Frage, ob und wie sich ein periodisches Signal

x

(

t

) durch Überlagerung von (harmonischen) Grundund Oberschwingungen darstellen lässt.

Dieter Müller-Wichards

2. Die Fourier-Transformation

Im Kapitel über Fourier-Reihen haben wir gesehen, dass zu einer

periodischen

Funktion ein

diskretes

Spektrum gehört, das durch die Fourier-Koeffizienten dieser Funktion gegeben ist. Dabei gibt der

k

-te Fourier-Koeffizient die komplexe Amplitude der

k

-ten Oberschwingung bezogen auf das Periodizitätsintervall

T

an, wobei durch Überlagerung aller dieser Anteile (d.h. durch die Fourier-Reihe) die gegebene periodische Funktion im wesentlichen wiedergewonnen wird. Allerdings sind, je nach Glattheit der periodischen Funktion, unterschiedliche Aussagen darüber möglich, in welchem Sinne dies für die Fourier-Reihe zutrifft.

Dieter Müller-Wichards

3. Erweiterung der Fourier-Transformation

Die Überlegungen dieses Abschnitts dienen dazu, den Definitionsbereich der Fourier- Transformation erheblich zu erweitern, z.B. um das Spektrum von periodischen Funktionen zu berechnen. Hierbei wird sich zeigen, dass schon die Fourier-Transformierte einer konstanten Funktion oder einer harmonischen Schwingung außerhalb des Bereiches der gewöhnlichen Funktionen liegt. Hier taucht zum ersten Mal die sog.

Dieter Müller-Wichards

4. Diskrete und schnelle Fourier-Transformation

In der Signalverarbeitung nimmt die Fourier-Transformation, wie wir in Kapitel 2 und 3 gesehen haben, eine zentrale Stellung ein. Ihre diskrete Version, auf die man bei der numerischen Auswertung von äquidistant abgetasteten periodischen Signalen stößt, bezeichnet man als diskrete Fourier-Transformation (DFT), deren mathematischen Eigenschaften wir im ersten Abschnitt studieren werden. Mit dem Ziel, die Anzahl der Operationen möglichst gering zu halten, kann man aus der diskreten Fourier-Transformation durch geschicktes Zusammenfassen von Ausdrücken verschiedene Versionen der sog

Dieter Müller-Wichards

5. Die Laplace-Transformation

Die Laplace-Transformation ist, wie wir sehen werden, ein zentrales Werkzeug zur Beschreibung des Ein-und Ausgabeverhaltens linearer zeitinvarianter Systeme für kontinuierliche Signale. Das Verhalten solcher Systeme läßt sich häufig durch lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten darstellen. Derartige Differentialgleichungen kann man – wie sich zeigen wird – mit Hilfe der Laplace-Transformation in algebraische Gleichungen überführen.

Dieter Müller-Wichards

6. Die Z-Transformation

In diesem Kapitel wollen wir das Verhalten diskreter Systeme mit Hilfe der Z-Transformation untersuchen. Im letzten Abschnitt werden wir noch betrachten, wie und in welchem Sinne sich kontinuierliche Systeme durch diskrete nachbilden lassen.

Dieter Müller-Wichards

7. Die Hilbert-Transformation

In diesem Kapitel wollen wir uns mit einer Transformation befassen, die in der Modulationstheorie eine große Rolle spielt: durch geeignete Ergänzung des ursprünglichen Signals

x

(

t

) zu einem sogenannten

analytischen Signal

z

(

t

) =

x

(

t

) –

jy

(

t

) erhält man eine komplexe Zeitfunktion mit einseitigem Spektrum. Dies geschieht dadurch, daß man

y

(

t

) als Hilbert-Transformierte von

x

(

t

) wählt.

Dieter Müller-Wichards

8. Zufallssignale

Wir beschränken uns hier aus Platzgründen auf kontinuierliche stochastische Prozesse.

Dieter Müller-Wichards

A. Anhang

Dieter Müller-Wichards

Backmatter

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