Skip to main content
main-content

Über dieses Buch

In einer Algebra-Vorlesung beschäftigt man sich nicht mehr mit Linearer Algebra, sondern es wird abstrakter. Um die Studierenden beim Verständnis für diesen abstrakten Stoff zu unterstützen, erscheint nun mit "Tutorium Algebra" ein weiterer Band der Tutoriums-Reihe der Mathematikstudenten Modler und Kreh.

In dem Buch erläutern die beiden Autoren den Stoff der Algebra. Dabei liegt das Hauptaugenmerk auf der Körpertheorie, genauer der Galoistheorie. Die Inhalte werden an verständlichen und ausführlichen vorgerechneten Beispielen erklärt.

Das Konzept bleibt wieder das bewährte: Jedes Kapitel ist zwei geteilt in einen mathematischen Teil, in dem die Definitionen, Sätze und Beweise stehen, und einen erklärenden Teil, in dem die schwierigen Definitionen und Sätze auf gewohnt lockere und lustige Art und Weise mit mehr als 120 Beispielen und etwa 30 Abbildungen mit Leben gefüllt werden.

So erhält der Leser einerseits einen Blick für mathematisch exakte Formulierungen und andererseits Hilfen und Anschauungen, die wichtig sind, um den Stoff zu verstehen.

Das Buch ist in der 2. Auflage vollständig durchgesehen, verbessert und ergänzt worden. Insbesondere die Abschnitte über separable und normale Körpererweiterungen wurden erweitert und unter anderem um ausführliche Beschreibungen ergänzt, die zeigen, wie man Körpererweiterungen auf diese Eigenschaften überprüft.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Erinnerung an Gruppen, Ringe und Körper

Begriffe wie Gruppen, Ringe und Körper werden euch im Studium immer wieder begegnen. Ein sicherer Umgang mit diesen Objekten ist daher sehr wichtig. Wir werden diese also definieren und an einigen Beispielen erklären. Wir wollen in diesem Kapitel wichtige Grundlagen nochmals zusammenfassen. Dieses Kapitel stellt einfach eine Zusammenfassung der Kapitel aus [MK11] und [MK12] dar, wobei es sich aber dennoch lohnt, dieses Kapitel zu lesen, da wir einige neue Beispiele etc. eingestreut haben.
Florian Modler, Martin Kreh

2. Ringe und Ideale

In den ersten Kapiteln haben wir ja schon Ringe und Ideale kennengelernt. Allerdings ist es meistens ungünstig, mit ganz allgemeinen Ringen zu hantieren. Wir wollen uns deshalb in diesem Kapitel mit speziellen Arten von Ringen, ihren Zusammenhängen und Idealen beschäftigen. Dabei wollen wir untersuchen, wie man Konzepte, die für die ganzen Zahlen gelten, verallgemeinern kann.
Florian Modler, Martin Kreh

3. Polynomringe und Irreduzibilität von Polynomen

Nachdem wir uns im vorigen Kapitel mit relativ allgemeinen Ringen beschäftigt haben, wollen wir nun noch die sogenannten Polynomringe betrachten. Dafür wollen wir zuerst definieren, was wir überhaupt unter einem Polynom und der Irreduzibilität von Polynomen verstehen. Am Ende wollen wir dann Kriterien kennenlernen, um Polynome auf Irreduzibilität zu überprüfen.
Florian Modler, Martin Kreh

4. Gruppenoperationen und die Sätze von Sylow

Wir werden später bei der Untersuchung von Körpererweiterungen feststellen, dass wir diese mit Hilfe von Gruppen studieren können. Wir wollen uns deswegen in diesem Kapitel die nötigen Kenntnisse der Gruppentheorie aneignen. Dabei wird es im Speziellen um Gruppenoperationen, Erzeuger von symmetrischen Gruppen und Sylowgruppen gehen.
Florian Modler, Martin Kreh

5. Körpererweiterungen und algebraische Zahlen

Im Vorwort haben wir schon erwähnt, dass wir in der Algebra Polynome und insbesondere Nullstellen von Polynomen behandeln wollen. Da wir wissen, dass die Nullstellen eines rationalen Polynoms nicht unbedingt rationale Zahlen sind, ist es sinnvoll, sich Körper zu definieren, die zwar die Nullstellen eines Polynoms enthalten, aber nicht alle komplexe Zahlen, da wir sonst „zu viele“ Zahlen haben. Dies führt auf die Idee der Körpererweiterungen und der algebraischen Zahlen. Dies sind im gewissen Sinne für unseren Zweck die „einfachsten“ Zahlen.
Florian Modler, Martin Kreh

6. Endliche Körper

Schon in der linearen Algebra 1 begegnet dem Studenten der Begriff des Körpers. Eventuell haben einige von euch dort auch schon die sogenannten endlichen Körper kennengelernt. Damit niemandem dieser Genuss entgeht, wollen wir endliche Köper in diesem Kapitel behandeln. Wir werden sehen, dass endliche Körper recht gut „in den Griff“ zu bekommen sind und wir alle Körper mit endlich vielen Elementen sogar klassifizieren können.
Florian Modler, Martin Kreh

7. Normale Erweiterungen

Wir wollen nun langsam anfangen, eine Verbindung zwischen Gruppen und Körper(erweiterungen) herzustellen. Dafür beschränken wir uns ganz auf endliche Erweiterungen. Für unsere Untersuchung werden zwei Eigenschaften einer Körpererweiterung eine entscheidende Rolle spielen, nämlich die Normalität und die Separabilität.
Florian Modler, Martin Kreh

8. Separable Erweiterungen

Nachdem wir nun normale Erweiterungen kennengelernt haben, kommen wir zur zweiten für uns wichtigen Eigenschaften, nämlich der Separabilität. Dafür werden wir hier vor allem einige Werkzeuge kennen lernen, um separable Erweiterungen zu erkennen.
Florian Modler, Martin Kreh

9. Galoiserweiterungen und der Hauptsatz der Galoistheorie

Nun wollen wir die bereits angesprochene Verbindung zwischen Untergruppen und Körpererweiterungen vollständig kennenlernen und untersuchen. Dabei werden wir vor allem den wichtigen Begriff der Galoiserweiterung brauchen. Dies sind gerade diejenigen Erweiterungen, die sowohl normal als auch separabel sind. Hier werden wir also nun auf unser Wissen aus den letzten beiden Kapitel zurückgreifen. Als kleines Highlight werden wir in diesem Kapitel dann auch den Fundamentalsatz der Algebra beweisen.
Florian Modler, Martin Kreh

10. Symmetrische Funktionen und Gleichungen vom Grad 3 und 4

Hier wollen wir nun noch genauer untersuchen, wie wir die Galoisgruppe eines Polynoms bestimmen können. Dies werden wir vor allem für Grad \(3\) und \(4\) untersuchen. Dabei wird das \(D\) aus Beispiel 110 hier eine große Rolle spielen.
Florian Modler, Martin Kreh

11. Auflösbarkeit von Gleichungen

In diesem Kapitel werden wir nun eine der wichtigsten Anwendungen der Galoistheorie kennenlernen. Wie schon in der Einleitung beschrieben, wollen wir ja Polynome auf Auflösbarkeit untersuchen. Genau das soll nun hier geschehen.
Florian Modler, Martin Kreh

12. Kreisteilungskörper

Wir wollen nun als Anwendung und Beispiel das Gelernte auf besondere Polynome und Körper anwenden, die sogenannten Kreisteilungskörper. Die Grundidee hierbei ist, für gegebenes \(N \in \mathbb{N} \) die Zerlegung von \(x^n-1 \in \mathbb{Q} [x]\) in irreduzible Faktoren zu bestimmen.
Florian Modler, Martin Kreh

13. Konstruktion mit Zirkel und Lineal

In diesem Kapitel geht es im Wesentlichen darum, mit Hilfe der Theorie, die wir in den letzten Kapiteln mühsam aufgebaut haben, einige Anwendungen zu betrachten, indem wir zeigen, dass gewisse Konstruktionen mit Lineal und Zirkel möglich oder sogar unmöglich sind. „Konstruktion mit Lineal und Zirkel“ bedeutet in diesem Fall, dass man Lineal und Zirkel nur benutzen darf, um gerade Linien zu ziehen, und nicht, um irgendwelche Abmessungen vorzunehmen. Unser Lineal besitzt also keine Zentimerangabe oder Ähnliches. Ihr könnt euch auch einfach ein Objekt denken, mit dem ihr nur gerade Striche durch zwei Punkte zeichnen könnt. Nicht mehr und nicht weniger.
Florian Modler, Martin Kreh

14. Transzendente Zahlen

Wir haben im Kap. 5 bereits kennengelernt, was man unter einer transzendenten Zahl versteht. Obwohl wir dort schon einige Beispiele von algebraischen Zahlen gesehen haben, kennen wir noch keine transzendente Zahl. Dies hat einen guten Grund, denn obwohl es, wie wir gleich sehen werden, in gewissem Sinne mehr transzendente Zahlen als algebraische gibt, ist es zunächst mal nicht so einfach, transzendente Zahlen hinzuschreiben.
Florian Modler, Martin Kreh

Backmatter

Weitere Informationen

Premium Partner

BranchenIndex Online

Die B2B-Firmensuche für Industrie und Wirtschaft: Kostenfrei in Firmenprofilen nach Lieferanten, Herstellern, Dienstleistern und Händlern recherchieren.

Whitepaper

- ANZEIGE -

Best Practices für die Mitarbeiter-Partizipation in der Produktentwicklung

Unternehmen haben das Innovationspotenzial der eigenen Mitarbeiter auch außerhalb der F&E-Abteilung erkannt. Viele Initiativen zur Partizipation scheitern in der Praxis jedoch häufig. Lesen Sie hier  - basierend auf einer qualitativ-explorativen Expertenstudie - mehr über die wesentlichen Problemfelder der mitarbeiterzentrierten Produktentwicklung und profitieren Sie von konkreten Handlungsempfehlungen aus der Praxis.
Jetzt gratis downloaden!

Bildnachweise