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Über dieses Buch

In einer Algebra-Vorlesung beschäftigt man sich nicht mehr mit Linearer Algebra, sondern es wird abstrakter. Um die Studierenden beim Verständnis für diesen abstrakten Stoff zu unterstützen, erscheint nun mit "Tutorium Algebra" ein weiterer Band der Tutoriums-Reihe der Autoren Modler und Kreh.

In dem Buch erläutern die beiden Autoren den Stoff der Algebra. Dabei liegt das Hauptaugenmerk auf der Körpertheorie, genauer der Galoistheorie. Die Inhalte werden an verständlichen und ausführlichen vorgerechneten Beispielen erklärt.

Das Konzept bleibt wieder das bewährte: Jedes Kapitel ist zwei geteilt in einen mathematischen Teil, in dem die Definitionen, Sätze und Beweise stehen, und einen erklärenden Teil, in dem die schwierigen Definitionen und Sätze auf gewohnt lockere und lustige Art und Weise mit mehr als 120 Beispielen und etwa 30 Abbildungen mit Leben gefüllt werden.

So erhält der Leser einerseits einen Blick für mathematisch exakte Formulierungen und andererseits Hilfen und Anschauungen, die wichtig sind, um den Stoff zu verstehen.

Das Buch ist in der 3. Auflage vollständig durchgesehen, verbessert und ergänzt worden. Insbesondere finden sich im Kapitel über Ringe und Ideale einige neue Beispiele (z.B. über den Ring der holomorphen Funktionen) und die Lokalisierung von Ringen wird behandelt. Zudem wurden weitere Kriterien zur Irreduzibilität von Polynomen ergänzt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Erinnerung an Gruppen, Ringe und Körper

Zusammenfassung
Begriffe wie Gruppen, Ringe und Körper werden euch im Studium immer wieder begegnen. Ein sicherer Umgang mit diesen Objekten ist daher sehr wichtig. Wir werden diese also definieren und an einigen Beispielen erklären. Wir wollen in diesem Kapitel wichtige Grundlagen nochmals zusammenfassen. Dieses Kapitel stellt einfach eine Zusammenfassung der Kapitel aus [MK18a] und [MK14] dar, wobei es sich aber dennoch lohnt, dieses Kapitel zu lesen, da wir einige neue Beispiele etc. eingestreut haben.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 2. Ringe und Ideale

Zusammenfassung
In den ersten Kapiteln haben wir ja schon Ringe und Ideale kennengelernt. Allerdings ist es meistens ungünstig, mit ganz allgemeinen Ringen zu hantieren. Wir wollen uns deshalb in diesem Kapitel mit speziellen Arten von Ringen, ihren Zusammenhängen und Idealen beschäftigen.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 3. Polynomringe und Irreduzibilität von Polynomen

Zusammenfassung
Nachdem wir uns im vorigen Kapitel mit relativ allgemeinen Ringen beschäftigt haben, wollen wir nun noch die sogenannten Polynomringe betrachten. Dafür wollen wir zuerst definieren, was wir überhaupt unter einem Polynom und der Irreduzibilität von Polynomen verstehen. Am Ende wollen wir dann Kriterien kennenlernen, um Polynome auf Irreduzibilität zu überprüfen.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 4. Gruppenoperationen und die Sätze von Sylow

Zusammenfassung
Wir werden später bei der Untersuchung von Körpererweiterungen feststellen, dass wir diese mit Hilfe von Gruppen studieren können. Wir wollen uns deswegen in diesem Kapitel die nötigen Kenntnisse der Gruppentheorie aneignen. Dabei wird es im Speziellen um Gruppenoperationen, Erzeuger von symmetrischen Gruppen und Sylowgruppen gehen.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 5. Körpererweiterungen und algebraische Zahlen

Zusammenfassung
Im Vorwort haben wir schon erwähnt, dass wir in der Algebra Polynome und insbesondere Nullstellen von Polynomen behandeln wollen. Da wir wissen, dass die Nullstellen eines rationalen Polynoms nicht unbedingt rationale Zahlen sind, ist es sinnvoll, sich Körper zu definieren, die zwar die Nullstellen eines Polynoms enthalten, aber nicht alle komplexe Zahlen, da wir sonst „zu viele“ Zahlen haben. Dies führt auf die Idee der Körpererweiterungen und der algebraischen Zahlen.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 6. Endliche Körper

Zusammenfassung
Schon in der linearen Algebra 1 begegnet dem Studenten der Begriff des Körpers. Eventuell haben einige von euch dort auch schon die sogenannten endlichen Körper kennengelernt. Damit niemandem dieser Genuss entgeht, wollen wir endliche Köper in diesem Kapitel behandeln.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 7. Normale Erweiterungen

Zusammenfassung
Wir wollen nun langsam anfangen, eine Verbindung zwischen Gruppen und Körper(erweiterungen) herzustellen. Dafür beschränken wir uns ganz auf endliche Erweiterungen. Für unsere Untersuchung werden zwei Eigenschaften einer Körpererweiterung eine entscheidende Rolle spielen, nämlich die Normalität und die Separabilität.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 8. Separable Erweiterungen

Zusammenfassung
Nachdem wir nun normale Erweiterungen kennengelernt haben, kommen wir zur zweiten für uns wichtigen Eigenschaften, nämlich der Separabilität. Dafür werden wir hier vor allem einige Werkzeuge kennen lernen, um separable Erweiterungen zu erkennen.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 9. Galoiserweiterungen und der Hauptsatz der Galoistheorie

Zusammenfassung
Nun wollen wir die bereits angesprochene Verbindung zwischen Untergruppen und Körpererweiterungen vollständig kennenlernen und untersuchen. Dabei werden wir vor allem den wichtigen Begriff der Galoiserweiterung brauchen. Dies sind gerade diejenigen Erweiterungen, die sowohl normal als auch separabel sind.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 10. Symmetrische Funktionen und Gleichungen vom Grad 3 und 4

Zusammenfassung
Hier wollen wir nun noch genauer untersuchen, wie wir die Galoisgruppe eines Polynoms bestimmen können. Dies werden wir vor allem für Grad 3 und 4 untersuchen. Dabei wird das D aus Beispiel 126 hier eine große Rolle spielen.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 11. Auflösbarkeit von Gleichungen

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden wir nun eine der wichtigsten Anwendungen der Galoistheorie kennenlernen. Wie schon in der Einleitung beschrieben, wollen wir ja Polynome auf Auflösbarkeit untersuchen. Genau das soll nun hier geschehen.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 12. Kreisteilungskörper

Zusammenfassung
Wir wollen nun als Anwendung und Beispiel das Gelernte auf besondere Polynome und Körper anwenden, die sogenannten Kreisteilungskörper. Die Grundidee hierbei ist, für gegebenes \(n \in \mathbb {N}\) die Zerlegung von \(x^n-1 \in \mathbb {Q}[x]\) in irreduzible Faktoren zu bestimmen.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 13. Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Zusammenfassung
In diesem Kapitel geht es im Wesentlichen darum, mit Hilfe der Theorie, die wir in den letzten Kapiteln mühsam aufgebaut haben, einige Anwendungen zu betrachten, indem wir zeigen, dass gewisse Konstruktionen mit Lineal und Zirkel möglich oder sogar unmöglich sind. „Konstruktion mit Lineal und Zirkel“ bedeutet in diesem Fall, dass man Lineal und Zirkel nur benutzen darf, um gerade Linien zu ziehen, und nicht, um irgendwelche Abmessungen vorzunehmen. Unser Lineal besitzt also keine Zentimerangabe oder Ähnliches.
Florian Modler, Martin Kreh

Kapitel 14. Transzendente Zahlen

Zusammenfassung
Wir haben im Kap. 5 bereits kennengelernt, was man unter einer transzendenten Zahl versteht. Obwohl wir dort schon einige Beispiele von algebraischen Zahlen gesehen haben, kennen wir noch keine transzendente Zahl. Dies hat einen guten Grund, denn obwohl es, wie wir gleich sehen werden, in gewissem Sinne mehr transzendente Zahlen als algebraische gibt, ist es zunächst mal nicht so einfach, transzendente Zahlen hinzuschreiben.
Florian Modler, Martin Kreh

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