5. Über die Konstruierbarkeit regelmäßiger n-Ecke

Ausblick Zahlen wie \(\sqrt{2}\) und \(-\sqrt{2}\) sind (über den rationalen Zahlen) algebraisch ununterscheidbar, denn beide Zahlen besitzen das gleiche Minimalpolynom, nämlich \(X^2 - 2\). Solche Zahlen nennen wir zueinander galoissch konjugiert. Wir zeigen, dass zwei galoissch konjugierte Zahlen nicht nur das gleiche Minimalpolynom besitzen, sondern dass sogar jede polynomielle Gleichung, welche von der einen Zahl erfüllt wird, auch von ihren galoissch Konjugierten und umgekehrt erfüllt wird. Allgemein nennen wir polynomielle Beziehungen zwischen mehreren algebraischen Zahlen algebraische Relationen. Von besonderem Interesse sind die algebraischen Relationen zwischen den Nullstellen eines Polynoms. Zählen wir die Nullstellen ab, so nennen wir eine Vertauschung der Nullstellen eine (galoissche) Symmetrie, wenn unter dieser Vertauschung alle algebraischen Relationen zwischen diesen Nullstellen erhalten bleiben. Alle Symmetrien zusammen bilden die galoissche Gruppe der Nullstellen. Aus der Definition der galoisschen Gruppe ist noch nicht sofort ersichtlich, wie wir sie effektiv berechnen können. Dies geschieht mithilfe von galoisschen Resolventen, und wir geben in diesem Kapitel ein vollständiges Verfahren an. Dadurch, dass wir jedem (den Nullstellen eines jeden) Polynom(s) eine Gruppe zuordnen können, können wir wiederum von der Gruppenstruktur Rückschlüsse auf das Polynom und seine Nullstellen ziehen. Wir schauen uns deswegen in diesem Kapitel einige sehr allgemeine Aussagen über Gruppen wie die Klassengleichung an. Diese Sätze wenden wir auf die galoisschen Gruppen der sogenannten Kreisteilungspolynome an. Als Anwendung geben wir eine vollständige Klassifikation der regelmäßigen n-Ecke an, die sich mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen.