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Über dieses Buch

In diesem beliebten Übungsbuch werden etwa 160 Aufgaben zur Ingenieurmathematik im Detail vorgerechnet und erklärt. Im Gegensatz zu vielen anderen Übungsbüchern zur Mathematik gibt der Autor hier nicht nur Ergebnisse oder bestenfalls Lösungsskizzen an, sondern er zeigt dem Leser, wie man solche Aufgaben vom ersten Ansatz bis zum Ergebnis durchrechnet. Schwerpunkt sind die im Lehrbuch „Mathematik für Ingenieure" desselben Autors angegebenen Übungsaufgaben.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Mengen und Zahlenarten

In Worte gefaßt, ist

A

die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner oder gleich Null sind, also die Menge aller negativen Zahlen, erweitert um die Null.

B

ist die Menge der reellen Zahlen, die größer als 1 sind, das heißt

B

enthält die 1 selbst nicht als Element, sondern nur die reellen Zahlen, die über der 1 liegen. Schließlich ist

C

die Menge aller reellen Zahlen, die zwar größer oder gleich Null sind, aber echt kleiner als 1. Die Menge

C

enthält also die Null und dazu alle reellen Zahlen, die größer als Null und gleichzeitig kleiner als 1 sind.

Thomas Rießinger

2. Vektorrechnung

Der Vektor

x

ist eine sogenannte Linearkombination aus den Vektoren

a

,

b

und

c

. Da diese drei Vektoren in ihrer Koordinatendarstellung gegeben sind, ist die Berechnung einer Linearkombination nicht weiter aufregend: man multipliziert zuerst die einzelnen Vektoren koordinatenweise mit ihren Vorfaktoren und addiert anschließend die einzelnen Ergebnisse koordinatenweise zusammen. Für den Anfang berechne ich also die Vektoren −2

a

, 3

b

und 5

c

.

Thomas Rießinger

3. Gleichungen und Ungleichungen

Die Gleichung

x

2

 − 2

x

 − 15 = 0 ist eine nicht weiter aufregende quadratische Gleichung, die man nach einem der üblichen Lösungsverfahren angehen kann. Ich werde Ihnen hier zwei zeigen. Die wohl am weitesten verbreitete Methode besteht in der Anwendung der sogenannten

p

,

q

-Formel, einer allgemeinen Lösungsformel, mit der man jede quadratische Gleichung lösen kann.

Thomas Rießinger

4. Folgen und Konvergenz

Bei allen drei Folgen handelt es sich um Standardfälle, die man auch alle nach der gleichen Methode angehen kann. Sobald eine Folge sich als Bruch darstellt, dessen Zähler und Nenner Polynome in der laufenden Variable

n

sind, geht man am besten so vor, daß man den Bruch durch die höchste vorkommende Potenz der laufenden Variablen kürzt, also Zähler und Nenner durch diese höchste Potenz von

n

dividiert. Dabei gibt es drei mögliche Fälle, und dieses drei Fälle werden von den drei folgenden Beispielen abgedeckt.

Thomas Rießinger

5. Funktionen

Hat man irgendeine Funktion im Form einer definierenden Formel gegeben, so kann man sich überlegen, welche

x

-Werte man sinnvollerweise in diese Formel einsetzen kann: nicht jedes

x

paßt in jede Formel. Ist beispielsweise

$$ f(x) = \sqrt x $$

und soll die Betrachtung der Funktion im Rahmen der reellen Zahlen stattfinden, dann wird man sicher keine negativen Werte für

x

einsetzen können, weil es keine reellen Wurzeln aus negativen Zahlen gibt. Die größtmögliche Menge von Werten, die man in die gegebene Funktion einsetzen kann, ist dann der maximale Definitionsbereich der Funktion. Man findet ihn normalerweise genauso wie in dem kleinen Beispiel der Funktion

$$ f(x) = \sqrt x $$

, indem man sich überlegt, welche Werte man ausschließen muß, wenn man nicht in mathematische Schwierigkeiten geraten will. Beliebte Möglichkeiten für Ausschlußkriterien sind dabei Wurzeln aus negativen Zahlen und Divisionen durch Null.

Thomas Rießinger

6. Trigonometrische Funktionen und Exponentialfunktion

Natürlich kennen Sie die Sinusfunktion und wissen auch über einige ihrer Eigenschaften Bescheid. Nun kann es aber vorkommen, daß man nicht nur den sin x in seiner reinen und unverfälschten Form braucht, sondern auch etwas unschönere Funktionen wie zum Beispiel

f(x)

 = 

a

 · sin(

bx

 + 

c

), die zwar eine Menge mit dem Sinus zu tun haben, ihn aber nicht einfach so lassen, wie Sie ihn gewöhnt sind. Um die Eigenschaften einer solchen Funktion zu untersuchen, muß man die entsprechenden Eigenschaften der Sinusfunktion selbst heranziehen.

Thomas Rießinger

7. Differentialrechnung

Diese Ableitungsaufgaben sind ein Einstieg in die Methoden der Differentialrechnung, denn die angegebenen Funktionen sind so einfach, da ßman noch kaum auf die üublichen Regeln zur Berechnung von Ableitungen zurückgreifen muß, sondern meist ohne großen Aufwand einfach ableiten kann.

Thomas Rießinger

8. Integralrechnung

Sobald Sie dann die Stammfunktion zur Verfügung haben, ist die Berechnung des bestimmten Integrals in aller Regel kein Problem mehr, denn Sie müssen jetzt nur noch die Integrationsgrenzen

a

und

b

in die Stammfunktion

F

einsetzen und die Ergebnisse voneinander abziehen.

Thomas Rießinger

9. Reihen und Taylorreihen

Sie sieht zu Anfang recht unübersichtlich aus, vor allem deshalb, weil die einzelnen Summanden wieder aus zwei Summanden bestehen, nämlich aus

$$\frac{1}{3^n}$$

und

$$\frac{1}{n(n + 1)}$$

. Das macht aber nichts. Eine Reihe ist nichts anderes als eine unendliche Summe, und das heißt, day ich alles, was nach dem Summenzeichen steht, aufaddieren muß.

Thomas Rießinger

10. Komplexe Zahlen und Fourierreihen

Ausgangspunkt der gesamten komplexen Zahlen ist die sogenannte imaginäre Einheit

$$ i = \sqrt { - 1} $$

, also die imaginäre Wurzel aus −1. Jede komplexe Zahl hat dann die Form

a

 + 

bi

, wobei

a

und

b

reelle Zahlen sind und man normalerweise

a

als den Realteil und

b

als den Imaginärteil der komplexen Zahl

a

 + 

bi

bezeichnet. In dieser Aufgabe geht es darum, die üblichen Grundrechenarten für komplexe Zahlen einzuüben. Am einfachsten sind dabei Addition und Subtraktion: man addiert bzw. subtrahiert zwei komplexe Zahlen genauso, wie man zwei Klammerausdrücke addieren oder subtrahieren würde, in denen die Variable

i

vorkommt. Das heißt also, man verarbeitet einerseits die Realteile und andererseits die Imaginärteile. Auch die Multiplikation ist einfach, denn zwei komplexe Zahlen kann man als zwei Klammerausdrücke deuten, die durch schlichtes Ausmultiplizieren der Klammern miteinander multipliziert werden können. Sobald das getan ist, muß man nur noch beachten, daß

i

2

 = −1 gilt, und die Multiplikation ist erledigt. Bei der Division ist es etwas schwieriger, aber das werde ich nachher in Aufgabe 10.2 erklären.

Thomas Rießinger

11. Differentialgleichungen

Die Trennung der Variablen ist vermutlich das einfachste und angenehmste Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen, hat aber dafür auch einen recht eingeschränkten Anwendungsbereich: sie läßt sich nur bei Differentialgleichungen der Form

y

′ = 

f

(

x

)

g

(

y

) anwenden. In diesem Fall kann man sich nämlich an die Schreibweise

$$ y^{\prime} = \frac{{dy}}{{dx}}$$

erinnern und die Gleichung umschreiben zu

$$\frac{{dy}}{{dx}} = f(x)g(y)$$

. Das sieht nicht so aus, als würde es weiterhelfen, aber wenn man zu formalen Zugeständnissen bereit ist, dann kommt man ein Stück vorwärts. Natürlich ist der Ausdruck

$$\frac{{dy}}{{dx}}$$

kein wirklicher Bruch, sondern nur eine andere formale Schreibweise für die erste Ableitung. Sie können ihn allerdings für einen Moment als Bruch betrachten und dann die Gleichung

$$\frac{{dy}}{{dx}} = f(x)g(y)$$

nach Variablen sortieren.

Thomas Rießinger

12. Matrizen und Determinanten

Der Umgang mit Matrizen wird im Allgemeinen als einigermaßen einfach empfunden, und das dürfte daran liegen, daß er tatsächlich recht einfach ist. Sie können es schon an dieser Aufgabe sehen. Hat man eine lineare Abbildung

$$ f:{\Bbb {R}}^n \to {\Bbb {R}}^m$$

gegeben, so erhält man die darstellende Matrix [

f

] von

f

, indem man die Koeffizienten aus jeder Outputkomponente von

f

der Reihe nach in jeweils eine Zeile der Matrix schreibt. Hat man also beispielsweise in der ersten Outputkomponente von

f

das Ergebnis

a

11

x

1

 + 

a

12

x

2

 + … + 

a

1

n

x

n

, so stehen in der ersten Zeile der Matrix [

f

] einfach nur die Zahlen

a

11

a

12

a

1

n

. Nun hat aber die gegebene Abbildung f in der ersten Komponente den Ausdruck

x

 + 

y

 + 

z

 = 1

x

 + 1

y

 + 1

z

und in der zweiten Ergebniskomponente den Ausdruck −3

x

 + 5

y

 − 2z.

Thomas Rießinger

13. Mehrdimensionale Differentialrechnung

Die Berechnung partieller Ableitungen gehört nicht zu den spannendsten Aufgaben, die man sich vorstellen kann. Dafür ist sie nicht besonders schwierig, wenn man sich einmal an das Prinzip gewöhnt hat. Haben Sie beispielsweise eine Funktion

f

(

x

,

y

) mit zweidimensionalem Input (

x

,

y

), aber reellem Output, dann können Sie diese Funktion sowohl nach der Variablen

x

als auch nach der Variablen

y

ableiten. In beiden Fällen spricht man von einer partiellen Ableitung, da man eben nur nach jeweils einer Variablen ableitet. Das hat dann aber auch sofort Konsequenzen für die Berechnungsmethode: wenn Sie

f

(

x

,

y

) nur nach der Variablen

x

ableiten, dann bedeutet das, daß Sie für eine Weile

y

nicht mehr als Variable betrachten, sondern als schlichte Konstante, was es relativ zu

x

ja auch ist. Man leitet also partiell nach

x

ab, indem man

y

als Konstante betrachtet und dann die Funktion als vertraute Funktion in der einen Variablen

x

interpretiert, die man mit den gewohnten Methoden ableiten kann. Und für

y

ist es genauso, nur daß ich dann

x

als Konstante betrachten und f als Funktion in der Variablen

y

interpretieren muß.

Thomas Rießinger

14. Mehrdimensionale Integralrechnung

Eine Funktion

f

(

x

,

y

) mit zwei Inputvariablen, aber nur einem Output, kann man sich als eine Oberfläche im dreidimensionalen Raum vorstellen. Ist nun der Definitionsbereich nach allen Richtungen beschränkt, so befindet sich zwischen dieser Oberfläche und der

x

,

y

-Ebene ein dreidimensionaler Körper mit einem endlichen Volumen, das man mit Hilfe eines Doppelintegrals berechnen kann.

Thomas Rießinger

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