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Über dieses Buch

Dieses Buch bietet in zwei Bänden vielfältige Aufgaben aus der Strömungsmechanik mit ausführlich vorgerechneten Lösungen und ist damit auch eine wertvolle Hilfe bei der Klausurvorbereitung. Es ist als Übungsbuch konzipiert und zielt darauf ab, die Inhalte der Vorlesung Strömungsmechanik anhand zahlreicher Beispiele besser verständlich zu machen. Das Buch wendet sich vor allem an Studierende der Fachbereiche Maschinenbau, Verfahrens- und Umwelttechnik an Fachhochschulen und Universitäten.

Auf der Basis der Grundlagenkenntnisse des Fachs erhält der Leser Aufgaben zur Bearbeitung in verschiedenen Schwierigkeitsgraden – von kurzen Rechenübungen bis hin zu komplexen, mehrteiligen Anwendungsaufgaben. Die Übungsbeispiele decken dabei wichtige Anwendungsfälle der Lehrveranstaltung ab. Es wird besonderer Wert auf eine klar formulierte Aufgabenstellung, die verständliche Beschreibung der Vorgehensweise und die schrittweise, vollständige Lösungsfindung gelegt. Prüfungsaufgaben verschiedener Hochschulen sind ebenfalls Bestandteil des Buchs.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Viskose Fluideigenschaften

Die Stoffgröße „Viskosität“ ist als Resultat der inneren Reibung, die bei der Verschiebung von Fluidteilchen gegeneinander entsteht, zu verstehen. Sie ist definiert als Eigenschaft eines fließfähigen Stoffsystems (flüssig oder gasförmig), bei Verformungen Spannungen aufzunehmen. Umgekehrt kann ebenso durch eine aufgebrachte (Schub-)Spannung eine Verformung hervorgerufen werden, die sich in der Änderung der Geschwindigkeit senkrecht zu ihrer Richtung äußert. Diese Geschwindigkeitsänderung wird als Verformungsgeschwindigkeit D bezeichnet. Man muss hierbei zwischen zwei Fällen unterscheiden (Abb. 1.1 und 1.2):
Valentin Schröder

2. Translatorisch und rotierend bewegte Flüssigkeitssysteme

Die Ausbildung freier Oberflächen als Grenzflächen zwischen Flüssigkeitsspiegeln und Gasen (oft Wasser und Luft) erfolgt aufgrund folgender Beobachtungen und Feststellungen:
  • Die Fluidteilchen sind leicht verschiebbar. Sie passen sich jeder Körperform an.
  • Die Fluidteilchen bewegen sich unter Einwirkung von Tangentialkräften/-kraftkomponenten so lange, bis diese verschwunden sind.
  • Die Fluidteilchen kommen also dann zur Ruhe, wenn nur noch Normalkräfte zwischen ihnen wirken. Im Beharrungszustand ist keine Bewegung der Fluidteilchen relativ zueinander
  • und zu den Wänden vorhanden.
  • Freie Oberflächen stellen sich in jedem Punkt senkrecht zur Kraftresultierenden ein.
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3. Fluiddruck

In einem in Ruhe befindlichen Newton’schen Fluid können nur Normalkräfte auftreten. Schubspannungen sind in Ruhe nicht vorhanden (\({\tau}=0\)). Zugkräfte/-spannungen können von Fluiden nicht oder nur sehr geringfügig übertragen werden. Bezieht man die Normalkraft auf die belastete Fläche, so wird damit der Druck p formuliert. Die allgemeine Druckdefinition lautet
$$p=\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}A}.$$
In dieser Form kann der Druck auch bei ungleichmäßigen Verteilungen auf Begrenzungswänden von z. B. hohen Flüssigkeitsbehältern, Absperrmauern usw. oder auch bei ungleichförmigen Verteilungen als statischer Druck an umströmten Profilen angewendet werden, um z. B. resultierende Kräfte zu ermitteln. Die jeweilige Druckverteilung muss hierbei bekannt sein. Bei einer homogenen Verteilung der Normalkraft F über der Fläche A lautet der Druck
$$p=\frac{F}{A}$$
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4. Hydrostatische Kräfte auf ebene und gekrümmte Wände

Die korrekte Dimensionierung von Strukturen, die statischen Belastungen durch Flüssigkeiten ausgesetzt sind, setzt die Kenntnis der wirksamen Kräfte voraus ebenso wie die Angriffsrichtung und die Angriffspunkte. Die geometrischen Formen der betreffenden Bauteile können ebener oder auch gekrümmter Art sein. Die im Folgenden angegebenen Zusammenhänge beziehen sich auf Flüssigkeitssysteme, die gegen Atmosphäre offen sind. Gegebenenfalls müssen andersartige Systemdrücke zusätzlich berücksichtigt werden.
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5. Auftriebskräfte an eingetauchten Körpern

Archimedes hat das Grundprinzip des Auftriebs und des Schwimmens vor mehr als 2 200 Jahren entdeckt und formuliert. Man kann dieses Prinzip wie folgt beschreiben. An einem auf einer Flüssigkeit schwimmender oder in ihr eingetauchter Körper wirkt eine Kraft aufwärts, die gleich ist der Gewichtskraft der vom Körper verdrängten Flüssigkeitsmasse. Hieraus leiten sich zahlreiche Anwendungsfälle ab, wie z. B.Die Auftriebskraft ist als „resultierende vertikale Druckkraft“ an einem in ein Fluid eingetauchten Körper zu verstehen. Hierbei wird ursächlich die Verteilung des statischen Drucks im Fluid wirksam. Die Definition der Auftriebskraft an einem infinitesimalen Volumenelement dV lautet wie folgt.
$$\mathrm{d}F_{\mathrm{A}}=\mathrm{d}F_{t,2}-\mathrm{d}F_{t,1}$$
Bei diesen Betrachtungen kommen nur die vertikalen Kraftkomponenten d\(F_{\mathrm{t}}\) der Kraft dF zur Wirkung, da sich die horizontalen Komponenten über der Oberfläche aufheben.
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6. Kinematik von Fluidströmungen

Grundlegende Bewegungsvorgänge von Fluiden lassen sich kinematisch mit Geschwindigkeitsfeldern beschreiben. Ebenso sind die hieraus ableitbaren Beschleunigungsfelder von großer Bedeutung. Sie werden z. B. bei der Herleitung der Bewegungsgleichung benötigt. Beide Felder können entweder nur räumlich oder auch räumlich und zeitlich oder nur zeitlich veränderlich sein. Im ersten Fall handelt es sich um eine stationäre, im zweiten Fall um eine instationäre Strömung. Die räumliche Darstellung erfolgt entweder mit einem kartesischen Koordinatensystem, mit Kugelkoordinaten oder auch mit Zylinderkoordinaten. Bei den anschließenden Beispielen wird ausschließlich vom kartesischen Koordinatensystem und bei ebenen Systemen von Polarkoordinaten Gebrauch gemacht.
Der Geschwindigkeitsvektor \(\vec{c}\) der stationären Strömung lautet im kartesischen Koordinatensystem
$$\vec{c}=c_{x}\cdot\vec{i}+c_{y}\cdot\vec{j}+c_{z}\cdot\vec{k}$$
mit \(c_{x}\)(x, y, z), \(c_{y}\)(x, y, z) und \(c_{z}\)(x, y, z,).
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7. Kontinuitätsgleichung, Durchflussgleichung

Die Kontinuitätsgleichung der Strömungsmechanik beruht auf der Massenerhaltung in einem abgegrenzten Fluidraum. Sie stellt eine der fundamentalen Grundlagen der Strömungsmechanik dar und ist bei der Lösung sehr vieler Fragestellungen unerlässlich.
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8. Bernoulli’sche Energiegleichung für ruhende Systeme

Der Energieerhaltungssatz in einem Kontrollraum besagt, dass die Gesamtenergie eines jeden Stromfadens gleich bleibt, sofern keine mechanische Energie (Strömungsmaschinen) und/oder Wärmeenergie (Wärmetauscher) über die Kontrollraumgrenzen transportiert werden. Die Energiegleichung (Bernoulli-Gleichung) lässt sich sowohl mittels Energiesatz als auch dem ersten Newton’schen Gesetz herleiten. Aus dem letzteren entsteht die Euler’sche Bewegungsgleichung, deren Integration zur Bernoulli’schen Energiegleichung führt. Dieses fundamentale Gesetz kommt bei der Berechnung zahlreicher Aufgaben der Strömungsmechanik zum Einsatz, wo die Frage nach Geschwindigkeits- und Druckgrößen gestellt ist. Neben den meist bekannten Ortsgrößen z werden jedoch noch Randbedingungen an den Referenzstellen sowie die Kontinuitätsgleichung benötigt.
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9. Bernoulli’sche Energiegleichung für rotierende Systeme

Insbesondere bei Anwendungen auf dem Gebiet der Strömungsmaschinen, aber auch überall dort, wo Fluide durch andere rotierende Systeme strömen, wird eine modifizierte Energiegleichung benötigt, die auf die veränderten Gegebenheiten gegenüber ruhender Systeme abgestimmt ist.
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10. Bernoulli’sche Energiegleichung bei instationärer Strömung

Die vorliegende Thematik beschränkt sich auf die instationäre eindimensionale Strömung inkompressibler Flüssigkeiten. Solche Strömungsvorgänge entstehen beim Hoch- oder Herunterfahren von Strömungsmaschinen in den betreffenden Anlagen, beim Öffnen oder Schließen von Armaturen oder wenn im Fall des Ausströmens aus einem Behälter der Flüssigkeitsspiegel zeitlich ausgeprägt abnimmt. Ebenso gehören Flüssigkeitsschwingungen und der Druckstoß zu dieser Thematik. Wegen der Komplexität werden in den folgenden Beispielen vornehmlich Übungsaufgaben vorgestellt und deren detaillierten Lösungen aufgezeigt. Bis auf ein Beispiel wird vereinfachend von jeweils reibungsfreiem Verhalten ausgegangen. Als instationäre Strömungen betrachtet man solche Fälle, bei denen sich die Strömungsgrößen nicht nur entlang des Weges s, sondern auch mit der Zeit t ändern können.
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11. Fluidströmungen mit Dichteänderungen

Die bisherigen Kapitel befassen sich ausnahmslos mit Fluiden konstanter Dichte. Dies trifft auf alle Flüssigkeiten zu, sofern keine extremen Systemdrücke vorliegen. Auch strömende Gase kann man als inkompressibel einstufen, wenn Mach-Zahlen \(\mathit{Ma}<0{,}3\) eingehalten werden können. Im Fall der Gas- und Dampfströmungen bei höheren Mach-Zahlen werden Dichteveränderungen aufgrund größerer Drücke und Temperaturen unvermeidlich. Die Gesetze der dichtebeständigen Strömungen sind dann nicht mehr anwendbar, und man muss den neuen Gegebenheiten mit hierauf angepassten Zusammenhängen Rechnung tragen. Dies ist der Inhalt der sehr umfangreichen und komplexen Thematik „Gasdynamik“, die im vorliegenden Kapitel nur mit ein paar vereinfachten Beispielen der eindimensionalen, stationären Gasströmung exemplarisch vorgestellt werden soll. Das Zusammenwirken strömungsmechanischer und thermodynamischer Grundlagen unter Einbeziehung des Kontinuitätsgesetzes führt zu neuen Gleichungen, die den jeweiligen Aufgabestellungen angepasst werden müssen. Im Einzelnen gehören die folgenden Aufgaben zu folgenden Teilbereichen der Gasdynamik:Bei den nachfolgenden Berechnungen wird der Term \(g\cdot\Updelta Z\) im Fall der hier betrachteten Gasströmungen vernachlässigt, da er vergleichsweise klein ausfällt. Gleichungen hierzu:
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