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Über dieses Buch

Dieses Buch bietet in zwei Bänden vielfältige Aufgaben aus der Strömungsmechanik mit ausführlich vorgerechneten Lösungen und ist damit auch eine wertvolle Hilfe bei der Klausurvorbereitung. Es ist als Übungsbuch konzipiert und zielt darauf ab, die Inhalte der Vorlesung Strömungsmechanik anhand zahlreicher Beispiele besser verständlich zu machen. Das Buch wendet sich vor allem an Studierende der Fachbereiche Maschinenbau, Verfahrens- und Umwelttechnik an Fachhochschulen und Universitäten.

Auf der Basis der Grundlagenkenntnisse des Fachs erhält der Leser Aufgaben zur Bearbeitung in verschiedenen Schwierigkeitsgraden – von kurzen Rechenübungen bis hin zu komplexen, mehrteiligen Anwendungsaufgaben. Die Übungsbeispiele decken dabei wichtige Anwendungsfälle der Lehrveranstaltung ab. Es wird besonderer Wert auf eine klar formulierte Aufgabenstellung, die verständliche Beschreibung der Vorgehensweise und die schrittweise, vollständige Lösungsfindung gelegt. Prüfungsaufgaben verschiedener Hochschulen sind ebenfalls Bestandteil des Buchs.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Rohr- und Kanalströmungen

Im Unterschied zu Beispielen in Band 1, bei denen Strömungsverluste oft vernachlässigt werden bzw. eine untergeordnete Rolle spielen, stehen sie im vorliegenden Kapitel mit ihren Berechnungsmöglichkeiten im Vordergrund. Hierbei ist zwischen der laminaren und turbulenten Strömungsform zu unterscheiden. Welche der beiden möglichen Formen vorliegt ist eine Frage der Reynolds-Zahl
$$\mathit{Re}=\frac{\text{Tr{\"{a}}gheitskr{\"{a}}fte}}{\text{Z{\"{a}}higkeitskr{\"{a}}fte}},$$
$$\mathit{Re}=\frac{\overline{c}\cdot D}{\nu}.$$
Unterschreitet die Reynolds-Zahl einen kritischen Wert \(\mathit{Re}_{\mathrm{krit}}\), so stellt sich im Rohr laminare Strömung ein. Bei größeren \(\mathit{Re}_{\mathrm{krit}}\)-Werten liegt i. A. die turbulente Rohrströmung vor. Der betreffende \(\mathit{Re}_{\mathrm{krit}}\)-Wert lautet
$$Re_{\text{krit}}=2\,320.$$
Neben der reinen laminaren und turbulenten Rohrströmung mit ihren Reibungsverlusten werden im Folgenden auch die Verlustberechnungen aufgeführt, die im Fall von Rohrleitungsbauelementen benötigt werden. Hierbei wird der bei technischen Anwendungen häufigere Fall der turbulenten Strömung in den Vordergrund gestellt.
Valentin Schröder

2. Impulssatz für strömende Fluide

Im Fall von Aufgabestellungen, bei denen Kräfte auf einen Strömungsraum (Kontrollraum) einwirken, kommt der Impulssatz der Strömungsmechanik zum Einsatz. Dessen Anwendung macht es erforderlich, einen sinnvollen, ortsfesten Kontrollraum zu verwenden, an dessen Grenzen die Strömungsgrößen bekannt sind bzw. ermittelt werden sollen. Die Verhältnisse innerhalb des eingeschlossenen Volumens bleiben dabei völlig unberücksichtigt. Des Weiteren muss bei der Bearbeitung der Aufgaben neben dem Impulssatz häufig noch vom Kontinuitätsgesetz und bisweilen auch von der Bernoulli’schen Gleichung Gebrauch gemacht werden. Da die Wahl eines geeigneten Kontrollraums auf die jeweilige Aufgabe abgestimmt werden muss, wird er vereinfachend in den anschließenden Beispielen bereits vorgegeben.
Im Fall stationärer Strömung lässt sich der Impulssatz an einem ortsfesten Kontrollraum wie folgt angeben:
$$\sum\overset{\rightarrow}{F}=\sum\dot{m}\cdot\overset{\rightarrow}{c}.$$
Da der Impulsstrom \(\overset{\rightarrow}{\dot{I}}\) die Dimension einer Kraft aufweist, wird er auch häufig durch den Begriff Impulskraft \(\overset{\rightarrow}{F}_{\mathrm{I}}\) ersetzt. Bei Verwendung dieser Impulskräfte als ebenfalls äußere Kräfte an der Kontrollraumoberfläche lautet der Ansatz dann entsprechend dem statischen Kräftegleichgewicht
$$\sum_{i=1}^{n}\overset{\rightarrow}{F}_{i}=0.$$
Valentin Schröder

3. Grenzschichtströmungen

Prandtl hat erstmals Anfang des 20. Jahrhunderts das Vorhandensein von „Grenzschichten“ an umströmten Körpern theoretisch und experimentell festgestellt. Hiermit konnten bislang viele offene Fragen der Strömungsmechanik gelöst sowie wichtige technische Anwendungen und Verbesserungen (z. B. Grenzschichtabsaugungen an Tragflächen zur Auftriebsverbesserung) geschaffen werden. So konnte ebenso eine deutliche Widerstandsreduzierung an Profilen (Kugeln, Zylinder, Tragflächen, etc.) mittels „Stolperdrähten“ durch entsprechende Grenzschichtveränderungen erzielt werden. Mit „Potenzialströmungen“, d. h. der angenommenen drehungs- und reibungsfreien Strömung, kann z. B. sehr gut die „Querkraftentstehung“ (Auftrieb) an umströmten Tragflügeln erklärt werden. Die tatsächlich auch vorhandenen „Widerstandskräfte“ lassen sich dagegen mit den reibungsfreien Potenzialströmungen nicht belegen. Aus Messungen weiß man, dass außerhalb der näheren Körperumgebung die tatsächliche Strömung der Potenzialströmung sehr nahe kommt. Nur in unmittelbarer Nähe und nach dem Körper sind Abweichungen feststellbar. Somit sind zur Ermittlung der Querkräfte die Gegebenheiten der Potenzialströmung um den Körper zu verwenden, zur Bestimmung der Widerstandskräfte sind die veränderten Verhältnisse in unmittelbarer Körpernähe bedeutsam. Von technischen Fluiden weiß man, dass sie neben Druckspannungen (Drücken) auch Schubspannungen übertragen. Diese Schubspannungen (Newton’sche Flüssigkeiten) hängen vom Geschwindigkeitsgradient \(\frac{\mathrm{d}c_{x}}{\mathrm{d}z}\) und der dynamischen Viskosität \({\eta}\) ab. Wenn auch die Schubspannungen i. A. gegenüber den Druckspannungen klein und oft unbedeutend sind, so kann erst mit ihrer Hilfe die Entwicklung der Widerstandskräfte in den wandnahen, reibungsbehafteten Schichten (Grenzschichten) des Körpers begründet werden.
Valentin Schröder

4. Umströmung von Profilen und Körpern

In Kap. 3 wurde die Plattenströmung ohne Ablösung betrachtet. Da hier \(c_{\mathrm{a}}(x)=c_{\infty}=\) konstant, ist somit auch in der „Außenströmung“ der Druck \(p_{\mathrm{a}}(x)=p_{\infty}=\) konstant. Dieser Druck prägt sich auch der Grenzschicht auf. Über der Lauflänge (Koordinate x) bildet sich eine laminare, eine turbulente oder eine laminare und turbulente Grenzschicht auf, die mit \(x\) ansteigt. Liegt dagegen z. B. ein gekrümmtes Profil vor, so wird die Geschwindigkeit \(c_{\mathrm{a}}(t)\) der „Außenströmung“ verändert. Dies hat gemäß Bernoulli’scher Energiegleichung für die Stromfäden einen entsprechend veränderten Druck zur Folge, der in gleicher Weise auch in der Grenzschicht vorliegt. Bei gekrümmten Körpern, wie zum Beispiel Zylinder, Kugel, Tragflügel, sonstige Körper wird durch die Stromlinienverdichtung (bzw. Stromlinienerweiterung) der Druck in der Außenströmung (gemäß Bernoulli) verkleinert bzw. vergrößert. Diese Druckreduzierung bzw. -erhöhung der Außenströmung ist in gleicher Weise, wie oben gesagt, auch in der Grenzschicht vorhanden. Im Fall des Druckanstiegs bei Geschwindigkeitsverzögerungen in der Außenströmung kann es in der Grenzschicht selbst zur Strömungsablösung kommen. Dies ist auf die dort kleinere Geschwindigkeit gegenüber der Außenströmung zurückzuführen. Die Geschwindigkeitsenergie in der Grenzschicht ist durch den Druckanstieg am Ablösungspunkt aufgezehrt, was dort dann zu ihrer Ablösung von der Wand und danach zu einem mit Wirbeln durchsetzten Bereich führt. In diesem „Totwassergebiet“ erreicht der Druck nicht mehr die Werte vor dem Körper, und es stellt sich ein aufgrund der Grenzschichtablösung bedingter Druckunterschied ein. Hierbei sind turbulente Grenzschichten (völligeres, stärker gekrümmtes Profil) weniger anfällig als die laminaren. Die Einflüsse von Strömungsablösungen auf die Druckverteilungen von umströmten Körpern können am einfachsten aufgrund von Versuchen festgestellt werden.
Valentin Schröder

5. Messtechnische Anwendungen

Die vielfältigen und oft komplexen strömungsmechanischen Fragestellungen lassen sich häufig nur mittels geeigneter messtechnischer Anwendungen zufriedenstellend beantworten. Hierzu steht heute eine Vielzahl von Geräten zur Verfügung, mit denen aufgrund unterschiedlicher physikalischer Prinzipien die jeweiligen gesuchten Größen ermittelt werden können. Im folgenden Kapitel sollen ausschließlich solche Messgeräte behandelt werden, deren Wirkung auf strömungsmechanischen Ursachen beruht. Hierbei stehen die Bestimmung von Volumen- und Massenströmen im Vordergrund. Den klassischen diesbezüglichen Messgeräten liegt die Drosselwirkung der Fluidströmung aufgrund einer Querschnittsverkleinerung zugrunde. Hierdurch wird eine Geschwindigkeitsvergrößerung mit einer gleichzeitigen Druckverkleinerung (Bernoulli’sches Prinzip) hervorgerufen. Im folgenden Kapitel werden auch solche Fälle behandelt, wo Strömungen durch „scharfkantige“ Querschnittsänderungen erfolgen. Hier steht ebenso die Volumenstrombestimmung oder daraus ableitbare Größen im Vordergrund. Neben Messungen von Massen- und Volumenströmen werden im Folgenden auch örtliche Geschwindigkeitsermittlungen mittels Sonden, wie z. B. Pitot-Rohr, vorgestellt.
Valentin Schröder

6. Strömungsmaschinen

Die Berechnungen wesentlicher Komponenten von Strömungsmaschinen und den Anlagen, in denen sie betrieben werden, beruhen u. a. auf den Grundlagen der Strömungsmechanik und Thermodynamik. Die Anwendung der in den vorangegangenen Kapiteln vorgestellten Grundkenntnisse soll hier an Hand einiger weniger Aufgaben demonstriert werden. Neben den schon benutzen Gesetzmäßigkeiten der Vorkapitel kommt des Weiteren zur Ermittlung des Energiebedarfs in einer Anlage dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik besondere Bedeutung zu. Im Fall einer flüssigkeitsbetriebenen Pumpenanlage lässt sich folgender Zusammenhang herleiten:
$$Y_{\mathrm{Anl}}=\frac{p_{\mathrm{OW}}-p_{\mathrm{UW}}}{\rho}+\frac{c_{\mathrm{OW}}^{2}-c_{\mathrm{UW}}^{2}}{2}+g\cdot\left(Z_{\mathrm{OW}}-Z_{\mathrm{UW}}\right)+Y_{{\mathrm{VR}_{\mathrm{OW};\mathrm{UW}}}}.$$
Dabei bedeuten\(Y_{\mathrm{Anl}}\) muss von der installierten Pumpe in jedem Betriebspunkt (\({\equiv}\) Volumenstrom) bereitgestellt werden, wozu sie bei korrekter Auslegung auch in der Lage ist. Zwischen dem Anlagebedarf \(Y_{\mathrm{Anl}}\) und der von der Pumpe an die Flüssigkeit übertragenen Energie Y besteht immer Gleichgewicht, also
$$Y_{\mathrm{Anl}}=Y.$$
Diese Pumpenförderenergie Y lässt sich experimentell aus der Differenz der Energiezustände im Druckstutzen und Saugstutzen wie folgt bestimmen:
$$Y=\frac{p_{\mathrm{D}}-p_{\mathrm{S}}}{\rho}+\frac{c_{\mathrm{D}}^{2}-c_{\mathrm{S}}^{2}}{2}+g\cdot\left(Z_{\mathrm{D}}-Z_{\mathrm{S}}\right).$$
Valentin Schröder

7. Navier-Stokes-Gleichungen

Mitte des 19. Jahrhunderts wurden von Navier und Stokes erstmals Strömungsvorgänge in allgemeiner Darstellung, d. h. für die dreidimensionale, instationäre Bewegung reibungsbehafteter Fluide, formuliert. Dieses Gleichungssystem in Verbindung mit der differenziellen Form der Kontinuitätsgleichung steht unter Verwendung der jeweiligen Randbedingungen zur Bestimmung der Geschwindigkeit \(\overset{\rightarrow}{c}\) und des Drucks p im Strömungsraum zur Verfügung. Die Anwendung ist jedoch aufgrund der mathematischen Schwierigkeiten nur in einzelnen Sonderfällen exakt möglich und zwar bei Fragen zur laminaren Strömung. Mit den mittlerweile zur Verfügung stehenden vielfältigen numerischen Näherungsverfahren lassen sich aber auch heute Lösungen im Fall turbulenter Strömungen erarbeiten.
Beschränkt man nun die Navier-Stokes-Gleichungen (NSG) auf die stationäre Strömung inkompressibler Fluide, und verwendet das kartesische Koordinatensystem, so stehen mit der differenziellen Kontinuitätsgleichung vier Differenzialgleichung zur Verfügung, konkrete Lösungen der laminaren Fluidströmung zu ermitteln.
Valentin Schröder

8. Potenzialströmungen

Die Theorie der Potenzialströmungen erlaubt es, mit mathematischen Mitteln Geschwindigkeitsfelder zu beschreiben, wie sie sich z. B. im Umströmungsbereich von Körpern einstellen. In Verbindung mit der Bernoulli’schen Energiegleichung lassen sich dann auch die Druckverteilungen ermitteln. Zur Vereinfachung wird im vorliegenden Kapitel von stationären, inkompressiblen und ebenen Potenzialströmungen ausgegangen. In unmittelbarer Wandnähe versagt bei realen Fluiden die Theorie jedoch. Aus diesem Grund wird vorausgesetzt, dass das Fluid reibungsfrei und auch gleichzeitig drehungsfrei ist. Zur Berechnung komplexerer Potenzialströmungen stehen verschiedene Elementarströmungen zur Verfügung. Die Stromfunktionen \({\Uppsi}\) und Potenzialfunktionen \({\Upphi}\) dieser Elementarströmungen sind bei jeweils zugrunde liegenden charakteristischen Größen bekannt. Die lineare Überlagerung von \({\Uppsi}\) und \({\Upphi}\) (der Elementarströmungen) gestattet es, verwickeltere Strömungen zu beschreiben. Bei bekannten Stromfunktionen \({\Uppsi}\) oder Potenzialfunktionen \({\Upphi}\) (gegeben oder ermittelt) lassen sich die Geschwindigkeitskomponenten und somit das Geschwindigkeitsfeld in Form der Stromlinien feststellen ebenso wie dies für die Potenziallinien möglich ist. Diese Auswertungen werden bei den betreffenden Aufgaben mit einem geeigneten Tabellenkalkulationsprogramm durchgeführt.
Valentin Schröder

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