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2022 | Buch

Übungsbuch Analysis I

Klausurrelevante Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

verfasst von: Dr. Niklas Hebestreit

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

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Über dieses Buch

Übung macht den Meister – so ist es auch in der Analysis. In diesem Buch werden circa 500 Aufgaben zur Analysis I vorgestellt, die ein breites Themen- und Aufgabentyp-Spektrum abdecken. Dabei kann man bei Fragen oder Problemen in dem entsprechenden Lösungshinweis der Aufgabe nachlesen und die Aufgabe damit eigenständig lösen. Die Lösung kann dann im Abschnitt „Lösungen“ verglichen werden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Aufgaben

Frontmatter
Kapitel 1. Grundlagen
Zusammenfassung
Dieses Kapitel enthält über 30 Aufgaben zu den wichtigsten Grundlagen der Analysis I. Dazu gehören Aufgabenstellungen zu verschiedenen mathematischen Beweistechniken wie dem direkten Beweis, dem indirekten Beweis, dem Beweis durch Ringschluss und dem Prinzip der vollständigen Induktion. Des Weiteren gibt es mehrere Aufgaben zu Mengen, Funktionen und Abbildungen, Relationen, komplexen Zahlen sowie zu elementaren Gleichungen und Ungleichungen.
Niklas Hebestreit
Kapitel 2. Folgen
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden über 20 Aufgaben zu reellen und komplexen Folgen gestellt. Dabei kann sich die Leserin beziehungsweise der Leser in der Berechnung von Grenzwerten verschiedener Zahlenfolgen üben oder Eigenschaften konvergenter Folgen beweisen. Des Weiteren gibt es interessante Aufgaben zu Cauchy-Folgen, rekursiven und beschränkten Folgen sowie zum Limes Inferior und Limes Superior.
Niklas Hebestreit
Kapitel 3. ReihenReihe
Zusammenfassung
Dieses Kapitel enthält verschiedene Aufgaben zu reellen und komplexen Reihen. Dazu gehören beispielsweise Aufgabenstellungen, in denen sich die Leserin beziehungsweise der Leser in der Untersuchung auf Konvergenz und Divergenz von Reihen üben kann. Des Weiteren gibt es mehrere Aufgaben zu Eigenschaften und Konvergenzkriterien von Reihen, zur Cauchy-Produktformel, zu Doppelreihen sowie zu Potenzreihen.
Niklas Hebestreit
Kapitel 4. StetigkeitFunktionstetige Stetigkeit
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden weit über 40 Aufgaben zu stetigen, gleichmäßig stetigen und Lipschitz-stetigen Funktionen sowie Eigenschaften dieser gestellt. Dabei gibt es einen Abschnitt mit vielen interessanten Anwendungsbereichen des Zwischenwertsatzes und des Nullstellensatzes von Bolzano.
Niklas Hebestreit
Kapitel 5. Differentialrechnung
Zusammenfassung
Dieses Kapitel enthält verschiedene Aufgabenstellungen aus dem Gebiet der Differentialrechnung. Neben der Untersuchung von Funktionen auf Differenzierbarkeit und dem Beweis von Eigenschaften differenzierbarer Funktionen gibt es zudem mehrere Abschnitte, in denen die Leserin beziehungsweise der Leser lokale Extrema bestimmen kann oder den Satz von Rolle, den Mittelwertsatz der Differentialrechnung, den Satz über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion sowie den Satz von Taylor und deren Konsequenzen üben kann.
Niklas Hebestreit
Kapitel 6. Konvexität
Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden Aufgaben zu konvexen und konkaven Funktionen sowie Eigenschaften dieser gestellt.
Niklas Hebestreit
Kapitel 7. Integralrechnung
Zusammenfassung
Dieses Kapitel beinhaltet über 30 Aufgaben aus dem Gebiet der Integralrechnung eindimensionaler Funktionen. Dazu gehören Aufgaben zu Treppenfunktionen, Regelfunktionen und Riemann-integrierbaren Funktionen sowie verschiedene Übungsaufgaben in denen die Leserin beziehungsweise der Leser Integrationstechniken (partielle Integration, Integration durch Substitution, Partialbruchzerlegung) üben kann. Weiter gibt es Aufgabenstellungen zum Minoranten-, Majoranten- und Integralvergleichskriterium sowie zum Mittelwertsatz und Hauptsatz der Integralrechnung.
Niklas Hebestreit
Kapitel 8. FunktionenfolgenFolgeFunktionenfolge
Zusammenfassung
In diesem Kapitel kann die Leserin beziehungsweise der Leser verschiedene Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz untersuchen und ein nützliches Kriterium für gleichmäßige Konvergenz beweisen.
Niklas Hebestreit

Lösungshinweise

Frontmatter
Kapitel 9. Lösungshinweise Grundlagen
Zusammenfassung
Erstellen Sie eine Wahrheitstabelle mit den Spalten A, B, \(A\wedge B\), \(\lnot (A \wedge B)\), \(\lnot A\), \(\lnot B\) und \((\lnot A) \vee (\lnot B)\). Tragen Sie dann in die ersten beiden Spalten alle vier Kombinationen aus wahr (w) und falsch (f) ein und befüllen Sie die weiteren Spalten mit den entsprechenden Wahrheitswerten. Verwenden Sie dazu die Wahrheitstabelle beziehungsweise die Definition der Konjunktion (\(\wedge \)), Disjunktion (\(\vee \)) und Negation (\(\lnot \)).
Niklas Hebestreit
Kapitel 10. Lösungshinweise Folgen
Zusammenfassung
Überlegen Sie sich, dass für alle \(n\in \mathbb {N}\) die Abschätzung.
Niklas Hebestreit
Kapitel 11. Lösungshinweise Reihen
Zusammenfassung
Beachten Sie, dass die Umfänge der ersten drei Halbkreise gerade.
Niklas Hebestreit
Kapitel 12. Lösungshinweise Stetigkeit
Zusammenfassung
Überlegen Sie sich mit einer kleinen Rechnung, dass.
Niklas Hebestreit
Kapitel 13. Lösungshinweise Differentialrechnung
Zusammenfassung
Bestimmen Sie zuerst mit Hilfe der Kettenregel die Ableitungen der Funktionen.
Niklas Hebestreit
Kapitel 14. Lösungshinweise Konvexität
Zusammenfassung
Weisen Sie für \(a,b \in \mathbb {R}\) und \(t\in (0,1)\) die Ungleichung.
Niklas Hebestreit
Kapitel 15. Lösungshinweise Integralrechnung
Zusammenfassung
Verwenden Sie lediglich die Definition des Integrals für Treppenfunktionen.
Niklas Hebestreit
Kapitel 16. Lösungshinweise Funktionenfolgen
Zusammenfassung
Zeigen Sie \(\lim _n \Vert f_n - f\Vert _\infty = 0\), indem Sie die Abschätzung \(|\sin (x)|\le 1\) für \(x\in [0,1]\) verwenden. Beachten Sie dabei, dass die Supremumsnorm \(\Vert g\Vert _\infty \) einer stetigen Funktion \(g:[0,1]\rightarrow \mathbb {R}\) als \(\Vert g\Vert _\infty =\sup _{x\in [0,1]} |g(x)|\) definiert ist.
Niklas Hebestreit

Lösungen

Frontmatter
Kapitel 17. Lösungen Grundlagen
Zusammenfassung
Wir zeigen die Tautologie mit einer Wahrheitstafel. Dazu zerlegen wir die Aussagen auf der linken und rechten Seite in Teilaussagen, deren Wahrheitswerte wir bestimmen können.
Niklas Hebestreit
Kapitel 18. Lösungen Folgen
Zusammenfassung
Zunächst gilt für alle.
Niklas Hebestreit
Kapitel 19. Lösungen Reihen
Zusammenfassung
Der Umfang des ersten Halbkreises beträgt \(\pi d / 2\). Da sich der Durchmesser des zweiten Halbkreises halbiert, besitzt dieser einen Umfang von \(\pi d / 4\). Wir erhalten also insgesamt eine Gesamtlänge der geschlängelten Linie von.
Niklas Hebestreit
Kapitel 20. Lösungen Stetigkeit
Zusammenfassung
Wir wählen zunächst \(x_0 \in \mathbb {R}\) beliebig. Um nachzuweisen, dass die Funktion f im Punkt \(x_0\) stetig ist, vereinfachen wir für \(x\in \mathbb {R}\) zunächst den Ausdruck.
Niklas Hebestreit
Kapitel 21. Lösungen Differentialrechnung
Zusammenfassung
Alle Funktionen sind als Komposition, Summe, Produkt beziehungsweise Quotient differenzierbarer Funktionen selbst differenzierbar.
Niklas Hebestreit
Kapitel 22. Lösungen Konvexität
Zusammenfassung
Seien \(a,b \in \mathbb {R}\) und \(t\in (0,1)\) beliebig gewählt. Um zu zeigen, dass die Funktion.
Niklas Hebestreit
Kapitel 23. Lösungen Integralrechnung
Zusammenfassung
Nach Definition des Integrals für Treppenfunktionen gilt.
Niklas Hebestreit
Kapitel 24. Lösungen Funktionenfolgen
Zusammenfassung
Um zu zeigen, dass \((f_n)_n\) gleichmäßig gegen f konvergiert, werden wir \(\lim _n \Vert f_n - f\Vert _\infty = 0\) zeigen. Dazu wählen wir uns zunächst eine beliebige natürliche Zahl \(n\in \mathbb {N}\). Nach Definition der Supremumsnorm \(\Vert \cdot \Vert _\infty \) gilt dann.
Niklas Hebestreit

Übungsklausuren

Frontmatter
Kapitel 25. Übungsklausur Analysis I (A)
Zusammenfassung
Die Bearbeitungszeit für die Klausur beträgt \(\mathbf {105}\) Minuten. Es sind keine Hilfsmittel, das heißt, keine (programmierbaren) Taschenrechner, Computer, Aufzeichnungen der Vorlesung etc. erlaubt. Insgesamt können 40 Punkte und zusätzlich noch 2 Zusatzpunkte (vgl. Aufgabe 8) erreicht werden.
Niklas Hebestreit
Kapitel 26. Übungsklausur Analysis I (B)
Zusammenfassung
Die Bearbeitungszeit für die Klausur beträgt \(\mathbf {120}\) Minuten. Es sind keine Hilfsmittel, das heißt, keine (programmierbaren) Taschenrechner, Computer, Aufzeichnungen der Vorlesung etc. erlaubt. Insgesamt können 56 Punkte erreicht werden.
Niklas Hebestreit
Kapitel 27. Übungsklausur Analysis I (C)
Zusammenfassung
Die Bearbeitungszeit für die Klausur beträgt \(\mathbf {120}\) Minuten. Es sind keine Hilfsmittel, das heißt, keine (programmierbaren) Taschenrechner, Computer, Aufzeichnungen der Vorlesung etc. erlaubt. Insgesamt können 55 Punkte erreicht werden.
Niklas Hebestreit
Kapitel 28. Übungsklausur Analysis I (D)
Zusammenfassung
Die Bearbeitungszeit für die Klausur beträgt \(\mathbf {70}\) Minuten. Es sind keine Hilfsmittel, das heißt, keine (programmierbaren) Taschenrechner, Computer, Aufzeichnungen der Vorlesung etc. erlaubt. Insgesamt können 28 Punkte erreicht werden.
Niklas Hebestreit
Kapitel 29. Übungsklausur Analysis I (E)
Zusammenfassung
Die Bearbeitungszeit für die Klausur beträgt \(\mathbf {60}\) Minuten. Es sind keine Hilfsmittel, das heißt, keine (programmierbaren) Taschenrechner, Computer, Aufzeichnungen der Vorlesung etc. erlaubt. Insgesamt können 38 Punkte erreicht werden.
Niklas Hebestreit
Backmatter
Metadaten
Titel
Übungsbuch Analysis I
verfasst von
Dr. Niklas Hebestreit
Copyright-Jahr
2022
Verlag
Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN
978-3-662-64569-7
Print ISBN
978-3-662-64568-0
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-662-64569-7

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