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Über dieses Buch

Viele Beispielaufgaben aus der Technik mit sehr ausführlichem Lösungsweg vermitteln den Stoff anwendungsorientiert und ermöglichen ein erfolgreiches Selbststudium. Dieses Buch führt zur Hochschulreife und eignet sich hervorragend zur Vorbereitung auf das technische Studium an Hochschulen. Viele Aufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades sichern den Lernerfolg. In der aktuellen Auflage wurde die Zahl der Übungen erhöht und das Farbschema optimiert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Algebra

Frontmatter

1. Elementare Rechenoperationen

In diesem Kapitel werden an Beispielen die Grundrechenarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division behandelt. Es wird am Beispiel gezeigt, wie man in sinnvoller Weise mit Doppelbruchtermen umgeht.
Im Weiteren wird das Rechnen mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmen geübt. Es wird auch die Frage behandelt, wie man mit Logarithmen aus verschiedenen Logarithmensystemen (lg, ln, lb oder z.B. log3) umgeht und wie man sie umrechnet.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

2. Algebraische Gleichungen

Auf die linearen Gleichungen, bei denen auch die Bruchgleichungen berücksichtigt werden, folgen die Quadratischen Gleichungen. Es wird gezeigt, welche der drei Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen sinnvoll sind. Die Wurzelgleichungen bedürfen wegen des oft mehrfachen Quadrierens einer geschickten Lösungsmethode, damit die Lösungen nicht noch schwerer werden. Es werden auch Gleichungssysteme mit Wurzeltermen besprochen.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

3. Ungleichungen

Einfache lineare Ungleichungen lassen sich fast wie Gleichungen lösen. Lediglich beim Multiplizieren und Dividieren mit einem negativen Term muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden. Bei Bruchungleichungen sind Fallunterscheidungen erforderlich.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

4. Lineare Gleichungssysteme

Zunächst werden die konventionellen Lösungsverfahren (Additions-, Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren) für Gleichungssysteme mit 2 und 3 Variablen behandelt.
Dann wird das Gaußsche Eliminationsverfahren mit dem Gaußschen Algorithmus eingeführt, bei dem das System durch ein geeignetes Additionsverfahren in eine „Dreiecksform“ gebracht wird.
Als weiteres Verfahren wird das Determinantenverfahren für Gleichungssysteme mit drei Variablen behandelt. Es wird die Regel von Sarrus, die Cramer´sche Regel und die LAPLACE-Entwicklung behandelt.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

5. Lineares Optimieren

Viele Optimierungen bei wirtschaftlichen Entscheidungen sind lineare Optimierungen. Sie werden teils graphisch und rechnerisch behandelt.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

6. Exponential- und Logarithmusgleichungen

Exponentialgleichungen, bei denen die Variable im Exponenten vorkommt, lassen sich nur dann lösen, wenn sie in eine „logarithmierbare Form“ gebracht worden sind, auf die die drei Logarithmengesetze anwendbar sind. Dazu sind viele Beispiele durchgerechnet. Die darauf folgenden Logarithmusgleichungen schließen folgerichtig daran an.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

Geometrie

Frontmatter

7. Längenberechnungen am Dreieck

Die Längenberechnungen werden in folgender Reihenfolge durchgeführt: Aufgaben mit Anwendung der Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze). Aufgaben mit dem „Pythagoras“.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

8. Trigonometrie

Einen breiten Raum nehmen die Aufgaben mit den Winkelfunktionen ein. Als erstes werden Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck angewandt. Es schließen sich die Aufgaben an, die nur mit den Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck (Sinussatz, Kosinussatz) gelöst werden können.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

9. Analytische Geometrie

Geraden und Strecken, Kreis und Gerade sind die Themen in diesem Kapitel. Dabei werden Beispiele mit Tangenten, Abständen von Geraden und Kreis behandelt.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

10. Flächenberechnung (Planimetrie)

Es werden geradlinig und kreisförmig begrenzte Flächen berechnet.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

11. Volumenberechnung (Stereometrie)

Hier haben wir es mit prismatischen Körpern, mit pyramidenförmigen und kegelförmigen Körpern zu tun. Es folgen die kugelförmigen Körper.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

Differentialrechnung

Frontmatter

12. Funktionen und Relationen

Es werden Aufgaben zu Schnittstellen und Schnittpunkten, sowie Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen behandelt. Es sind Aufgaben durchgerechnet zu gebrochenrationalen Funktionen, zu Exponentialfunktionen und zu trigonomischen Funktionen. Bei den trigonometrischen Funktionen werden auch die goniometrischen Gleichungen behandelt.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

13. Differentiation elementarer Funktionen

Die tabellarische Darstellung der Ableitungen der elementaren Funktionen (Potenz-, Exponential-, Logarithmus- und trigonometrische Funktionen) ermöglicht es neben den Nullstellen auch Extremstellen zu berechnen. Als Beispiel werden Aufgaben der ganzrationalen und Exponentialfunktionen berechnet.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

14. Allgemeine Ableitungsregeln

Da Funktionen manchmal multipliziert oder verkettet werden, werden in diesem Kapitel die allgemeinen Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten- und Kettenregel) an Beispielen behandelt. Bei bestimmten Funktionen ist eine logarithmische Ableitung erforderlich. Dieses Verfahren wird an einigen Beispielen ausführlich dargestellt.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

15. Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

Bei der Anwendung werden anfangs nochmals die Tangente und Normale behandelt, um dann zu der Kurvendiskussion (Funktionsanalyse) zu kommen.
Weitere Aufgaben befassen sich mit Funktionssynthese, der Bestimmung ganzrationaler Funktionen aus Vorgaben.
Wichtige Aufgaben sind die Extremwertaufgaben (Flächenextreme, Extreme Volumina und Minimal-Abstände).
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

16. Newton’sches Näherungsverfahren

Das Newton´sche Näherungsverfahren wird insbesondere zur Nullstellen- und Schnittstellen-Berechnung bei ganzrationalen, trigonometrischen und Exponentialfunktionen angewandt.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

17. Gebrochenrationale Funktionen

Es werden Kurvendiskussionen durchgeführt. Bei dieser Funktionsart kommen noch die Besonderheiten der Asymptoten und Polstellen hinzu.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

18. Trigonometrische Funktionen

Auch hier werden Kurvendiskussionen durchgeführt.
Weitere Aufgaben befassen sich mit der Funktionssynthese.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

19. Exponentialfunktionen

Hier werden Kurvendiskussionen und Flächenberechnungen durchgeführt und Funktionsgleichungen aus Vorgaben bestimmt.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

Integralrechnung

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20. Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

Flächenberechnungen mit Integralrechnung werden bei ganzrationalen, bei trigonometrischen und Exponentialfunktionen durchgeführt.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

21. Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Bei der Vertiefung werden Aufgaben behandelt, die zu verschiedenen Funktionsarten gehören. Es werden auch Parameterfunktionen behandelt.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

22. Rotationsvolumen

Bei den Rotationsvolumen werden Volumina bei Rotation um die x-Achse und bei Rotation um die y-Achse behandelt.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

Vektorrechnung

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23. Vektoroperationen (Vektoralgebra)

Mit Hilfe der Addition und der Subtraktion von Vektoren werden räumliche Entfernungen bestimmt. Der Betrag als die Länge des Distanzvektors gibt die Entfernung bestimmter Punkte an. Räumliche Kräfte werden mit Hilfe des Betrages zahlenmäßig bestimmt. Mit dem Richtungskosinus wird die räumliche Richtung festgelegt.
Durch die Längenbestimmung von Seiten können räumliche Flächen wie Parallelogramme oder Dreiecke bestimmt werden.
Die Produkte von Vektoren werden zur Winkelberechnung (Skalarprodukt), zur Flächenberechnung und zur Bestimmung othogonaler Vektoren (Vektorprodukt), zur Berechnung eines Spatvolumens, zum Nachweis der Komplanarität von Vektoren und zur Berechnung windschiefer Geraden (Spatprodukt) herangezogen.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

24. Analytische Geometrie auf Vektorbasis

Die Gleichungen von räumlichen Geraden und Ebenen werden angewandt zur Berechnung von Schnittpunkten, Schnittgeraden und Schnittwinkeln. Die Ebenen werden in verschiedene Formen umgerechnet. Es werden Abstandsberechnungen durchgeführt.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

25. Anwendungen der Vektorrechnung

Es werden Flugbahnen und Volumina von Pyramiden berechnet.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

Komplexe Rechnung

Frontmatter

26. Komplexe Arithmetik

Die komplexen Zahlen werden in die verschiedenen Darstellungsformen umgerechnet. Dabei zeigt sich, dass sich die trigonometrische Form oder die Exponentialform für die Multiplikation, Division oder das Potenzieren besser geeignet sind als die kartesische Form.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

27. Anwendungen der komplexen Rechnung

In den Beispielen wird die komplexe Rechnung auf elektrotechnische Probleme (komplexer Scheinwiderstand) und auf die Schwingungslehre (Superposition gleichfrequenter Schwingungen) angewandt.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

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