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Über dieses Buch

Dieses Übungsbuch bringt viele Beispielaufgaben aus der Technik mit sehr ausführlichem Lösungsweg, vermittelt den Stoff anwendungsorientiert und ermöglicht ein erfolgreiches Selbststudium. Es führt zur Hochschulreife und eignet sich hervorragend zur Vorbereitung auf das technische Studium an Hochschulen. Viele Aufgaben unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades sichern den Lernerfolg. Die Abschnitte zu Rotationsvolumen, Vektorprodukte, Lage von Geraden, Ebenengleichungen sowie das Potenzieren und Radizieren von komplexen Zahlen wurden erweitert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Algebra

Frontmatter

1. Elementare Rechenoperationen

Zusammenfassung
Lehrbuch Kapitel 2
Brüche lassen sich zusammenfassen, wenn sie gleichnamig sind. Deshalb wollen wir die Brüche durch Erweitern gleichnamig machen:
$$\begin{gathered}\displaystyle\frac{1}{\frac{1\cdot 7}{3\cdot 7}-\frac{1\cdot 3}{7\cdot 3}}-\frac{1\cdot 7}{3\cdot 7}-\frac{1\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{1}{\frac{7-3}{21}}-\frac{(7+3)}{21}=\frac{1}{\frac{4}{21}}-\frac{10}{21}\end{gathered}$$
Ein Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Dadurch werden Doppelbrüche beseitigt.
$$\begin{gathered}\displaystyle\frac{21\cdot 21}{4\cdot 21}-\frac{10\cdot 4}{21\cdot 4}=\frac{441-40}{4\cdot 21}=\underline{\underline{\frac{401}{84}}}\end{gathered}$$
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

2. Algebraische Gleichungen

Zusammenfassung
Lehrbuch Kapitel 3
Wir machen die Brüche gleichnamig und multiplizieren die Gleichung mit dem Hauptnenner.
$$\begin{aligned}\displaystyle\frac{3\cdot 2\cdot(2x-1)}{3\cdot 2\cdot 7}-\frac{3\cdot(2x-5)}{3\cdot 14}&\displaystyle=\frac{3\cdot(3x+5)}{3\cdot 14}-\frac{2\cdot(4-3x)}{2\cdot 21}\hfil\\[1mm] \displaystyle 6\cdot(2x-1)-3\cdot(2x-5)&\displaystyle=3\cdot(3x+5)-2\cdot(4-3x)\hfil\\[1mm] \displaystyle 12x-6-6x+15&\displaystyle=9x+15-8+6x\hfil\\[1mm] \displaystyle 6x+9&\displaystyle=15x+7\hfil\\[1mm] \displaystyle 2&\displaystyle=9x\hfil\\[1mm] \displaystyle x&\displaystyle=\frac{2}{9}\\ \displaystyle L&\displaystyle=\left\{{\frac{2}{9}}\right\}\end{aligned}$$
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

3. Ungleichungen

Zusammenfassung
Lehrbuch Kapitel 10
1.
Ungleichungen lassen sich wie Gleichungen lösen. Lediglich beim Multiplizieren und Dividieren mit einem negativen Term muss das Ungleichheitszeichen umgekehrt werden (Inversionsregel).
 
2.
Bei Bruchungleichungen müssen wir berücksichtigen, dass ein Bruch positiv ist, wenn Zähler und Nenner positiv sind, aber auch, wenn Zähler und Nenner negativ sind.
Bei negativen Brüchen kann alternativ der Zähler oder der Nenner negativ sein. Wir haben es also bei Ungleichungen mit mehreren Fallunterscheidungen zu tun.
 
3.
Bei Brüchen und Bruchtermen darf der Nenner nicht null werden. Wir müssen deshalb solche Werte in der Definitionsmenge ausschließen.
 
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

4. Lineare Gleichungssysteme

Zusammenfassung
Lehrbuch Kapitel 5
Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen sind folgende Lösungsverfahren üblich, die wir im folgenden Abschnitt konventionelle Lösungsverfahren nennen wollen:
  • Additionsverfahren,
  • Gleichsetzungsverfahren,
  • Einsetzungsverfahren.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

5. Lineares Optimieren

Zusammenfassung
Lehrbuch Kapitel 12
$$\begin{gathered}\displaystyle x=\text{Anzahl der Teile A}\\ \displaystyle y=\text{Anzahl der Teile B}\end{gathered}$$
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

6. Exponential- und Logarithmusgleichungen

Zusammenfassung
Lehrbuch Kapitel 20
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

Geometrie

Frontmatter

7. Längenberechnungen am Dreieck

Zusammenfassung
Mit Hilfe der Höhe \(h\) wird das rechtwinklige Dreieck in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt, die ähnlich sind, weil ihre Winkel gleich sind.
Damit verhalten sich die Seiten wie folgt:
$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle a:c&\displaystyle=p:a&\displaystyle&\displaystyle(1)\\ \displaystyle b:c&\displaystyle=q:b&\displaystyle&\displaystyle(2)\\ \displaystyle h:p&\displaystyle=q:h&\displaystyle&\displaystyle(3)\end{aligned}\end{gathered}$$
Diese drei Verhältnisgleichungen sind bekannt geworden als
$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle\textbf{Kathetensatz:}&\displaystyle&\displaystyle a^{2}=p\cdot c&\displaystyle&\displaystyle({1}^{\prime})\\ \displaystyle&\displaystyle&\displaystyle&\displaystyle b^{2}=c\cdot q&\displaystyle&\displaystyle({2}^{\prime})\\ \displaystyle&\displaystyle\textbf{H{\"o}hensatz:}&\displaystyle&\displaystyle h^{2}=p\cdot q&\displaystyle&\displaystyle({3}^{\prime})\end{aligned}\end{gathered}$$
Addiert man die beiden Gleichungen \(({1}^{\prime})\) und \(({2}^{\prime})\), so erhält man
$$\begin{gathered}\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\cdot p+c\cdot q=c\cdot\underbrace{({p+q})}_{c}.\end{gathered}$$
Diese Gleichung ist bekannt als
$$\begin{gathered}\displaystyle\textbf{Satz des Pythagoras:}\quad\boldsymbol{a^{2}+b^{2}=c^{2}}\end{gathered}$$
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

8. Trigonometrie

Zusammenfassung
Definition
$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle\sin\alpha&\displaystyle=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{a}{c}&\displaystyle\cos\alpha&\displaystyle=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\dfrac{b}{c}\\ \displaystyle\tan\alpha&\displaystyle=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\dfrac{a}{b}&\displaystyle\cot\alpha&\displaystyle=\dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}=\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{\tan\alpha}\end{aligned}\end{gathered}$$
Die reziproken Werte \(a/b=\sec\alpha\) und \(c/b=\mathop{\mathrm{cosec}}\alpha\), d. h. die Kehrwerte der Sinus- und Kosinusfunktion werden selten verwendet und sind damit entbehrlich.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

9. Analytische Geometrie

Zusammenfassung
Lehrbuch Kapitel 20
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

10. Flächenberechnung (Planimetrie)

Zusammenfassung
Lehrbuch Kapitel 27
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

11. Volumenberechnung (Stereometrie)

Zusammenfassung
11.1.1*
Welche Höhe muss ein regelmäßiges dreiseitiges Prisma mit der Grundkantenlänge \(a=3\) cm haben, damit seine Oberfläche 100 cm\({}^{2}\) beträgt?
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

Differentialrechnung

Frontmatter

12. Funktionen und Relationen

Zusammenfassung
12.1.1
a)
In welchen Punkten schneidet die Gerade \(g\) mit der Funktionsgleichung
$$\begin{gathered}\displaystyle g(x)=-\frac{1}{2}x-2{,}5\end{gathered}$$
die Parabel \(K_{f}\) mit \(f(x)=-\frac{1}{2}(x-1)(x-2)\)?
 
b)
Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel.
 
c)
Berechnen Sie die Nullstellen der Parabel.
 
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

13. Differentiation elementarer Funktionen

Zusammenfassung
Lehrbuch Kap. 31 Differentiation elementarer Funktionen
und Abschn. 31.4 Ableitung elementarer Funktionen (Übersicht)
Spezielle Ableitungsregeln
$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle f(x)&\displaystyle=x^{n}\quad&\displaystyle&\displaystyle{f}^{\prime}(x)=n\cdot x^{n-1}\hfil\\[0.5mm] \displaystyle f(x)&\displaystyle=\sin x\quad&\displaystyle&\displaystyle{f}^{\prime}(x)=\cos x\hfil\\[0.5mm] \displaystyle f(x)&\displaystyle=\cos x\quad&\displaystyle&\displaystyle{f}^{\prime}(x)=-\sin x\hfil\\[0.5mm] \displaystyle f(x)&\displaystyle=\tan x\quad&\displaystyle&\displaystyle{f}^{\prime}(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}=1+\tan^{2}x\hfil\\[0.5mm] \displaystyle f(x)&\displaystyle=\cot x\quad&\displaystyle&\displaystyle{f}^{\prime}(x)=-\frac{1}{\sin^{2}x}=-1-\cot^{2}x\hfil\\[0.5mm] \displaystyle f(x)&\displaystyle=\mathrm{e}^{x}\quad&\displaystyle&\displaystyle{f}^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}\hfil\\[0.5mm] \displaystyle f(x)&\displaystyle=a^{x}\quad&\displaystyle&\displaystyle{f}^{\prime}(x)=(\ln a)\cdot a^{x}\hfil\\[0.5mm] \displaystyle f(x)&\displaystyle=\ln x\quad&\displaystyle&\displaystyle{f}^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\hfil\\[0.5mm] \displaystyle f(x)&\displaystyle=\log_{a}x\quad&\displaystyle&\displaystyle{f}^{\prime}(x)=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{1}{x}\end{aligned}\end{gathered}$$
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

14. Allgemeine Ableitungsregeln

Zusammenfassung
$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle f(x)&\displaystyle=u\cdot v\quad&\displaystyle&\displaystyle{f}^{\prime}(x)={u}^{\prime}\cdot v+u\cdot{v}^{\prime}\\ \displaystyle f(x)&\displaystyle=u\cdot v\cdot w\quad&\displaystyle&\displaystyle{f}^{\prime}(x)={u}^{\prime}\cdot v\cdot w+u\cdot{v}^{\prime}\cdot w+u\cdot v\cdot{w}^{\prime}\end{aligned}\end{gathered}$$
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

15. Anwendung der Differentialrechnung auf ganzrationale Funktionen

Zusammenfassung
Ableitungsregeln
$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle&\displaystyle f(x)=a\cdot x^{n}\quad\text{(Potenzregel)}\qquad{f}^{\prime}(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}&\displaystyle&\displaystyle\text{(Faktorenregel)}\\ \displaystyle&\displaystyle\textit{Konstante Faktoren}\text{ bleiben erhalten}\quad&\displaystyle&\displaystyle\text{(Konstantenregel)}\\ \displaystyle&\displaystyle\text{Die }\textit{Ableitung von Summen}\text{ kann gliedweise erfolgen.}\quad&\displaystyle&\displaystyle\text{(Summenregel)}\end{aligned}\end{gathered}$$
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

16. Newton’sches Näherungsverfahren

Zusammenfassung
Lehrbuch Kapitel 33
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

17. Gebrochenrationale Funktionen

Zusammenfassung
17.1
Gegeben sei die Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung
$$\begin{gathered}\displaystyle f(x)=\frac{2}{1+x^{2}}\end{gathered}$$
Geben Sie den Definitionsbereich an. Untersuchen Sie die Funktion auf Nullstellen, Extrema, Asymptoten und Polstellen und zeichnen Sie das Schaubild.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

18. Trigonometrische Funktionen

Zusammenfassung
18.1.1
Gegeben ist die Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung
$$\begin{gathered}\displaystyle f(x)=3\cdot\sin x+2;x\in[{-2;6}]\end{gathered}$$
Berechnen Sie den Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse, die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.
An welchen Stellen hat der Funktionsgraph die Steigung 1?
Zeichnen Sie das Schaubild.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

19. Exponentialfunktionen

Zusammenfassung
19.1.1
Gegeben sei die Funktion \(f\) mit der Funktionsgleichung
$$\begin{gathered}\displaystyle f(x)=2-0{,}5\cdot\mathrm{e}^{-x}-\mathrm{e}^{x}\end{gathered}$$
Berechnen Sie die Nullstellen und den Extrempunkt.
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt \(A(0;f(0))\) an den Funktionsgraphen.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

Integralrechnung

Frontmatter

20. Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

Zusammenfassung
20.1.1*
Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung
$$\begin{gathered}\displaystyle f(x)=\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}-\frac{1}{6}x+5\end{gathered}$$
Berechnen Sie die Nullstellen. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der beiden durch den Funktionsgraphen und die \(x\)-Achse begrenzten Flächen.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

21. Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

Zusammenfassung
21.1
Gegeben seien die Funktionen \(f\) und \(g\) mit den Funktionsgleichungen
$$\begin{gathered}\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-x+2\quad\text{und}\quad g(x)=x^{2}-x+2\end{gathered}$$
a)
In welchen Punkten schneiden sich die Funktionsgraphen?
 
b)
Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgraphen zwischen den Schnittstellen.
 
c)
An welcher Stelle ist die Ordinatendifferenz am größten? Wie groß ist diese?
 
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

22. Rotationsvolumen

Zusammenfassung
Lehrbuch Kapitel 39
$$\begin{gathered}\displaystyle\begin{aligned}\displaystyle V_{x}&\displaystyle=\pi\cdot\int\limits_{4}^{8}{[f(x)]^{2}\mathrm{d}x}=\pi\cdot\int\limits_{4}^{8}{{[\sqrt{x^{2}-16}]}^{2}\mathrm{d}x}=\pi\cdot\int\limits_{4}^{8}{(x^{2}-16)}\mathrm{d}x\\ \displaystyle V_{x}&\displaystyle=\pi\cdot{\left[{\frac{x^{3}}{3}-16x}\right]}_{4}^{8}=\pi\cdot\left[{\frac{8^{3}}{3}-128-\frac{4^{3}}{3}+64}\right]\\ \displaystyle V_{x}&\displaystyle=85{,}33\cdot\pi=268{,}08\,\mathrm{VE}\end{aligned}\end{gathered}$$
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

Vektorrechnung

Frontmatter

23. Vektoroperationen (Vektoralgebra)

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt werden behandelt:
  • Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation)
  • Produkte von Vektoren (Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt)
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

24. Analytische Geometrie auf Vektorbasis

Zusammenfassung
In diesem Abschnitt werden behandelt:
  • Geraden (Vektorielle Geradengleichungen in Parameterform, Schnittpunkte und Schnittwinkel von Geraden, Abstandsberechnungen)
  • Ebenen (Vektorielle Ebenengleichungen in verschiedenen Formen, Schnittgeraden und Schnittwinkel von Ebenen und Ebenen mit Geraden, Abstandsberechnungen)
Lehrbuch Kapitel 41, 42 und 46–50
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

25. Anwendungen der Vektorrechnung

Zusammenfassung
25.1
Ein Flugzeug, das in konstanter Höhe \(h\) mit der Geschwindigkeit \(v\) fliegt, wird von der Radarstation erfasst. Die Projektion der Flugbahn auf die \(xy\)-Ebene lässt sich durch die Geradengleichung \(y=ax+b\) beschreiben.
Bestimmen Sie den Ortsvektor zum Flugzeug.
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

Komplexe Rechnung

Frontmatter

26. Komplexe Arithmetik

Zusammenfassung
Lehrbuch Kapitel 51–54
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

27. Anwendungen der komplexen Rechnung

Zusammenfassung
27.1.1
Welche Schwingungsgleichung hat eine Schwingung, die sich aus der Überlagerung (Superposition) folgender gleichfrequenter Teilschwingungen (\(\omega> 0\)) ergibt?
$$\begin{aligned}\displaystyle x_{1}(t)&\displaystyle=\sqrt{2}\cdot\sin\bigg(\omega t-\frac{\pi}{4}\bigg)\\ \displaystyle x_{2}(t)&\displaystyle=2\cdot\cos\bigg(\omega t+\frac{\pi}{6}\bigg)\\ \displaystyle x_{3}(t)&\displaystyle=\sqrt{6}\cdot\cos\bigg(\omega t-\frac{3\pi}{4}\bigg)\end{aligned}$$
Heinz Rapp, Jörg Matthias Rapp

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