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Über dieses Buch

Dieses Übungsbuch befasst sich mit dem Gebiet Signale und Systeme und beinhaltet insbesondere die Themen reelle und komplexe Fourier-Reihen, Differentialgleichungen, Faltung, Fourier- und Laplacetransformation. Das Buch ersetzt kein Lehrbuch oder den Besuch einer Vorlesung. Doch für Studierende des Faches Elektrotechnik ist dieses Buch hervorragend zur Prüfungsvorbereitung geeignet. Die Autoren fassen vor jedem Kapitel die notwendigen Grundlagen und Formeln kurz zusammen und ergänzen diese durch eine Vielzahl von Aufgaben und Musterlösungen zum Üben. Das Buch ist durch eine Vorlesungstätigkeit an der Hochschule Düsseldorf entstanden. Dort und an vielen anderen Universitäten, Hochschulen und Fachhochschulen wird dieses Fach im dritten oder vierten Semester im Studiengang Elektrotechnik gelehrt. In der vorliegenden 2. Auflage wurde die Anzahl der Übungsaufgaben insbesondere in den Kapiteln zu Differentialgleichungen sowie der Fourier- und der Laplacetransformation deutlich erweitert.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Grundlagen

In diesem Kapitel werden die für die folgenden Kapitel grundlegenden mathematischen Funktionen, sowie die Umwandlung von der analytischen in die graphische Darstellung und umgekehrt wiederholt.Neben den grundlegenden mathematischen Funktionen wie Polynomen, Sinus-, Kosinus-, Exponential-, Wurzel- und Betragsfunktion werden zur Charakterisierung von elektrischen Schaltungen folgende Signale vielfach angewendet:

Bernhard Rieß, Christoph Wallraff

2. Fourier-Reihe

Die Berechnung des Ausgangssignals eines passiven elektrischen Netzwerks bei Erregung mit sinus- bzw. kosinusförmigen Eingangssignalen kann in der Regel mit Hilfe der Methode der reellen bzw. komplexen Wechselstromrechnung erfolgen.Mit Hilfe der Fourier-Reihe können beliebige periodische Signale auf sinus- bzw. kosinusförmige Signale zurückgeführt werden. Damit ist dann die Berechnung des Ausgangssignals eines passiven elektrischen Netzwerks für beliebige periodische Signale möglich, indem die Ausgangssignale für die einzelnen Komponenten einzeln berechnet und schließlich durch Addition zum gesamten Ausgangssignal zusammengefügt werden (Superpositionsprinzip).Jedes periodische Signal kann in eine reelle und eine komplexe Fourier-Reihe zerlegt werden. Reelle Fourier-Reihen werden im folgenden Abschn. 2.1 besprochen, komplexe Fourier-Reihen in Abschn. 2.4.

Bernhard Rieß, Christoph Wallraff

3. Differentialgleichungen

Der klassisch mathematische Lösungsweg zur Berechnung des Ausgangssignals eines linearen zeitinvarianten Systems bei gegebenem Eingangssignal ist die Lösung der zugehörigen Differentialgleichung (DGL). Dabei werden in einem ersten Schritt alle Element- und Kirchhoffschen Gleichungen der Schaltung aufgestellt. Die Lösung des entstandenen Gleichungssystems ergibt die Differentialgleichung des Systems ggf. mit dem anliegenden Eingangssignal bzw. dessen Ableitungen als Störglied. In diesem Kapitel werden die einfachsten in der Realität vorkommenden Differentialgleichungen gelöst, nämlich lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Für diese wird ein Standard-Lösungsverfahren angegeben und in den folgenden Übungsaufgaben demonstriert. Mit Hilfe der gegebenen Randbedingungen kann der Wert der Konstanten des Standard-Lösungsverfahrens bestimmt werden, was schließlich zur finalen Lösung führt.

Bernhard Rieß, Christoph Wallraff

4. Impuls- und Sprungantwort

Impuls- und Sprungatwort sind charakteristische Kenngrößen eines Systems.Die Impulsantworth(t) ist das Ausgangssignal y(t) eines Systems, wenn am Eingang das Signal x(t)=δ(t)$$\displaystyle\begin{array}{rcl} x(t) =\delta (t)& &\end{array}$$ angelegt wird. δ(t) ist die Dirac-Funktion, auch Dirac-Impuls, Delta-Funktion, Impulsfunktion, Delta-Distribution oder Dirac-Stoss genannt.Die Sprungantworta(t) ist das Ausgangssignal y(t) eines Systems, wenn am Eingang das Signal x(t)=σ(t)$$\displaystyle\begin{array}{rcl} x(t) =\sigma (t)& &\end{array}$$ angelegt wird. σ(t) ist die Sprungfunktion, auch Sigma-Funktion oder Einheitssprung genannt.Achtung: In der Literatur und im Internet werden teilweise auch andere Formelzeichen für die Impuls- bzw. die Sprungantwort benutzt. Oftmals wird für die Impulsantwort g(t) anstelle wie hier h(t) verwendet, für die Sprungantwort wird oft h(t) anstelle wie hier a(t) benutzt.Impuls- bzw. Sprungantwort können über die folgenden Zusammenhänge ineinander überführt werden:h(t)=da(t)dta(t)=∫−∞th(τ)dτ$$\displaystyle\begin{array}{rcl} h(t)& =& \frac{\:\mathrm{d}a(t)} {\:\mathrm{d}t} {}\\ a(t)& =& \int \limits _{-\infty }^{t}h(\tau )\:\mathrm{d}\tau\end{array}$$Im folgenden Kapitel werden diese Zusammenhänge geübt und vertieft.

Bernhard Rieß, Christoph Wallraff

5. Faltung

Die Antwort y(t) eines in Ruhe befindlichen linearen zeitinvarianten Systems mit der Impulsantwort h(t) auf eine beliebige kausale Erregung x(t) kann im Zeitbereich folgendermaßen berechnet werden: y(t)=∫0tx(τ)⋅h(t−τ)dτ$$\displaystyle\begin{array}{rcl} y(t) =\int \limits _{ 0}^{t}x(\tau ) \cdot h(t-\tau )\:\mathrm{d}\tau & &\end{array}$$ oder: y(t)=∫0tx(t−τ)⋅h(τ)dτ$$\displaystyle\begin{array}{rcl} y(t) =\int \limits _{ 0}^{t}x(t-\tau ) \cdot h(\tau )\:\mathrm{d}\tau & &\end{array}$$Die beiden Integrale werden auch als Faltungsintegrale bezeichnet.Die Schreibweise als Faltungsprodukt lautet: y(t)=x(t)∗h(t)$$\displaystyle\begin{array}{rcl} y(t) = x(t) {\ast} h(t)& &\end{array}$$ Das heißt, das Ausgangssignal ist gleich dem Eingangssignal gefaltet mit der Impulsantwort.In diesem Kapitel wird das Ausgangssignal mehrerer linearer zeitinvarianter Systeme mit Hilfe der Methode der Faltung berechnet.

Bernhard Rieß, Christoph Wallraff

6. Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation ermöglicht die Betrachtung eines Zeitsignals im Frequenzbereich. Im Gegensatz zur Fourier-Reihe, die nur für periodische Zeitsignale berechnet werden kann, kann die Fourier-Transformierte auch für nicht-periodische also einmalige Zeitsignale berechnet werden. Außerdem vereinfacht sich im Frequenzbereich die Berechnung des Ausgangssignals eines Systems bei gegebener Erregung am Eingang meist erheblich verglichen mit der Durchführung der Faltung oder gar der Lösung der Differentialgleichung.

Bernhard Rieß, Christoph Wallraff

7. Laplace-Transformation

Die Laplace- ist wie die Fourier-Transformation eine Funktional-Transformation. Sie ermöglicht wie die Fourier-Transformation die Betrachtung eines Zeitsignals im Frequenzbereich. Sie stellt allerdings keine echte Erweiterung, sondern eine Modifikation der Fourier-Transformation dar.Dazu wird der Kern der Fourier-Transformation um den Konvergenzfaktor e−σt ergänzt wodurch die Menge der transformierbaren Signale und Systeme deutlich erweitert wird. Dies führt andererseits auf eine Einschränkung der zu transformierenden Signale auf t ≥ 0. Diese Einschränkung spielt in der praktischen Anwendung der Laplace-Transformation in der Elektrotechnik aber kaum eine Rolle, da Signale in der Regel zu einem bestimmten Zeitpunkt eingeschaltet werden, welcher dann als t = 0 definiert werden kann. In diesem Kapitel wird die Laplace-Transformation vorgestellt.

Bernhard Rieß, Christoph Wallraff
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