Übungsbuch Signale und Systeme

In diesem Kapitel werden die für die folgenden Kapitel grundlegenden mathematischen Funktionen, sowie die Umwandlung von der analytischen in die graphische Darstellung und umgekehrt wiederholt.

Neben den grundlegenden mathematischen Funktionen wie Polynomen, Sinus-, Kosinus-, Exponential-, Wurzel- und Betragsfunktion werden zur Charakterisierung von elektrischen Schaltungen folgende Signale vielfach angewendet:

Mit Hilfe der Fourier-Reihe können beliebige periodische Signale auf sinus- bzw. kosinusförmige Signale zurückgeführt werden. Damit ist dann die Berechnung des Ausgangssignals eines passiven elektrischen Netzwerks für beliebige periodische Signale möglich, indem die Ausgangssignale für die einzelnen Komponenten einzeln berechnet und schließlich durch Addition zum gesamten Ausgangssignal zusammengefügt werden (Superpositionsprinzip).

Jedes periodische Signal kann in eine reelle und eine komplexe Fourier-Reihe zerlegt werden. Reelle Fourier-Reihen werden im folgenden Abschn. 2.1 besprochen, komplexe Fourier-Reihen in Abschn. 2.4.

Der klassisch mathematische Lösungsweg zur Berechnung des Ausgangssignals eines linearen zeitinvarianten Systems bei gegebenem Eingangssignal ist die Lösung der zugehörigen Differentialgleichung (DGL). Dabei werden in einem ersten Schritt alle Elementgleichungen sowie die Maschen- und Knotenpunktgleichungen der Schaltung entsprechend den Kirchhoffschen Regeln aufgestellt. Die Lösung des entstandenen Gleichungssystems ergibt die Differentialgleichung des Systems ggf. mit dem anliegenden Eingangssignal bzw. dessen Ableitungen als Störglied. In diesem Kapitel werden die einfachsten in der Realität vorkommenden Differentialgleichungen gelöst, nämlich lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Für diese wird ein Standard-Lösungsverfahren angegeben und in den folgenden Übungsaufgaben demonstriert. Mit Hilfe der gegebenen Randbedingungen kann der Wert der Konstanten des Standard-Lösungsverfahrens bestimmt werden, was schließlich zur finalen Lösung führt.

Impuls- und Sprungatwort sind charakteristische Kenngrößen eines Systems.

Die Impulsantwort h(t) ist das Ausgangssignal y(t) eines Systems, wenn am Eingang das Signal

angelegt wird. \(\delta (t)\) ist die Dirac-Funktion, auch Dirac-Impuls, Delta-Funktion, Impulsfunktion, Delta-Distribution oder Dirac-Stoss genannt.

Die Sprungantwort a(t) ist das Ausgangssignal y(t) eines Systems, wenn am Eingang das Signal angelegt wird. \(\sigma (t)\) ist die Sprungfunktion, auch Sigma-Funktion oder Einheitssprung genannt.

Achtung: In der Literatur und im Internet werden teilweise auch andere Formelzeichen für die Impuls- bzw. die Sprungantwort benutzt. Oftmals wird für die Impulsantwort g(t) anstelle wie hier h(t) verwendet, für die Sprungantwort wird oft h(t) anstelle wie hier a(t) benutzt.

Die Antwort y(t) eines in Ruhe befindlichen linearen zeitinvarianten Systems mit der Impulsantwort h(t) auf eine beliebige kausale Erregung x(t) kann im Zeitbereich folgendermaßen berechnet werden: oder: Die beiden Integrale werden auch als Faltungsintegrale bezeichnet.

Die Schreibweise als Faltungsprodukt lautet: Das heißt, das Ausgangssignal ist gleich dem Eingangssignal gefaltet mit der Impulsantwort.

In diesem Kapitel wird das Ausgangssignal mehrerer linearer zeitinvarianter Systeme mit Hilfe der Methode der Faltung berechnet.

Die Fourier-Transformation ermöglicht die Betrachtung eines Zeitsignals im Frequenzbereich. Im Gegensatz zur Fourier-Reihe, die nur für periodische Zeitsignale berechnet werden kann, kann die Fourier-Transformierte auch für nicht-periodische also einmalige Zeitsignale berechnet werden. Außerdem vereinfacht sich im Frequenzbereich die Berechnung des Ausgangssignals eines Systems bei gegebener Erregung am Eingang meist erheblich verglichen mit der Durchführung der Faltung oder gar der Lösung der Differentialgleichung.

Dazu wird der Kern der Fourier-Transformation um den Konvergenzfaktor \(\text {e}^{-\sigma t}\) ergänzt wodurch die Menge der transformierbaren Signale und Systeme deutlich erweitert wird. Dies führt andererseits auf eine Einschränkung der zu transformierenden Signale auf \(t \ge 0\). Diese Einschränkung spielt in der praktischen Anwendung der Laplace-Transformation in der Elektrotechnik aber kaum eine Rolle, da Signale in der Regel zu einem bestimmten Zeitpunkt eingeschaltet werden, welcher dann als \(t = 0\) definiert werden kann. In diesem Kapitel wird die Laplace-Transformation vorgestellt.