Unitary Representations and Unitary Duals

Dieses Doktorandenbuch führt in die Theorie der einheitlichen Darstellung von Gruppen ein und betont Anwendungen in Bereichen wie dynamischen Systemen. Es beginnt mit der allgemeinen Theorie und Motivation und erkundet dann Schlüsselklassen von Gruppen. Abelsche und kompakte Gruppen werden durch die Pontryagin-Dualität und das Peter-Weyl-Theorem behandelt. Metabelsche Gruppen illustrieren Verbindungen zur Ergodentheorie und führen zur Mackey-Maschine. Schwaches Containment und die Fell-Topologie werden anhand von Beispielen vorgestellt. Die letzten Kapitel wenden die Theorie auf spezielle lineare Gruppen in den Dimensionen zwei und drei an, die glatte Vektoren, spektrale Lücken und den Zerfall von Matrixkoeffizienten abdecken. Der zweidimensionale Fall wird eingehend untersucht, einschließlich des Kunze-Stein-Phänomens, der spektralen Zersetzung auf der hyperbolischen Ebene und der Weil-Darstellung. Das Buch schließt mit einer vollständigen Beschreibung des Einheitsduales von SL (2, R) und seiner Fell-Topologie, wobei die Theorie angewandt wird, um eine effektive Äquiverteilung der Horocycle-Orbits zu beweisen. Mit seinem Fokus auf Schlüsselbeispielen und konkreten Erklärungen richtet sich dieses Lehrbuch an Doktoranden, die erste Schritte in der Theorie der einheitlichen Darstellung unternehmen. Sie baut die Theorie von Grund auf auf auf und erfordert nur eine gewisse Vertrautheit mit funktionalen Analysen, die über die normale Grundlagenmathematik hinausgehen.