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Erschienen in:
2019 | OriginalPaper | Buchkapitel
49. V49 Schubmodulbestimmung aus Torsionsschwingungen
verfasst von : Prof. Dr. rer.nat. Dr.-Ing. E.h. Eckard Macherauch, Prof. Dr.-Ing. Hans-Werner Zoch
Erschienen in: Praktikum in Werkstoffkunde
Verlag: Springer Fachmedien Wiesbaden
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Zusammenfassung
Nach V48 besteht bei einem einseitig eingespannten Zylinder des Durchmessers 2R und der Länge L zwischen Torsionsmoment Mt und Torsionswinkel φ der Zusammenhang
$$ {{M}_{\text{t}}}=G\frac{\varphi }{L}\int\limits_{0}^{R}{{{r}^{2}}}2\pi r\mathrm{d}r=\frac{\pi G{{R}^{4}}}{2L}\varphi .$$
(49.1)
Ist der Zylinder sehr lang gegenüber seinem Durchmesser (Draht) und wird sein unteres Ende wie in Abb. 49.1 mit einer zylindrischen Scheibe A verbunden, so führt das ganze System nach Wegnahme des äußeren Momentes Drehschwingungen aus. Es liegt ein Torsionspendel vor. Ist θ0 das Massenträgheitsmoment des Systems bezüglich der Drahtachse und ist die Systemdämpfung hinreichend klein, so lautet die Bewegungsdifferentialgleichungbzw.
$$ {{\Theta }_{0}}\ddot{\varphi }=-{{M}_{\text{t}}}(\varphi )=-\frac{\pi G{{R}^{4}}}{2L}\varphi =-D\varphi $$
(49.2a)
$$ \ddot{\varphi }=-{{\omega }^{2}}\varphi .$$
(49.2b)
Dabei ist D das sog. Direktionsmoment und ω die Kreisfrequenz des schwingungsfähigen Systems. Die Lösung dieser Differentialgleichung lautetmit der Schwingungsdauer
$$ \varphi ={{\varphi }_{0}}\cos \omega t={{\varphi }_{0}}\cos 2\pi \nu t={{\varphi }_{0}}\cos 2\pi \frac{t}{{{t}_{0}}}$$
(49.3)
$$ {{t}_{0}}=2\pi \sqrt{\frac{{{\Theta }_{0}}}{D}}=2\pi \sqrt{\frac{2L{{\Theta }_{0}}}{\pi G{{R}^{4}}}}.$$
(49.4)
Somit ergibt sich bei bekannten L, R und θ0 durch Messung von t0 der Schubmodul zu
$$ G=\frac{8\pi L{{\Theta }_{0}}}{{{R}^{4}}t_{0}^{2}}.$$
(49.5)