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Über dieses Buch

Dieses Buch ist eine Einführung in die Variationsrechnung, die das Ziel hat, reellwertige Funktionale zu minimieren oder zu maximieren. Die Funktionale sind Integrale über einem Intervall, weshalb die dafür zulässigen Funktionen von nur einer unabhängigen Variablen abhängen. Motiviert werden die Fragestellungen durch viele und zum Teil auch historisch bedeutsame Beispiele.

Die Theorie führt in den Euler-Lagrange-Kalkül und in die Direkten Methoden der Variationsrechnung ein. Die Ausführungen werden von Abbildungen begleitet, die das Verständnis erleichtern. Zu jedem Abschnitt werden Übungsaufgaben gestellt, deren Lösungen am Ende des Buches zu finden sind.

Das Buch ist im Bachelorstudium für eine Vorlesung ab dem 3. Semester geeignet. Die Hilfsmittel, welche über die der Grundvorlesungen hinausgehen, werden im Text oder im Anhang bereitgestellt.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Einleitung

Zusammenfassung
Das Ziel der Variationsrechnung ist, gewisse mathematisch fassbare Größen zu minimieren oder zu maximieren. Das setzt voraus, dass diese Größen Werte in einem geordneten Zahlbereich haben, üblicherweise in der Menge der reellen Zahlen.
Hansjörg Kielhöfer

Kapitel 1. Die Euler-Lagrange-Gleichung

Ohne Zusammenfassung
Hansjörg Kielhöfer

Kapitel 2. Variationsprobleme mit Nebenbedingungen

Zusammenfassung
Schon bei den klassischen Problemen wie dem der Dido oder der hängenden Kette treten in natürlicher Weise Nebenbedingungen auf: Maximiere die Fläche bei gegebenem Umfang, minimiere die potentielle Energie der hängenden Kette bei gegebener Länge. Diese Nebenbedingungen gehören zu der Klasse der isoperimetrischen Nebenbedingungen und sind vom gleichen Typ wie das zu maximierende oder zu minimierende Funktional.
Hansjörg Kielhöfer

Kapitel 3. Direkte Methoden der Variationsrechnung

Zusammenfassung
Der Euler-Lagrange-Kalkül wurde erfunden, um Extremale zu berechnen. Ist die Lösung der Euler-Lagrange-Gleichung unter den zulässigen Funktionen eindeutig, kann mit physikalischen oder geometrischen Einsichten in das Problem geschlossen werden, dass sie die gesuchte Extremale ist. Darüber hinaus können mithilfe der zweiten Variation weitere notwendige und auch hinreichende Bedingungen geprüft werden.
Hansjörg Kielhöfer

Backmatter

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