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2025 | Buch

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Variationsrechnung

verfasst von: Lisa Beck, Bernd Schmidt

Verlag: Springer Nature Switzerland

Buchreihe : Mathematik Kompakt

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis
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Über dieses Buch

Dieses Lehrbuch bietet fortgeschrittenen Studierenden im Bachelorstudium eine konzise Einführung in das Gebiet der Variationsrechnung und eignet sich als Grundlage einer einsemestrigen Vorlesung.


Es beginnt mit einigen klassischen Variationsproblemen und Ergebnissen zu Minimalflächen. Der Schwerpunkt liegt jedoch auf den modernen Aspekten der Variationsrechnung. Das Hauptaugenmerk gilt dabei den Variationsintegralen für "vektorwertige Probleme", für die Minimierer mit der "direkten Methode der Variationsrechnung" gesucht werden. Als adäquate Funktionenräume hierfür werden die "Sobolevräume" ausführlich behandelt. Auch die Relaxation solcher Funktionale wird eingehend diskutiert. Schließlich wird eine Einführung in die Theorie der Gamma-Konvergenz bis hin zu aktuellen Anwendungen auf Mehrskalenprobleme gegeben.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter
Kapitel 1. Einleitung
Zusammenfassung
Verschiedenste Fragestellungen wie das klassische Problem der Dido bis hin zu modernen Problemen der Elastizitätstheorie lassen sich variationell formulieren. Dabei sucht man nach Minimierern \(u :U \rightarrow \mathbb R^m\), \(U \subset \mathbb R^n\), von Funktionalen der Form
$$ I(u) = \int _{U} f(x, u(x), Du(x)) \, \text {d}{x} $$
für einen gegebenen Integranden f auf \(U \times \mathbb R^n \times \mathbb R^{m \times n}\). In der Einleitung wird ein kurzer Überblick über die Inhalte der einzelnen Kapitel gegeben, die klassische und vor allem moderne Zugänge zur Existenz von Minimierern, die Relaxierung von Variationsproblemen, \(\Gamma \)-Konvergenz und ausgewählte Anwendungen umfassen.
Lisa Beck, Bernd Schmidt
Kapitel 2. Klassische Theorie in einer Dimension
Zusammenfassung
Es werden einige klassische Variationsprobleme behandelt, bei denen der gesuchte Minimierer auf einem eindimensionalen Intervall definiert ist. In diesem Fall lösen Minimierer eine gewöhnliche Differentialgleichung, so dass sie zum Teil (im Unterschied zu späteren Kapiteln) sogar explizit bestimmt werden können.
Lisa Beck, Bernd Schmidt
Kapitel 3. Semiklassische Methoden
Zusammenfassung
Es wird eine erste direkte Methode der Variationsrechnung vorgestellt, die im Wesentlichen auf der Anwendung von Maximumprinzipien basiert. Es wird gezeigt, dass in einigen speziellen Situationen Funktionale der Form
$$ I(u) = \int _U f(\nabla u(x)) \, \text {d}{x} $$
mit einer offenen, beschränkten Menge \(U \subset \mathbb R^n\) und einem konvexen Integranden f auf \(\mathbb R^n\) einen skalar-wertigen Minimierer in der Klasse der Lipschitz-stetigen Funktionen mit vorgegebenen Randwerten besitzen. Insbesondere werden hier erste Existenz- und Nichtexistenzresultate von Minimierern für das Minimalflächenproblem diskutiert.
Lisa Beck, Bernd Schmidt
Kapitel 4. Sobolev-Räume
Zusammenfassung
Die Sobolev-Räume \(W^{m,p}\) sind Räume von \(L^p\)-Funktionen, die in einem verallgemeinerten Sinn m-fach differenzierbar sind. Aufgrund ihrer guten funktionalanalytischen Eigenschaften bilden sie die Grundlage nicht nur der modernen Variationsrechnung sondern viel allgemeiner eines weiten Bereichs in der modernen Analysis, insbesondere der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Hier wird eine konzise Einführung in die Theorie der Sobolev-Funktionen gegeben.
Lisa Beck, Bernd Schmidt
Kapitel 5. Minimierer für vektorwertige Variationsprobleme
Zusammenfassung
Es werden Funktionale der Form
$$ I(u) = \int _{U} f(Du(x)) \, \text {d}{x}, $$
mithilfe der direkten Methode der Variationsrechnung auf die Existenz von Minimierern zu vorgegebenen Randwerten untersucht. Dazu wird gezeigt, dass Unterhalbfolgenstetigkeit von I auf dem Sobolev-Raum \(W^{1,p}\) bezüglich schwacher Konvergenz unter geeigneten Wachstumsannahmen an den Integranden f äquivalent dazu ist, dass f eine geeignete Konvexitätsbedingung, nämlich die der Quasikonvexität, erfüllt. Es werden zudem verschiedene andere Konvexitätsbedingungen diskutiert, die für Quasikonvexität notwendig beziehungsweise hinreichend sind.
Lisa Beck, Bernd Schmidt
Kapitel 6. Relaxierung von Variationsproblemen
Zusammenfassung
Es werden Funktionale der Form
$$ I(u) = \int _{U} f(Du(x)) \, \text {d}{x}, $$
behandelt, für die die Existenz von Minimierern zu vorgegebenen Randwerden über die direkte Methode nicht nachgewiesen werden kann (und gegebenenfalls gar nicht gegeben ist). Es wird die Methode der Relaxation eingeführt, durch die man auf ein zu I verwandtes Funktional übergehen kann, das einerseits I noch gut (entlang von Minimalfolgen) approximiert und dessen Minimierung andererseits für die direkte Methode zugänglich ist. Die Relaxation wird dann auf nicht quasikonvexe Integranden sowie das Minimalflächenproblem angewandt und auch das Konzept von Young-Maßen vorgestellt.
Lisa Beck, Bernd Schmidt
Kapitel 7. -Konvergenz & Anwendungen
Zusammenfassung
Es wird der Begriff der \(\varGamma \)-Konvergenz eingeführt, der auf die Beschreibung des asymptotischen Verhaltens einer Folge von Minimierungsproblemen zugeschnitten ist. Im Anschluss werden verschiedene Anwendungen der \(\varGamma \)-Konvergenz auf Mehrskalenprobleme vorgestellt, insbesondere auf Phasenübergänge, elastische Membranen und Homogenisierung.
Lisa Beck, Bernd Schmidt
Backmatter
Metadaten
Titel
Variationsrechnung
verfasst von
Lisa Beck
Bernd Schmidt
Copyright-Jahr
2025
Electronic ISBN
978-3-031-59138-9
Print ISBN
978-3-031-59137-2
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-031-59138-9

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