Vektoranalysis und Differentialformen

Fundamentale Werkzeuge der Mathematik

verfasst von: Dieter Riebesehl

Verlag: Springer Berlin Heidelberg

Buchreihe : essentials

Enthalten in: Springer Professional "Wirtschaft+Technik" , Springer Professional "Technik" , Springer Professional "Wirtschaft"

Inhaltsverzeichnis

Über dieses Buch

Dieter Riebesehl schlägt in diesem essential die Brücke von der klassischen Vektoranalysis zum Formalismus der Differentialformen.
Die Vektoranalysis behandelt Vektorfelder, meist im zwei- oder dreidimensionalen Raum, und ist ein grundlegendes Werkzeug für Physiker, Ingenieure und Techniker. Die zentralen Definitionen werden sorgfältig motiviert und dann die wichtigsten Aussagen bis hin zu den Integralsätzen von Gauß und Stokes hergeleitet. Die Darstellung ist möglichst elementar und vermeidet darüberhinausgehende Konzepte wie Mannigfaltigkeiten.
Die Vektoranalysis hat einen gewissen Mangel an Eleganz, der sich darin äußert, dass sie sich nicht leicht auf mehr als drei Dimensionen verallgemeinern lässt und unnötig viele ähnliche Konzepte verwendet. Die Sprache der Differentialformen kommt mit weniger Konzepten aus, ermöglicht besonders knappe Formulierungen der Integralsätze und ist leicht auf beliebige Dimensionen verallgemeinerbar.
In diesem essential wird die Übersetzung der Vektoranalysis in die Sprache der Differentialformen anschaulich und die Eleganz der neuen Formulierung deutlich gemacht.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Kapitel 1. Einleitung und Motivation

Zusammenfassung

In vielen Anwendungen in der Physik, Technik und anderen Wissenschaften treten sogenannte Felder auf, die jedem Ort in einem Gebiet im Raum, seltener in der Ebene, einen skalaren oder vektoriellen Wert zuordnen. Beispiele für solche Felder werden in Bildern anschaulich gemacht und die Themen der Vektoranalysis kurz vorgestellt.

Dieter Riebesehl

Kapitel 2. Vektoranalysis

Zusammenfassung

Die klassische Vektoranalysis ist Gegenstand dieses Kapitels. Auf eine kurze Einführung in Vektorräume und Vektorfelder folgt die Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Vektor- und Skalarfelder. Die Differentialoperatoren Rotation, Divergenz und Gradient werden anschaulich eingeführt, zentrale Aussagen über Vektorfelder bewiesen und Beweisideen für die Integralsätze von Gauß, Green und Stokes vorgestellt.

Dieter Riebesehl

Kapitel 3. Differentialformen

Zusammenfassung

Differentialformen erlauben es, die Vektoranalysis von zwei und drei Dimensionen auf beliebige Dimensionen zu erweitern. Die Übersetzung der Begriffe der Vektoranalysis in die Sprache der Differentialformen wird in diesem Kapitel schrittweise vorgenommen. Dies erlaubt eine elegante, einheitliche und verallgemeinerte Form der Integralsätze. Die zentralen Definitionen sind dabei koordinatenfrei, d.h. sie nehmen keinen Bezug auf Vektorkomponenten bzgl. einer Vektorraumbasis.

Dieter Riebesehl

Kapitel 4. Ausblick

Zusammenfassung

Der Nutzen der Differentialformen geht natürlich darüber hinaus, nur eine elegantere Formulierung der Vektoranalysis zu ermöglichen. Sie sind vielmehr unverzichtbar beim Studium differenzierbarer Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension. Darauf können wir zwar nicht eingehen, aber ein weiteres wichtiges Konzept und eine Anwendung in der Physik werden hier vorgestellt.

Dieter Riebesehl

Backmatter

Titel: Vektoranalysis und Differentialformen
verfasst von: Dieter Riebesehl
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
Electronic ISBN: 978-3-662-69664-4
Print ISBN: 978-3-662-69663-7
DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-69664-4