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Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 1

Tensoralgebra und Tensoranalysis. Darstellung mit Matrizen

  • 2025
  • Buch
Verfasst von
Wolfgang Werner
Verlag
Springer Fachmedien Wiesbaden
Enthalten in
Springer Professional "Wirtschaft+Technik"
Springer Professional "Technik"
Springer Professional "Wirtschaft"
insite
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Über dieses Buch

Die Tensorrechnung, die als Spezialfall die Vektorrechnung umfasst, ist zur Beschreibung physikalischer Zusammenhänge auf vielen Gebieten erforderlich.
Neuartig in diesem Buch ist die Verwendung von Matrizen für die Darstellung von ko- und kontravarianten Komponenten insbesondere beim Wechsel der Koordinatensysteme. Dargestellt werden Tensoralgebra und Tensoranalysis mit Christoffel-Symbolen und kovarianter Ableitung in krummlinigen Koordinaten sowie die für die physikalischen Anwendungen wichtigen Differentialoperationen und Integralsätze, die speziell in orthogonalen Koordinatensystemen ausführlich angegeben werden.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Grundlagen

Frontmatter
Kapitel 1. Einführung
Zusammenfassung
Die physikalische Beschreibung der Natur und der darin auftretenden Phänomene erfordert für konkrete, quantitative Aussagen die Mathematik und ihre Begriffsbildungen, wenn man über eine rein deskriptive oder qualitative Darstellung hinauskommen will. Diese Erkenntnis wurde bereits vor vierhundert Jahren von Galileo Galilei sinngemäß ausgesprochen, denn das „große Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik und Geometrie geschrieben“, (Il Saggiatore, 1623).
Wolfgang Werner
Kapitel 2. Verzeichnis der verwendeten Symbole
Zusammenfassung
Eine strenge Gedankenführung des behandelten Themas wird gestützt durch klare und eindeutige Schreibweise und Notation aller auftretenden Größen, die damit eine Hilfe beim Verständnis der Zusammenhänge begründet. Besondere Schreibweisen sind unter diesem Stichwort auch im Sachverzeichnis aufgeführt.
Wolfgang Werner
Kapitel 3. Grundlegende Beziehungen der Matrizenrechnung
Zusammenfassung
Die Zielsetzung dieses Kapitels ist eine knappe Zusammenstellung von wichtigen Beziehungen der Matrizenrechnung, die zur Einführung in Schreibweise und Eigenschaften dienen.
Viele Beziehungen sind häufig ohne Erläuterungen oder Beweise angegeben. Eine eingehende Darlegung der Matrizenrechnung mit Beweisführung findet man in den Büchern von Rudolf Zurmühl, [5], und in seiner Neuauflage von Falk, [6], sowie in [2], [3]. In der Formelsammlung, [4], sind die wichtigsten Beziehungen der Matrizenrechnung zusammengestellt.
Zunächst werden Matrizen mit Zahlen als Elemente betrachtet, wobei einige Operationen wie Vertauschen der Faktoren im Skalarprodukt und Transponierung von Matrizenprodukten häufig angewendet werden. Später werden Skalar- und Kreuzprodukte formaler Matrizen mit Vektorelementen behandelt, bei denen der formale Laufindex (#) bereits eingesetzt wird.
Wolfgang Werner
Kapitel 4. Physikalische Größen und Felder
Zusammenfassung
Das Kapitel ist der Bedeutung der physikalischen Größen und Felder in koordinatenfreier und -gebundener Form gewidmet und geht auf die Transformation der Komponenten ein.
Wolfgang Werner

Vektorrechnung

Frontmatter
Kapitel 5. Vektorbeziehungen
Zusammenfassung
Nach Darstellung der grundlegenden Vektoreigenschaften werden Mehrfachprodukte, Vektorzerlegung und Gram’sche Matrizen behandelt. Polare und axiale Vektoren werden unterschieden, wobei der axiale Vektor beim Kreuzprodukt unter zusätzlicher Festlegung der Rechtsschraubenregel entsteht. Beide Vektorarten werden in ihren Verknüpfungen und an Beispielen aus der Physik veranschaulicht.
Bei der Behandlung der Ableitung von Vektoren wird auf die Bewegung auf Bahnkurven, Relativbewegungen und auf die Grundgrößen von Raumkurven als Anwendungsbeispiele eingegangen.
Abschließend wird die Integration von Vektorfunktionen behandelt, die in jeder Koordinatenrichtung unter Einbeziehung krummliniger Einheitsvektoren durchgeführt werden muss.
Wolfgang Werner
Kapitel 6. Geradlinige Koordinatensysteme
Zusammenfassung
Als geradlinige Koordinatensysteme werden neben kartesischen Koordinaten als ständiges Referenzsystem reziproke Systeme mit ko- und kontravarianten Basisvektoren eingeführt, die ein wesentliches Kennzeichen der Tensorrechnung bedeuten. Bei ihrer Darstellung und zur Umrechnung bei Basiswechsel werden bereits ausführlich Matrizen verwendet.
Wolfgang Werner
Kapitel 7. Vektoren und ihre Komponenten
Zusammenfassung
Vektoren werden als physikalische Größen in koordinatenfreier Form beschrieben. Die koordinatengebundene Darstellung ihrer Komponenten in kartesischen und reziproken Koordinatensystemen und deren Umrechnung im gleichen Basissystem erfolgt durch die Beschreibung mit Matrizen. Die verschiedenen Produkte von Vektoren werden in Komponentenform angegeben.
Wolfgang Werner
Kapitel 8. Vektorkomponenten bei Basiswechsel
Zusammenfassung
Eine wichtige Aufgabe ist die Transformation der Vektorkomponenten beim Wechsel der Koordinatensysteme. Für kartesische und reziproke Komponenten werden die Transformationsgesetze dargestellt. Verschiedene Vektorabbildungen und Transformationen werden untersucht und in Beispielen dargestellt.
Wolfgang Werner

Tensoralgebra

Frontmatter
Kapitel 9. Tensorbegriff und Tensor 2. Stufe
Zusammenfassung
Der Begriff des Tensors als linearer Abbildungsoperator wird definiert. Der Tensor 2. Stufe beschreibt bei physikalischen Anwendungen die Abbildung eines Vektors in einen anderen.
Die Komponenten des Tensors werden in kartesischen und reziproken Systemen dargestellt und ihre Umrechnung in der gleichen Basis und bei Basiswechsel angegeben.
Wolfgang Werner
Kapitel 10. Tensoren und ihre Produkte
Zusammenfassung
Nach Verallgemeinerung und Klassifizierung von Tensoren beliebiger Stufe werden in der Tensoralgebra die Verjüngung und verschiedene Produktbildungen bei Tensoren behandelt.
Indexschreibweise, Summationskonvention und Matrixdarstellung werden gegenübergestellt und einer vergleichenden Bewertung unterzogen.
Wolfgang Werner
Kapitel 11. Spezielle Tensoren
Zusammenfassung
Als spezielle Tensoren werden symmetrischer und alternierender Tensor sowie Einheits- oder Metriktensor und Dyaden definiert und in ihren Eigenschaften untersucht.
Beim Tensor 3. Stufe hat der antisymmetrische ε -Tensor eine spezielle Bedeutung, mit dem das Kreuzprodukt algebraisch dargestellt werden kann. Abschließend wird der Kronecker-Tensor 6. Stufe behandelt.
Wolfgang Werner
Kapitel 12. Hauptachsentransformation symmetrischer Tensoren
Zusammenfassung
Die Hauptachsentransformation symmetrischer Tensoren stellt ein wichtiges Teilgebiet dar, das auch in linearer Algebra und Matrizenkalkül große Bedeutung hat. Behandelt werden das Eigenwertproblem zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren, die Spektralverschiebung sowie Invarianten und Potenzen der Tensormatrizen.
Untersucht werden quadratische Formen und die damit beschriebenen Tensorflächen. Bei Tensorellipsoiden läßt sich die Zuordnung der Vektoren durch die Poinsot’sche Konstruktion veranschaulichen.
Wolfgang Werner

Tensoranalysis

Frontmatter
Kapitel 13. Allgemeine Funktionssysteme
Zusammenfassung
Im Hinblick auf die Einführung krummliniger Koordinatensysteme werden Funktionssätze definiert und untersucht. Die dabei auftretenden Funktional- oder Jacobi-Matrizen enthalten als Elemente partielle Differentiale. Die Verwendung der Funktionalmatrizen bietet eine große Übersichtlichkeit, da man durch verschiedene Relationen die auftretenden Beziehungen auf nur eine einzige Basismatrix pro Koordinatensystem zurückführen kann.
Wolfgang Werner
Kapitel 14. Krummlinige Koordinatensysteme
Zusammenfassung
Bei vielen Problemen der Praxis sind kartesische oder geradlinige Koordinaten nicht an die Geometrie des Problems angepasst, so dass zunächst krummlinige Koordinaten untersucht werden, um technische Aufgabenstellungen in geeigneten Koordinatensystemen mit Hilfe der Tensoranalysis zu formulieren.
Mit den definierenden Funktionssätzen und ihren Funktionalmatrizen werden Ortsvektor, Wegelement und reziproke Basisvektoren sowie die Metrik des Raumes bestimmt und an Beispielen demonstriert.
Wolfgang Werner
Kapitel 15. Transformation der Komponenten
Zusammenfassung
Die Transformationen von Vektor- und Tensorkomponenten werden dargestellt, die in krummlinigen Koordinatensystemen ortsabhängig sind. Die Beziehungen entsprechen formal den Ergebnissen in geradlinigen Systemen.
Wolfgang Werner
Kapitel 16. Ableitung krummliniger Grundvektoren
Zusammenfassung
In krummlinigen Koordinatensystemen sind die Grund- oder Basisvektoren ortsabhängig. Ihre Ableitungen nach den verschiedenen Koordinatenrichtungen stellen ebenfalls Vektoren dar, bei deren Zerlegung die Christoffel-Symbole als Koeffizienten der verschiedenen Richtungen definiert und für verschiedene Koordinatensysteme angegeben werden.
Wolfgang Werner
Kapitel 17. Differentialoperationen
Zusammenfassung
In der physikalischen Realität sind besonders solche Größen von Interesse, die nicht konstant sind, sondern sich von Ort zu Ort oder auch mit der Zeit als stetige Funktionen verändern. Jedem Punkt des Raumes können für variable physikalische Größen Tensoren zugeordnet werden und je nach ihrer Stufe liegen dann orts- und ggf. zeitabhängige Skalar-, Vektor- oder allgemein Tensorfelder vor.
Gegenstand der Tensoranalysis ist die Untersuchung, wie sich Tensoren bzw. ihre Komponenten in Abhängigkeit von Koordinaten und Variablen ändern. Die verschiedenen Differentialoperationen der einzelnen Größen werden untersucht und am Ende des Kapitels tabellarisch zusammengefasst.
Das Helmholtz-Theorem sagt aus, dass jedes reguläre Vektorfeld als Summe eines Quellenfeldes und eines Wirbelfeldes dargestellt werden kann.
In allen physikalischen Feldern ist die Unterscheidung zwischen dem Quellpunkt Q als Ursache und Ausgangspunkt der Feldwirkungen und dem Aufpunkt P, in dem diese Wirkungen auftreten, notwendig. Der Abstandsvektor zwischen beiden Punkten sowie sein direkter und reziproker Betrag werden untersucht und eine Reihe von Differentialoperationen werden dargestellt.
Wolfgang Werner
Kapitel 18. Orthogonale Koordinatensysteme
Zusammenfassung
Orthogonale Koordinatensysteme stellen Sonderfälle von krummlinigen Systemen dar, die in der physikalischen und technischen Praxis eine überragende Bedeutung besitzen. Ihre besonderen Eigenschaften wie die Aufhebung von Ko- und Kontravarianz und die Darstellung der verschiedenen Differentialoperatoren werden ausführlich behandelt und für einige wichtige Koordinatensysteme tabellarisch angegeben.
Wolfgang Werner
Kapitel 19. Integralsätze und zeitabhängige Felder
Zusammenfassung
Zur Untersuchung, Berechnung und Beschreibung physikalischer Felder existiert eine Reihe von Integralsätzen (Gauss, Stokes, Green, Stratton), mit denen Aussagen über die Quellen und Wirbel von Feldern formuliert werden. Diese Sätze sowie die zeitliche Ableitung von Feldgrößen und Integralen werden im Hinblick auf ihr Auftreten in den physikalischen Anwendungen dargestellt.
Wolfgang Werner
Backmatter
Titel
Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 1
Verfasst von
Wolfgang Werner
Copyright-Jahr
2025
Electronic ISBN
978-3-658-49783-5
Print ISBN
978-3-658-49782-8
DOI
https://doi.org/10.1007/978-3-658-49783-5

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