Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2
Tensoren in Mathematik und Physik
- 2025
- Buch
- Verfasst von
- Wolfgang Werner
- Verlag
- Springer Fachmedien Wiesbaden
Über dieses Buch
Das Buch behandelt Fachgebiete, in denen Tensoren zur vollständigen Darstellung notwendig sind. Neben Differentialgeometrie sind das Mechanik, Elektrodynamik und Relativitätstheorie. Für einen umfassenden Überblick werden die wesentlichen Gleichungen der einzelnen Fachgebiete dargestellt und an grundlegenden Beispielen veranschaulicht.Die relativistische Betrachtungsweise mit Vierervektoren führt zu Ergebnissen der modernen Physik wie Äquivalenz von Masse und Energie, Energiequantisierung und Materiewellen.Da die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie vornehmlich an astronomischen Objekten bestätigt wurden, ist das letzte Kapitel der Astronomie und Kosmologie gewidmet.
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Inhaltsverzeichnis
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Frontmatter
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Kapitel 1. Einführung
Wolfgang WernerDieses Kapitel beleuchtet die fundamentale Rolle von Vektoren und Tensoren in der Physik und Mathematik. Es beginnt mit einer Einführung in die grundlegenden Konzepte und verfolgt deren Entwicklung durch die Geschichte der Physik. Der Text behandelt die Anwendung von Tensoren in verschiedenen physikalischen Fachgebieten, darunter Mechanik, Elektrodynamik und Relativitätstheorie. Besonders hervorgehoben werden die Tensoren der Mechanik, die Elektrodynamik auf der Grundlage der Maxwell'schen Gleichungen und die relativistische Dynamik. Der Autor betont die Bedeutung der Tensorrechnung für die Feldtheorie und die Allgemeine Relativitätstheorie. Durch die Verknüpfung von Theorie und Praxis bietet der Text einen tiefen Einblick in die universelle Sprache der Physik und Mathematik. Die historische Perspektive und die detaillierte Darstellung machen diesen Text zu einer wertvollen Ressource für Experten, die ihr Verständnis der Tensoren und ihrer Anwendungen vertiefen möchten.KI-Generiert
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ZusammenfassungDer zweite Band des Gesamtwerks, dem die gleichen Grundsätze wie dem ersten Band zugrunde liegen, ist den Anwendungen und dem Auftreten von Vektoren und Tensoren in Mathematik und Physik gewidmet. Dabei wird gleichzeitig ein Weg durch die Entwicklungsgeschichte der Physik verfolgt, auf dem die menschliche Erkenntnis ein immer größeres Verständnis der Zusammenhänge erreichte. Um dem Leser eine konsistente Darstellung zu bieten, wird bei jedem Einzelthema ein von den grundlegenden Gesetzen ausgehender, die wesentlichen Zusammenhänge und Gleichungen erörternder Überblick gegeben, der in harmonischer Weise die Tensoren umfasst. -
Kapitel 2. Flächentheorie und Krümmungstensor
Wolfgang WernerIn diesem Kapitel wird die Flächentheorie und der Krümmungstensor umfassend behandelt. Es beginnt mit einer Einführung in die Grundzüge der Flächentheorie, einschließlich der Parameterdarstellung von Flächen und der Gauß’schen Koordinaten. Anschließend wird die Bedeutung des Krümmungstensors in der Differentialgeometrie erläutert, insbesondere seine Rolle bei der Beschreibung gekrümmter Flächen und höherdimensionaler Räume. Der Text geht auch auf die Ableitungsformeln von Gauß und Weingarten ein, die für die Berechnung der Krümmungseigenschaften von Flächen entscheidend sind. Zudem werden die Integrabilitätsbedingungen und die Formeln von Mainardi-Codazzi diskutiert, die die Konsistenz der Flächentheorie sicherstellen. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der Bedeutung des Krümmungstensors für die Raumgeometrie und seine Verallgemeinerung auf höherdimensionale Räume. Abschließend wird die Parallelverschiebung von Vektoren im euklidischen und Riemann’schen Raum behandelt, was für das Verständnis der Differentialgeometrie von zentraler Bedeutung ist. Dieses Kapitel bietet eine fundierte und detaillierte Einführung in die Flächentheorie und den Krümmungstensor, die für Professionals in den Bereichen Mathematik, Physik und Ingenieurwissenschaften von großem Interesse sein wird.KI-Generiert
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ZusammenfassungDer Gegenstand dieses Kapitels ist mathematischer Natur und behandelt die von Carl Friedrich Gauss sowie von Gaspard Monge und der französischen Schule begründete, differentialgeometrische Darstellung der Flächentheorie, aus der die Tensorrechnung später hervorgegangen ist. Die Verallgemeinerung gekrümmter Flächen zu höherdimensionalen, sog. Riemann’schen Räumen, führt auf den Riemann’schen Krümmungstensor, der in Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie eine wichtige Rolle spielt. -
Kapitel 3. Trägheitstensor der Mechanik
Wolfgang WernerDas Kapitel beginnt mit einer Einführung in die Grundgesetze der Dynamik, die die Bewegung von Körpern unter dem Einfluss von Kräften beschreiben. Es wird das Newton'sche Bewegungsgesetz detailliert erläutert, das die Beziehung zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung beschreibt. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der Arbeit und Energie, wobei die Konzepte der kinetischen und potentiellen Energie sowie der Energiesatz behandelt werden. Konservative Felder und das Prinzip der Energieerhaltung werden ebenfalls diskutiert. Der Drehimpuls und das Drehmoment werden eingeführt, um die Rotation starrer Körper zu beschreiben. Der Trägheitstensor wird als zentrales Konzept eingeführt, um die Trägheit eines starren Körpers bei Rotation zu quantifizieren. Es wird gezeigt, wie der Trägheitstensor verwendet wird, um die kinetische Energie und den Drehimpuls eines rotierenden Körpers zu berechnen. Der Satz von Steiner wird hergeleitet, der es ermöglicht, das Trägheitsmoment eines Körpers bezüglich einer beliebigen Achse zu berechnen. Das Kapitel schließt mit Beispielen für Trägheitstensoren verschiedener geometrischer Körper, wie Kugeln, Kreisscheiben und Quader, und diskutiert die Berechnung von Trägheitsmomenten und die Integrationstechniken, die dabei verwendet werden. Das Kapitel bietet eine umfassende Einführung in die Grundlagen der Dynamik und die Anwendung des Trägheitstensors, die für Professionals in den Bereichen Maschinenbau, Luft- und Raumfahrt und Automobilindustrie von großer Bedeutung sind.KI-Generiert
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ZusammenfassungAusgehend vom Newton’schen Bewegungsgesetz werden die mechanischen Grundbegriffe, die Bewegung starrer Körper und der Trägheitstensor behandelt und an Hand konkreter Beispiele verdeutlicht. -
Kapitel 4. Spannungs- und Deformationstensoren der Mechanik
Wolfgang WernerIn diesem Kapitel werden die grundlegenden Konzepte der Spannungs- und Deformationstensoren in der Mechanik behandelt. Es wird erklärt, wie Kräfte in Körpern Spannungen und Verformungen hervorrufen und wie diese durch Tensoren beschrieben werden können. Der Text beginnt mit einer Einführung in deformierbare Körper und deren Verhalten unter Belastung, gefolgt von einer detaillierten Erklärung des Spannungszustands und des Spannungstensors. Es werden die verschiedenen Arten von Spannungen, wie Normalspannungen und Schubspannungen, sowie deren Berechnung und Darstellung in Tensorform behandelt. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der Verformung von Körpern, wobei Dehnungen, Stauchungen und Gleitungen sowie deren Beschreibung durch den Verzerrungstensor und den Deformationstensor erläutert werden. Der Text schließt mit Beispielen und Ergänzungen, die die theoretischen Konzepte in praktischen Anwendungen veranschaulichen. Durch die klare und systematische Darstellung der mathematischen Grundlagen und die numerous Beispiele wird den Lesern ein umfassendes Verständnis der Spannungs- und Deformationstensoren vermittelt, das ihnen ermöglicht, die komplexen Zusammenhänge in der Mechanik besser zu verstehen und anzuwenden.KI-Generiert
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ZusammenfassungDer Einfluss von Kräften ruft in Körpern einen Spannungszustand hervor und führt zu Verformungen, die durch mehrere Tensoren beschrieben werden. Verschiedene Beispiele veranschaulichen die Zusammenhänge. -
Kapitel 5. Grundgleichungen der Elektrodynamik
Wolfgang WernerDieses Kapitel behandelt die Grundgleichungen der Elektrodynamik, die von den Maxwell’schen Gleichungen ausgehen und die fundamentalen Zusammenhänge zwischen elektrischen und magnetischen Feldern beschreiben. Es wird die Bedeutung dieser Gleichungen für die Beschreibung elektromagnetischer Wellen und deren Ausbreitung erläutert. Ein zentraler Aspekt ist die Untersuchung der Maxwell’schen Spannungstensoren, die durch Hauptachsentransformation diagonalisiert werden. Der Text geht auch auf die Kräfte, Felder und Energie im elektromagnetischen Feld ein, einschließlich der Lorentz-Kraft und der Poynting-Vektor. Zudem werden die Impulse und Erhaltungssätze des elektromagnetischen Feldes behandelt, die die zeitliche Änderung von Ladung, Energie, Impuls und Drehimpuls beschreiben. Abschließend wird die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in verschiedenen Medien, wie Kupfergestützte Systeme, Funksysteme und Glasfasersysteme, sowie deren Anwendungen in modernen Technologien wie Mobilfunk und Satellitenkommunikation diskutiert. Dieses Kapitel bietet einen umfassenden Überblick über die theoretischen Grundlagen und praktischen Anwendungen der Elektrodynamik.KI-Generiert
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ZusammenfassungDie Elektrodynamik geht aus von den Maxwell’schen Gleichungen, untersucht Energie- und Kraftbeziehungen sowie die Maxwell’schen Spannungstensoren, die durch Hauptachsentransformation diagonalisiert werden.Einen Kernpunkt der Maxwell’schen Theorie bilden elektromagnetische Wellen und ihre Ausbreitungsgrößen.Mit Hilfe der elektrodynamischen Potentiale, aus denen man die Feldvektoren durch Differentiation gewinnt, werden die Feldgleichungen im stationären Fall der Potentialtheorie mit verschiedenen Methoden sowie im instationären Fall mit Hilfe retardierter Potentiale gelöst. -
Kapitel 6. Anisotrope Kristalle, Ferrite und Kernspin
Wolfgang WernerDer Fachbeitrag beleuchtet die anisotropen Eigenschaften von Kristallen und Ferriten, die durch Tensoren beschrieben werden. Ein zentraler Fokus liegt auf der Kristalloptik, insbesondere der Doppelbrechung, die durch die richtungsabhängigen Brechzahlen erklärt wird. Der Text geht detailliert auf die Tensoren ein, die die anisotropen Eigenschaften mathematisch erfassen, und zeigt, wie diese in der Praxis angewendet werden. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf den magnetischen Eigenschaften von Ferriten, insbesondere dem Ferromagnetismus. Der Beitrag erklärt die Entstehung von magnetischen Domänen und die Hysterese, die für die technische Anwendung von Ferriten entscheidend ist. Abschließend werden die technischen Anwendungen von Ferriten in der Elektronik und Optik diskutiert, wobei besonders auf die Verwendung in Transformatoren und Speichermedien eingegangen wird. Der Text bietet eine umfassende Übersicht über die physikalischen Grundlagen und praktischen Anwendungen von anisotropen Kristallen und Ferriten.KI-Generiert
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ZusammenfassungBei Kristallen und Ferriten werden die anisotropen Eigenschaften untersucht, bei denen der Zusammenhang der Vektorgrößen durch Tensoren vermittelt wird. Auf der Grundlage von Kristalleigenschaften und der Überlagerung von Wellen mit Interferenz und Polarisation werden Kristalloptik und Doppelbrechung behandelt.Auf der Basis der magnetischen Eigenschaften und des Elektronenspins wird der Ferromagnetismus und die Wellenausbreitung in vormagnetisierten Ferriten erörtert, die zur Faraday-Drehung und den nichtreziproken Eigenschaften dieser Bauelemente führen.Der Spin von Atomkernen wird in äquivalenter, semiklassischer Form beschrieben wie der Elektronenspin. Als Anwendung werden Kernspin-Spektroskopie und Magnetresonanztomographie dargestellt. -
Kapitel 7. Spezielle Relativitätstheorie
Wolfgang WernerDie spezielle Relativitätstheorie, entwickelt von Albert Einstein, revolutionierte das Verständnis von Raum und Zeit. Sie führt zu grundlegenden Revisionen der klassischen Physik, insbesondere durch die Einführung der Lorentz-Transformation und die Relativierung der Gleichzeitigkeit. Der Fachbeitrag behandelt die Bedeutung von Inertialsystemen und ihre Rolle in der Relativitätstheorie. Es wird erklärt, wie die Lorentz-Transformation die Koordinaten zwischen verschiedenen Inertialsystemen umrechnet und wie diese Transformation die Phänomene der Längenkontraktion und Zeitdilatation erklärt. Minkowski-Diagramme werden verwendet, um diese Konzepte visuell darzustellen und die räumlichen und zeitlichen Beziehungen in der Raumzeit zu veranschaulichen. Der Beitrag schließt mit einer Diskussion der Konsequenzen der Einstein'schen Postulate, einschließlich der Zeitdilatation und Längenkontraktion, und zeigt, wie diese Phänomene in der Praxis beobachtet und gemessen werden können. Die detaillierte Erklärung der mathematischen Grundlagen und die Veranschaulichung durch Diagramme machen diesen Text besonders wertvoll für Leser, die ein tieferes Verständnis der speziellen Relativitätstheorie erlangen möchten.KI-Generiert
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ZusammenfassungDer unvoreingenommenen Betrachtungsweise und Genialität von Albert Einstein verdanken wir die Spezielle Relativitätstheorie, wodurch eine tiefgreifende Revision des Verständnisses von Raum und Zeit erfolgte. Seine kritische Beurteilung des Begriffs der Gleichzeitigkeit führte zur Aufgabe der von Newton eingeführten absoluten Zeit und zur Gültigkeit der physikalisch begründeten Lorentz-Transformation beim Wechsel zwischen Inertialsystemen. Hermann Minkowski führte die vierdimensionale Raumzeit und Vierervektoren ein. In Minkowski-Diagrammen werden raumzeitliche Ereignisse auf Weltlinien veranschaulicht, anhand derer die Phänomene von Längenkontraktion und Zeitdilatation erörtert werden. -
Kapitel 8. Vierergrößen und relativistische Kinematik
Wolfgang WernerIn diesem Kapitel werden die Eigenschaften von Vierergrößen, insbesondere Vierervektoren und Tensoren, in der Raumzeit untersucht. Es wird gezeigt, wie diese Größen in der relativistischen Kinematik verwendet werden und welche Rolle sie in der Astronomie spielen. Ein zentrales Thema ist die Aberration, ein Phänomen, das durch die Relativbewegung von Beobachtern und Lichtquellen verursacht wird. Die Aberration wird mathematisch hergeleitet und ihre Bedeutung für die Astronomie wird erläutert. Das Kapitel bietet eine detaillierte Analyse der Vierergrößen und ihrer Transformationseigenschaften, sowie eine umfassende Diskussion der Aberration und ihrer Auswirkungen auf die Beobachtung von Sternpositionen. Durch die Anwendung der relativistischen Kinematik auf reale astronomische Phänomene wird ein tieferes Verständnis der zugrunde liegenden physikalischen Prinzipien vermittelt. Die detaillierte Herleitung und Erklärung der mathematischen Konzepte macht dieses Kapitel zu einer wertvollen Ressource für Fachleute, die sich mit den Grundlagen und Anwendungen der relativistischen Kinematik auseinandersetzen möchten.KI-Generiert
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ZusammenfassungNach allgemeinen Eigenschaften von Vierergrößen werden die Vierervektoren von Ortsvektor, Geschwindigkeit und Beschleunigung dargestellt und untersucht. Als wichtiges Anwendungsbeispiel speziell im astronomischen Bereich wird die Aberration behandelt. -
Kapitel 9. Relativistische Elektrodynamik
Wolfgang WernerIn diesem Kapitel wird die relativistische Elektrodynamik behandelt, wobei die Maxwell'schen Gleichungen in einer vereinheitlichten Form dargestellt werden. Die Zusammenfassung der Feldgrößen in einem Feldtensor ermöglicht eine kovariante Formulierung des elektromagnetischen Feldes, die die Lorentz-Transformation erfüllt. Der Text behandelt die Vierervektoren und Tensoren der Elektrodynamik sowie deren Anwendung auf praktische Beispiele wie den Doppler-Effekt und die Synchrotronstrahlung. Die Liénard-Wiechert-Potentiale und die Berechnung der Feldgrößen werden detailliert erklärt, und die Strahlungsleistung im Fernfeld wird analysiert. Die Richtcharakteristik der Strahlung wird für verschiedene Fälle der Ladungsbewegung untersucht, und die Tensoren der Elektrodynamik werden in ihrer vollen Komplexität dargestellt. Das Kapitel schließt mit einer Diskussion der Lorentz-Invarianz der Maxwell'schen Gleichungen und der Bedeutung der kovarianten Formulierung für die moderne Physik.KI-Generiert
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ZusammenfassungDie Maxwell’schen Gleichungen können durch geeignete Zusammenfassung zu Vierervektoren und Tensoren in einer eleganten, vereinheitlichten Form ausgedrückt werden.Unter dem Gesichtspunkt der Vierergrößen werden ebene Wellen dargestellt und als wichtige Anwendung wird der Doppler-Effekt im astronomischen Bereich behandelt.Durch Darstellung von Quellengrößen, Potentialen und Feldgrößen als Vierervektoren erhält man beim Vergleich von gegeneinander gleichförmig bewegten Inertialsystemen tiefere Einblicke und größeres Verständnis für das Zusammenwirken von elektrischen und magnetischen Feldern sowie der gesamten elektromagnetischen Erscheinungen. Dabei zeigt sich, dass die Maxwell’schen Gleichungen die Lorentz-Transformation von sich aus erfüllen, wodurch sie eine kovariante Formulierung des elektromagnetischen Feldes darstellen.Die vereinheitlichte Darstellung des elektromagnetischen Feldes ist dadurch möglich, dass man die Feldgrößen in einem Feldtensor zusammenfasst und die Maxwell’schen Gleichungen in allgemeinerer Form durch Divergenzbeziehungen ausdrückt. -
Kapitel 10. Relativistische Dynamik
Wolfgang WernerIn diesem Kapitel wird die Verallgemeinerung der fundamentalen physikalischen Begriffe von Kraftdichte, Impuls, Energie, Masse und Kraft zu Vierergrößen der Raumzeit behandelt. Der Energie-Impuls-Tensor wird eingeführt, um die Kraftwirkungen im elektromagnetischen Feld darzustellen. Aus den Verknüpfungen dieser Vierergrößen resultieren grundlegende Beziehungen und Erkenntnisse der modernen Physik, darunter die Äquivalenz von Masse und Energie, das Gesetz der Energiequantisierung, der Welle-Teilchen-Dualismus und die Materiewellen. Der Text erklärt die Bedeutung dieser Konzepte und ihre Anwendung in der modernen Physik. Zudem wird die Lorentz-Transformation der Minkowski-Kraft und ihre Bedeutung für die relativistische Dynamik diskutiert. Das Kapitel bietet einen detaillierten Überblick über diese Themen und vermittelt ein tiefes Verständnis der zugrunde liegenden physikalischen Prinzipien.KI-Generiert
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ZusammenfassungDie fundamentalen physikalischen Begriffe von Kraftdichte, Impuls, Energie, Masse und Kraft werden zu Vierergrößen der Raumzeit verallgemeinert und der Energie-Impuls-Tensor wird zur Darstellung der Kraftwirkungen im elektromagnetischen Feld eingeführt.Aus den Verknüpfungen der Vierergrößen resultiert eine Reihe grundlegender Beziehungen und Erkenntnisse der modernen Physik wie die von Einstein gefundene Äquivalenz von Masse und Energie, das Gesetz der Energiequantisierung, der Welle-Teilchen-Dualismus und die Materiewellen. Mit Hilfe der Energiebeziehung und dem Energie-Impuls-Diagramm lassen sich wichtige atomareWechselwirkungen veranschaulichen. Die Minkowski-Kraft als Vierervektor der Kraft kann mit dem elektromagnetischen Feldtensor verknüpft werden. -
Kapitel 11. Gravitation und Allgemeine Relativitätstheorie
Wolfgang WernerDas Kapitel behandelt die Gravitation und die Allgemeine Relativitätstheorie, beginnend mit Newtons Gravitationsgesetz und den grundlegenden Konzepten der Massenanziehung. Es wird die historische Entwicklung von Einsteins Theorie bis zu den modernen Bestätigungen durch Experimente und Beobachtungen wie Gravitationswellen und Satellitennavigation beschrieben. Der Text erklärt die mathematischen Grundlagen, einschließlich der Feldgleichungen und der Rolle der Raumzeitkrümmung. Besonders hervorgehoben werden die klassischen Tests der Theorie, wie die Periheldrehung des Merkur, die Lichtablenkung im Gravitationsfeld und die Rotverschiebung im Gravitationsfeld. Moderne Bestätigungen wie Quasare, Pulsare, Gravitationslinsen und die Entdeckung von Gravitationswellen werden detailliert behandelt. Das Kapitel schließt mit der Bedeutung der Allgemeinen Relativitätstheorie für die Satellitennavigation und die zukünftigen Forschungsperspektiven in der Gravitationswellenastronomie. Der Text bietet einen umfassenden Überblick über die Theorie und ihre Anwendungen, der sowohl für Forscher als auch für Praktiker von Interesse ist.KI-Generiert
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ZusammenfassungAusgehend von Newtons Gravitationsgesetz und der profunden Kenntnis der Maxwell’schen Theorie gelangte Einstein nach grundsätzlichen Überlegungen zum Massenbegriff und zu Schwerkraft und Beschleunigung zu einem neuen Verständnis und einer umfassenden Konzeption von Raum und Zeit. Dazu entwickelte er eine Theorie der Gravitation auf der Grundlage seines Äquivalenzprinzips.Vor der Entwicklung der Feldgleichungen, zu deren mathematischer Beschreibung Differentialgeometrie und Tensorrechnung unverzichtbar sind, werden zunächst die klassischen sowie die modernen Tests, Experimente und Forschungen zur Bestätigung der Theorie erörtert, die zu einem großen Teil durch Erkenntnisse der Astronomie geliefert wurden.Einstein musste bei seinen Berechnungen anstelle der euklidischen die Riemann’sche Geometrie verwenden, um die tensoriellen Feldgleichungen der Relativitätstheorie zu formulieren. Eine frühe, kugelsymmetrische Lösung dieser Gleichungen wurde von Karl Schwarzschild angegeben, mit der die bis dahin unerklärbare Abweichung bei der Periheldrehung der Merkurbahn berechnet werden konnte. -
Kapitel 12. Astronomie und Kosmologie
Wolfgang WernerDer Fachbeitrag bietet einen umfassenden Überblick über die historische Entwicklung der Astronomie und Kosmologie, von den antiken Weltbildern bis zu den modernen Theorien. Es werden zentrale Konzepte wie die Relativitätstheorie, Dunkle Materie und Dunkle Energie sowie die Expansion des Universums behandelt. Der Text beleuchtet die historischen Entwicklungen und die aktuellen Forschungsthemen der Kosmologie. Besonders hervorgehoben werden die bahnbrechenden Entdeckungen und Theorien, die das Verständnis des Universums revolutioniert haben. Der Beitrag gibt einen detaillierten Einblick in die historischen und modernen Aspekte der Astronomie und Kosmologie, was ihn zu einer wertvollen Ressource für Professionals in diesen Bereichen macht.KI-Generiert
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ZusammenfassungDa die Newton’sche Himmelsmechanik sowie Aberration und Doppler-Effekt und besonders die Allgemeine Relativitätstheorie seit den Tagen ihrer Veröffentlichung die Bereiche von Astronomie und Astrophysik berühren und wesentliche Aussagen darüber machen, werden in einem Überblick astronomische und kosmologische Erkenntnisse im historischen Ablauf dargestellt. Dabei werden wichtige Fragestellungen über Entstehung und Entwicklung des Universums erörtert, die Gegenstand von historischer sowie aktueller Forschung und intensiver wissenschaftlicher Diskussion sind.Eine Vielzahl von terrestrischen und Weltraumprojekten hat erst in jüngerer Zeit der letzten drei Jahrzehnte überraschende oder sogar spektakuläre, aber bisher auch unverstandene Ergebnisse erbracht. Obwohl viele wichtige und interessante Fragen beantwortet wurden, haben sich auch neue Rätsel bei Ausdehnung und Entwicklung des Weltalls ergeben, wobei Dunkle Materie und Dunkle Energie noch unbekannte Phänomene darstellen, die einer erhofften, künftigen Erklärung harren. -
Backmatter
- Titel
- Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik 2
- Verfasst von
-
Wolfgang Werner
- Copyright-Jahr
- 2025
- Electronic ISBN
- 978-3-658-49785-9
- Print ISBN
- 978-3-658-49784-2
- DOI
- https://doi.org/10.1007/978-3-658-49785-9
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