Vektorräume, lineare Abbildungen, Matrizen

Im ersten Kapitel hatten wir die euklidischen Vektorräume ℝ2 und ℝ3 betrachtet. Zahlreiche Probleme in den Natur- und Ingenieurwissenschaften erfordern jedoch zu ihrer Behandlung einen allgemeineren Vektorbegriff. Schon bei der Lösung linearer Gleichungssysteme $$ \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{{11}}}{x_1} + {a_{{12}}}{x_2} + \ldots + {a_{{1p}}}{x_p} = {Y_1}} \\ {{a_{{21}}}{x_1} + {a_{{22}}}{x_2} + \ldots + {a_{{2p}}}{x_p} = {y_2}} \\ {.............................................} \\ {{a_{{p1}}}{x_1} + {a_{{p2}}}{x_2} + \ldots + {a_{{pp}}}{x_p} = {y_p}} \\ \end{array} $$ ist es zweckmäßig, die gegebenen rechten Seiten y₁,..., y_p zu einem Vektor $$ y = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{y_1}} \\ \vdots \\ {{y_p}} \\ \end{array} } \right) $$ und ebenso die gesuchten Lösungen zu einem Vektor $$ x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ \vdots \\ {{x_p}} \\ \end{array} } \right) $$ zusammenzufassen, und mit diesen Vektoren auf analoge Weise zu rechnen, wie wir es im ersten Kapitel getan haben. Gleichungssysteme mit einer großen Zahl von Gleichungen und Unbekannten (p ≥ 100) treten z.B. bei der Berechnung großer statischer Systeme, elektrischer Netzwerke, bei der numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen (vgl. Bd. „Partielle Differentialgleichungen“) und an vielen anderen Stellen auf. Mitunter sind auch Gleichungssysteme in komplexen Zahlen zu lösen. Wir wollen jetzt den Vektorraumbegriff so verallgemeinern, daß er alle diese Fälle umfaßt.