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Erschienen in:
2021 | OriginalPaper | Buchkapitel
Verfahren der konjugierten Gradienten und GMRES-Verfahren
verfasst von : Robert Plato
Erschienen in: Numerische Mathematik kompakt
Verlag: Springer Berlin Heidelberg
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In diesem Kapitel wird zunächst das Verfahren der konjugierten Gradienten, kurz CG-Verfahren, zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix vorgestellt. Bei diesem Verfahren wird in jedem Schritt der Fehler bzw. die Energienorm über einen vom Iterationsschritt abhängigen Krylovraum minimiert, was sich tatsächlich auch iterativ realisieren lässt. Ein weiteres Thema ist die Konvergenzgeschwindigkeit, über die mithilfe von Tschebyscheff-Polynomen der ersten Art Aussagen getroffen werden können. Dabei ergibt sich eine höhere Konvergenzgeschwindigkeit als bei den im vorherigen Kapitel vorgestellten stationären Iterationsverfahren. Am Ende des Kapitels wird auf das GMRES-Verfahren eingegangen, das eine Verallgemeinerung des CG-Verfahrens auf nichtsymmetrische Probleme darstellt und mit Hilfe des Arnoldi-Prozesses realisiert werden kann.