14. Verfahren höherer Ordnung

Wir betrachten in diesem Kapitel nochmals die Finite-Differenzen-Diskretisierung von parabolischen Differentialgleichungen. In den vorherigen Kapiteln haben wir eine Diskretisierung implementiert, welche (maximal) quadratisch in der Maschenweite und dem Zeitschritt gegen die exakte Lösung der Differentialgleichung konvergiert. Wir implementieren nun eine Finite-Differenzen-Diskretisierung vierter Ordnung. Damit wir von der höheren Ordnung profitieren können, müssen wir gegenüber dem Verfahren zweiter Ordnung zwei Anpassungen vornehmen. Erstens führen die typischerweise unglatten Payoff dazu, dass ein Finite-Differenzen-Verfahren vierter Ordnung nur mit reduzierter Rate konvergiert; um die volle Konvergenzrate zu erhalten, verdichten wir das Gitter um den Strike herum. Damit zweitens das theta-Verfahren mit der Ordnung der Ortsdiskretisierung mithalten kann, muss die Anzahl der Zeitschritte quadratisch mit der Anzahl der Gitterpunkte wachsen; dies führt auf ein ineffizientes Verfahren. Wir entwickeln daher ein Zeitschrittverfahren vierter Ordnung, welches auf einer sogenannten Padé-Approximation der e-Funktion basiert. Als Anwendung des resultierenden Verfahrens bewerten wir unter anderem Europäische und Bermuda Optionen im Heston Modell und berechnen den Volatilitäts-Smile im SABR Modell.