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Über dieses Buch

In diesem verständnisfördernden Arbeitsbuch finden Sie mehr als 180 thematisch geordnete Multiple-Choice-Aufgaben zu den zentralen Begriffen und Sätzen der ein- und mehrdimensionalen Analysis. Zu jeder Frage sind vier Antwortmöglichkeiten vorgegeben, von denen genau eine richtig ist. Die gesamte zweite Hälfte des Buchs besteht aus kommentierten Lösungen der Aufgaben.

Studierende lernen anhand dieser Aufgaben verschiedene Facetten der Begriffe und Sätze kennen, entwickeln Vorstellungen dazu, werden sicher in der Verwendung und sind vor eventuellen Fallstricken gewarnt. Das Sammeln, Abwägen und Kombinieren von Argumenten für oder gegen die einzelnen Antwortmöglichkeiten sorgt für eine intensive Auseinandersetzung mit den Inhalten und Zusammenhängen. Die ausführlichen Lösungshinweise und Kommentare erlauben es, die Fragen eigenständig zu bearbeiten: Wo möglich und sinnvoll, werden zunächst die falschen Antwortmöglichkeiten erläutert, so dass man sich – sogar nach einem falschen ersten Tipp – Stück für Stück an die richtige Lösung herantasten kann.

Lehrende können die Fragen gezielt in Vorlesungen, Übungsgruppen oder Tutorien einsetzen, um ihre Studierenden zu aktivieren und fruchtbare Diskussionen anzuregen. Die online verfügbaren Präsentationsfolien erleichtern die Verwendung.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

Aufgaben zur Analysis 1

Frontmatter

Kapitel 1. Mengen, Funktionen, Gleichungen und Ungleichungen

Übersetzen zwischen logischen Formeln und natürlicher Sprache, Ungleichungen zwischen reellen Zahlen, Betrag einer reellen Zahl, Umgang mit einfachen Gleichungen, Mengen und Mengeninklusionen.

Thomas Bauer

Kapitel 2. Supremum und Infimum, Vollständigkeit

Maximum und Minimum sowie Supremum und Infimum von Mengen reeller Zahlen, Intervallschachtelungen und Vollständigkeit.

Thomas Bauer

Kapitel 3. Folgen und Konvergenz

Konvergenz von Folgen, Nullfolgen, Umgebungen, Rechnen mit Grenzwerten, Teilfolgen, Häufungswerte, Cauchy-Folgen.

Thomas Bauer

Kapitel 4. Reihen

Konvergenz von Reihen, geometrische Reihe, Konvergenzkriterien für Reihen, absolute Konvergenz, Umordnung von Reihen, Dezimalbrüche.

Thomas Bauer

Kapitel 5. Komplexe Zahlen und elementare Funktionen

Umgebungen in ℂ, Sinus- und Kosinusfunktion, Exponentialfunktion.

Thomas Bauer

Kapitel 6. Grenzwerte und Stetigkeit

Stetige Funktionen, εδ-Kriterium, Grenzwerte.

Thomas Bauer

Kapitel 7. Sätze über stetige Funktionen

Zwischenwertsatz, Satz von Maximum und Minimum, Bilder von Intervallen unter stetigen Funktionen.

Thomas Bauer

Kapitel 8. Differenzierbarkeit und Mittelwertsatz

Differenzierbare Funktionen, Bedeutung des Mittelwertsatzes, Kriterien für Monotonie von Funktionen.

Thomas Bauer

Kapitel 9. Extrema und Satz von l’Hospital

Ableitungskriterien für lokale Extrema, Verwendung der Regel von l’Hospital.

Thomas Bauer

Kapitel 10. Funktionenfolgen und Supremumsnorm

Supremumsnorm beschränkter Funktionen, punktweise und gleichmäßige Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Grenzfunktion, Konvergenz von Funktionenreihen, Potenzreihen.

Thomas Bauer

Kapitel 11. Der Satz von Taylor

Satz von Taylor, Kriterien für Extrema mittels höherer Ableitungen.

Thomas Bauer

Kapitel 12. Integrierbarkeit, Riemann-Summen, Obersummen und Untersummen

Charakterisierung der Integrierbarkeit mittels Riemann-Summen und mittels Ober- und Untersummen, Bezüge zwischen den Eigenschaften Integrierbarkeit, Stetigkeit, Monotonie, Beschränktheit.

Thomas Bauer

Kapitel 13. Eigenschaften des Integrals

Riemann-Integral, Bezug zu Flächeninhalten, Umgang mit Integrierbarkeit bei Produkten, Deutung von Grenzwerten als Integrale.

Thomas Bauer

Kapitel 14. Stammfunktionen und Integralfunktionen, Hauptsatz

Menge aller Stammfunktionen zu einer Funktion, Integralberechnung mit Stammfunktionen, Verwendung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Thomas Bauer

Kapitel 15. Uneigentliche Integrale

Existenz und Berechnung uneigentlicher Riemann-Integrale, Bezug zur Beschränktheit von Funktionen.

Thomas Bauer

Aufgaben zur Analysis 2

Frontmatter

Kapitel 16. Metrische Räume

Metriken und metrische Räume, Vergleich von Metriken, offene Mengen, abgeschlossene Mengen, Umgebungen von Punkten, Inneres und Rand einer Menge.

Thomas Bauer

Kapitel 17. Grenzwerte und Stetigkeit

Konvergenz von Folgen in ℝn, stetige Funktionen, Bezug zu offenen und abgeschlossenen Mengen.

Thomas Bauer

Kapitel 18. Die diskrete Metrik

ε-Umgebungen, offene Mengen, abgeschlossene Mengen, Konvergenz von Folgen bezüglich der diskreten Metrik.

Thomas Bauer

Kapitel 19. Vollständigkeit

vollständige metrische Räume, Cauchy-Folgen in ℚ.

Thomas Bauer

Kapitel 20. Kontraktionen

Kontraktionen (kontrahierende Abbildungen), Fixpunkte von Abbildungen.

Thomas Bauer

Kapitel 21. Kompaktheit

die Überdeckungsdefinition von Kompaktheit, Vereinigung kompakter Mengen, stetige Funktionen auf kompakten Mengen.

Thomas Bauer

Kapitel 22. Parametrisierte Kurven

der Rektifizierbarkeitsbegriff, Bogenlänge von Kurven, verschiedene Parametrisierungen derselben Kurve.

Thomas Bauer

Kapitel 23. Partielle und totale Differenzierbarkeit

partielle Ableitungen, Gradient, Jacobi-Matrix, Bedeutung der totalen Differenzierbarkeit, Satz von Schwarz.

Thomas Bauer

Kapitel 24. Kettenregel, Richtungsableitungen, Niveaumengen

Jacobi-Matrix von Verkettungen von Abbildungen, Definition und Berechnung von Richtungsableitungen, Lage der Niveaumengen einer Abbildung.

Thomas Bauer

Kapitel 25. Diffeomorphismen und Umkehrsatz

Diffeomorphismen: definierende Bedingungen, Bijektivität, Umkehrbarkeit, Verkettung; Umkehrsatz und lokale Diffeomorphismen.

Thomas Bauer

Kapitel 26. Der Satz über implizite Funktionen

differenzierbare Auflösbarkeit einer Gleichung nach einer Variablen.

Thomas Bauer

Kapitel 27. Extremwerte von Funktionen

Gradient und Tangentialebene, Kriterien f¨ur Extrema mit Gradient und Hesse-Matrix.

Thomas Bauer

Kapitel 28. Extrema unter Nebenbedingungen, Untermannigfaltigkeiten

Untermannigfaltigkeiten des ℝn, Begradigung, Bestimmen von Extrema unter Nebenbedingungen.

Thomas Bauer

Kapitel 29. Der Satz von Taylor

Taylor-Polynome in mehreren Veränderlichen, höhere Ableitungen, Approximationseigenschaften der Taylor-Polynome.

Thomas Bauer

Kapitel 30. Zusammenhängende Mengen

zusammenhängende und bogenzusammenhängende Mengen, Bildmengen stetiger Abbildungen, partiell differenzierbare Funktionen auf zusammenh ängenden und auf unzusammenhängenden Mengen, lokal-konstante Funktionen, Zusammenhangskomponenten.

Thomas Bauer

Kapitel 31. Jordan-messbare Mengen, mehrdimensionales Integral

Jordan-messbare Teilmengen des ℝn, Jordan-Volumen, mehrdimensionale Integrierbarkeit, Satz von Fubini.

Thomas Bauer

Kapitel 32. Differentialgleichungen

Lösungen von Differentialgleichungen, Satz von Picard-Lindelöf, Typen von Differentialgleichungen, Differentialgleichungssysteme.

Thomas Bauer

Kapitel 33. Kommentierte Lösungen

Die Formulierung „ist höchstens so groß wie“ bedeutet „ist kleiner oder gleich“.

Thomas Bauer

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