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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

0. Einleitung

Zusammenfassung
Es wird der Standpunkt der mathematischen Statistik innerhalb des weiten Gebietes der Statistik angegeben und mit einigen Beispielen illustriert.
Helmut Pruscha

I. Grundlegende Verfahren

Zusammenfassung
In diesem Kapitel werden einige elementare statistische Verfahren behandelt. Der präsentierte Stoff stellt einerseits eine Brücke zur anwendungsbezogenen Statistik dar und enthält einen Grundstock an Praxis-relevanten Methoden. Andererseits fungiert er auch als ein Beispielskatalog für spätere, mehr theoretische Abhandlungen und dient so der Heuristik zu den folgenden Kapiteln.
Helmut Pruscha

II. Grundlegende Konzepte

Zusammenfassung
In diesem Kapitel beginnen wir mit einer Darstellung der Konzepte der mathematischen Statistik. Zunächst studieren wir Verteilungsannahmen, insbesondere die Annahme einer Verteilung aus einer Exponentialfamilie. Bei einer solchen Verteilung ist das Auffinden einer suffizienten Statistik, das heißt einer Funktion, welche die Stichprobe ohne Informationsverlust komprimiert, besonders einfach. Der Begriff der Suffizienz wird ergänzt durch den der Vollständigkeit. Zusammen ermöglichen sie uns -in den Kapiteln V und VI- das Auffinden optimaler Schätzund Testfunktionen.
Helmut Pruscha

III. Lineares Modell

Zusammenfassung
Das lineare Modell der Statistik bildet die theoretische Grundlage der beiden wohl populärsten statistischen Verfahren, nämlich der Varianz- und Regressionsanalyse. Wir werden in diesem Kapitel die wichtigsten Sätze zur Schätz- und Testtheorie im linearen Modell beweisen. Im zweiten Abschnitt findet man diverse Spezialfälle des linearen Modells, doch werden nur die beiden einfachsten Modelle -die der einfachen Varianz- und Regressionsanalyse- anschließend als Beispiele mitgeführt.
Helmut Pruscha

IV. Einfache nichtparametrische Modelle

Zusammenfassung
Bei den Testverfahren im linearen Modell des Kapitels III ist die zugrunde liegende Verteilung -bis auf einen endlich-dimensionalen Parameter- festgelegt. In diesem Kapitel behandeln wir einige einfache statistische Modelle, bei denen ein endlich-dimensionaler Parameter nicht mehr ausreicht, um die Verteilung der Zufallsstichprobe X1,..., Xn zu spezifizieren. Vielmehr setzen wir i. F. (neben der Unabhängigkeit) nur voraus, dass die Variablen Xi eine stetige Verteilungsfunktion F besitzen. Gelegentlich treten weitere Voraussetzungen an F hinzu. Wir besprechen zunächst Statistiken, die aus den Rangzahlen der Beobachtungen berechnet werden. Dann werden Statistiken vorgestellt, die auf der empirischen Verteilungsfunktion der Stichprobe basieren.
Helmut Pruscha

V. Schätztheorie

Zusammenfassung
In diesem Kapitel wird eine allgemeine mathematische Schätztheorie entwickelt. Konkurrierende Schätzfunktionen (Statistiken) werden durch eine Risikofunktion bewertet, die mittels einer quadratischen Verlustfunktion definiert ist. Im Fall einer eindimensionalen Statistik T bildet Varϑ(T) das Gütekriterium, für höherdimensionale T werden wir (im Abschnitt 1) die Kovarianzmatrix
$$ Vv\left( T \right) = Ev\left( {\left( {T - Ev\left( T \right)} \right.} \right) \cdot \left( {T - Ev\left. {\left( T \right)} \right)^{\rm T} } \right) $$
oder (im Abschnitt 2) die Funktion
$$ R\left( v \right) = Ev\left( {\left( {T - Ev\left( T \right)} \right.} \right)^{\rm T} \cdot \left( {T - Ev\left. {\left( T \right)} \right)} \right) $$
als Risikofunktion verwenden. Im Sinne von II 4.3 suchen wir nach optimalen Schätzfunktionen. Zunächst wird das Erreichen einer unteren Schranke, die für die Kovarianzmatrix Vϑ (T) von Schätzern aufgestellt wird, als eine Optimalitätseigenschaft ausgezeichnet (Effizienz). Dann verwenden wir suffiziente und vollständige Statistiken zur Charakterisierung von Optimalität innerhalb erwartungstreuer Schätzfunktionen.
Helmut Pruscha

VI. Testtheorie

Zusammenfassung
Dieses Kapitel ist einer allgemeinen mathematischen Testtheorie gewidmet. Eine Hypothese über die zugrunde liegende
$$ Verteilungsklasse\,\mathbb{Q}_\vartheta , \vartheta \in \Theta ,\,auf\,\left( {X,B} \right) $$
wird durch Auswahl einer nichtleeren, echten Teilmenge Θ1 ⊂ Θ gebildet, eine Alternative dazu durch Θ1 ∈ Θ \ Θ0. Man schreibt die Hypothese und ihre Alternative dann in der gewohnten Form
$$ H_0 :\vartheta \in \Theta _0 \,versus\,H_{\text{1}} :\vartheta \in \Theta _1 $$
.
Helmut Pruscha

VII. Nichtlineare Modelle

Zusammenfassung
Die linearen Modelle in Kapitel III gehen von der Annahme aus, dass die Kriteriumsvariable Y metrisch skaliert ist und dass ihr Erwartungswert eine lineare Funktion vom Modellparameter β ist. Bei der Konstruktion von Konfidenzintervallen und von Tests benötigen wir dann noch die Annahme der Normalverteilung. In vielen Anwendungsfällen sind eine oder (meistens) mehrere dieser Voraussetzungen verletzt.
Helmut Pruscha

VIII. Nichtparametrische Kurvenschätzer

Zusammenfassung
In den Kapiteln V bis VII entwickelten wir diverse Schätz- und Testmethoden in statistischen Modellen, welche einen unbekannten endlich-dimensionalen Parameter enthalten. In diesem Kapitel ist es eine Funktion g (x), x ∈ ℝ, die unbekannt ist und zum Objekt unserer statistischen Analyse wird. Dabei kann g eine Dichtefunktion sein, welche den unabhängigen Beobachtungen zugrundeliegt (im Abschnitt 1), oder eine Regressionsfunktion, welche den Erwartungswert der Kriteriumsvariablen Y in Abhängigkeit vom Regressor x beschreibt (im Abschnitt 2). In beiden Fällen wird aus einer Zufallsstichprobe ein Kurvenschätzer ĝ n (x), X ∈ ℝ, berechnet und die Abweichung ĝ n (x) — g (x) x ∈ ℝ, studiert. Von besonderem Interesse ist dabei der erwartete integrierte quadratische Fehler, d. i.
$$ J_n = E\left( {\int_{ - \infty }^\infty {\left( {\hat gn\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)^2 dx} } \right) $$
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Helmut Pruscha

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