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Über dieses Buch

Das Lehrbuch vermittelt anwendungsorientiert den Lehrinhalt der Wahrschein­ lichkeitsrechnung und Induktiven Statistik, wie er in den Wirtschafts- und Sozial­ wissenschaften an Universitaten und Fachhochschulen vermittelt wird. Erfah­ rungen in der Lehre zeigen, dass viele Studierende die Inhalte erst verstehen, wenn sie wenig formal dargestellt sind. Insofem wurde auf manche mathematische Ableitung verzichtet und stattdessen mehr Wert auf Beispiele und die Interpretation gelegt. Urn das Auf- und Nacharbeiten zusatzlich zu vereinfachen, sind verschiedene Darstellungsweisen gewahlt worden: • Normal geschrieben ist der Text, der zum Verstandnis der Inhalte uner­ lasslich ist. Er sollte auf jeden Fall gelesen und verarbeitet werden. • Besonders wichtige Aussagen sind in einem Kasten dargestellt. • Grau unterlegt sind weiterflihrende Erlauterungen, deren Kenntnis zwar wiinschenswert, flir das Verstiindnis aber nicht unbedingt erforderlich sind. Hierzu zahlen etwa mathematische Ableitungen und Beweise. • Das Lehrbuch enthiilt zahlreiche Beispiele. Diese sind durchnummeriert und ihr Ende ist durch das Zeichen "." angezeigt. Die Beispiele eignen sich zum selbststandigen Durchrechnen und fUr die Klausurvorbereitung. Die Ergeb­ nisse sind in der Regel auf drei Nachkommastellen gerundet. Fortgeschrittene Studierende und Praktiker, beispielsweise aus der Markt- und Meinungsforschung und dem Controlling, die sich tiber die Berechnung und Interpretation von Konfidenzintervallen oder statistischen Tests informieren wollen, konnen hierflir den umfangreichen Index verwenden. Mit Hilfe des Symbolverzeichnisses lassen sich bei Vorkenntnissen auch einzelne Abschnitte im Text ohne Kenntnis der vorangegangenen Kapitel problemlos erschlieBen.

Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Einleitung

Zusammenfassung
Während in der Deskriptiven Statistik Methoden zur einfachen Datenauswertung behandelt werden, befasst sich die Induktive Statistik mit der Übertragung von Stichprobenergebnissen auf eine Grundgesamtheit (vgl. Abbildung 1.1). Die Methoden der Induktiven Statistik finden dabei breite Anwendung in der Markt- und Meinungsforschung sowie der empirischen Wirtschaftsforschung. Aus Kosten- und Zeitgründen begnügt man sich nämlich häufig mit Stichprobenerhebungen.
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

2. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Zusammenfassung
Wie viele Vorgänge im täglichen Leben ausgehen, ist im Voraus unbekannt. Sie sind also vom Zufall abhängig. Solche Zufallsexperimente stellen die Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung dar.
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

3. Kombinatorik

Zusammenfassung
Viele Probleme lassen sich mit der Formel von Laplace durch das Abzählen der günstigen und möglichen Fällen lösen. Kompliziertere Fragestellungen bedürfen aber der Verwendung mathematischer Formeln zur Berechnung der günstigen und möglichen Fälle, die als Regeln der Kombinatorik bekannt sind. Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik und gibt an, wie viele Möglichkeiten bestehen,
  • Elemente unterschiedlich anzuordnen oder
  • aus einer Menge einige Elemente zu ziehen.
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

4. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

Zusammenfassung
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik. Es ist üblich, an den Anfang einer mathematischen Theorie einige Axiome zu setzen, aus denen sich dann alle weiteren Sätze dieser Theorie deduktiv ableiten lassen. Die Axiome selbst werden gesetzt, d.h. sie sind nicht beweisbar. Sie haben in der Regel jedoch einen Bezug zur Anschauung. Wir werden auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf diese Weise vorgehen und beginnen daher mit dem Axiomensystem, das 1935 von KOLMOGOROV eingeführt wurde. Dieses Axiomensystem stellt die Grundlage der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung dar.
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

5. Zufallsvariable und ihre Verteilung

Zusammenfassung
Bisher haben wir den Ergebnissen eines Zufallsvorgangs Wahrscheinlichkeiten zugeordnet. Sie können — brauchen aber nicht notwendig — bereits quantifizierte Ergebnisse (= nummerische Ausgänge) enthalten. Beim einmaligen Würfelwurf hatten wir die Ergebnismenge mit Ω = {1,2,3,4,5,6} bereits nummerisch definiert. Die möglichen Ergebnisse dieses Zufallsexperiments sind die Augenzahlen (ω1 = 1, (ω2 = 2, (ω3 = 3, ω4 = 4, ω5 = 5 und ω6 = 6. Allgemein können die Ergebnisse eines Zufallvorgangs durch die Definition einer Zufallsvariable quantifiziert werden. Eine Zufallsvariable X bezeichnet eine Funktion, die die Ergebnisse a durch Setzung einer bestimmten Vorschrift in einen Zahlenraum ℝ (ℝ = Menge der reellen Zahlen) überführt.
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

6. Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Zusammenfassung
Bisher wurden Wahrscheinlichkeitsverteilungen in einer allgemeinen Form dargestellt. In der Praxis treten häufig ganz bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf, die nun vorgestellt werden. Während wir uns in diesem Kapitel mit diskreten Verteilungsmodellen beschäftigen, werden im nächsten Kapitel stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen diskutiert.
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

7. Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Zusammenfassung
Hier werden einige wichtige Modelle für die Verteilung von stetigen Zufallsvariablen diskutiert. Begonnen wird mit der stetigen Gleichverteilung und der Exponentialverteilung. Die Normalverteilung stellt die wichtigste stetige Verteilung dar. Alle weiteren Verteilungen — Chi-Quadrat-, t- und F-Verteilung — basieren auf der Normalverteilung.
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

8. Mehrdimensionale Zufallsvariablen

Zusammenfassung
In den vorangegangenen Kapiteln haben wir die Möglichkeiten aufgezeigt, eine Zufallsvariable grafisch darzustellen und statistisch auszuwerten. Typischerweise werden aber in Untersuchungen mehrere Merkmale gleichzeitig erhoben, die bei Stichproben als Zufallsvariablen interpretiert werden können. So interessiert bei einer Person beispielsweise nicht nur das Einkommen, sondern auch Geschlecht, Alter, Beruf usw. In diesem Fall macht es Sinn, die Variablen nicht nur unabhängig voneinander zu überprüfen, sondern auch zu untersuchen, ob ein Zusammenhang zwischen ihnen besteht.
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

9. Grenzwertsätze und Approximation von Verteilungen

Zusammenfassung
Die Grenzwertsätze bilden den Abschluss der Wahrscheinlichkeitsrechnung und sind von zentraler Bedeutung vor allem für die Induktive Statistik. Das Gesetz der großen Zahlen macht eine Aussage über die Genauigkeit der Abschätzung eines unbekannten Mittelwertes der Grundgesamtheit durch den Stichprobenmittelwert. Dagegen gibt der Zentrale Grenzwertsatz an, gegen welche Verteilung Summen und Durchschnitte beliebig verteilter Zufallsvariablen bei großem Stichprobenumfang tendieren. Die Tschebyscheffsche Ungleichung wird einerseits für den Beweis des Gesetzes der großen Zahlen benötigt. Andererseits lässt sie sich aber auch eigenständig zur Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten bei einem unbekannten Verteilungstyp verwenden.
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

10. Stichproben

Zusammenfassung
In der Induktiven Statistik, auch beurteilende oder analytische Statistik genannt, gehen wir von Stichprobendaten aus. Speziell stammen die Daten aus Zufallsstichproben. Die Stichprobenergebnisse sollen auf die Grundgesamtheit übertragen werden. Im Folgenden beschränken wir den Begriff der Stichprobe stets auf das Konzept der Zufallsstichprobe.22
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

11. Intervallschätzung (Konfidenzintervalle)

Zusammenfassung
Im Kapitel 10 wurde bereits angesprochen, dass man mit unterschiedlichen Stichproben verschiedene Punktschätzer \(\hat{\theta }\) für den Parameter der Grundgesamtheit θ erzielt. Die Punktschätzer werden i. d. R. auch von θ abweichen. Mit einer Zufallsauswahl lässt sich der Stichprobenfehler berechnen. Man kann also ein Intervall zwischen C1 und C2 angeben, in dem sich der Parameter der Grundgesamtheit mit der Wahrscheinlichkeit 1− α befindet:
$$P({{C}_{1}}\le \theta \le {{C}_{2}})=1-\alpha $$
(11.1)
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

12. Parametrische Tests

Zusammenfassung
Wie die Schätzverfahren gehen auch die in diesem Kapitel zu diskutierenden Testverfahren von einer vorliegenden Stichprobe aus. Da mit Hilfe der Stichprobenergebnisse auf die Grundgesamtheit geschlossen wird, bilden die Testverfahren zusammen mit den Schätzverfahren den Kern der Induktiven Statistik.
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

13. Nichtparametrische Tests

Zusammenfassung
Nichtparametrische (verteilungsfreie) Tests setzen keine Verteilungsannahmen voraus. Sie lassen sich insbesondere für drei Fragestellungen heranziehen (vgl. Abbildung 13.1):
  • Bei den nichtparametrischen Tests gibt es zum einen Anpassungstests zur Überprüfung, ob ein Merkmal in der Grundgesamtheit eine bestimmte Verteilung aufweist. Für kleine Stichproben ist insbesondere der KSA-Test geeignet. Mit den Anpassungstests lassen sich die Verteilungsvoraussetzungen für parametrische Tests überprüfen.
  • Zum anderen kann untersucht werden, ob zwischen zwei Merkmalen ein Zusammenhang besteht. Der hier behandelte Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest ist bereits bei nominalskalierten Merkmalen einsetzbar.
  • Drittens lässt sich ein nichtparametrischer Test anwenden, um Gruppenunterschiede herauszufinden. Dafür werden meistens Rangplätze herangezogen, so dass diese Tests bereits bei einem ordinalskalierten Merkmal durchführbar sind. Der hier behandelte U-Test stellt eine verteilungsfreie Alternative zum doppelten t-Test bzw. zum Test von Welch dar. Ein Nachteil der verteilungsfreien Tests liegt aber in einer geringeren Trennschärfe. Sind die Voraussetzungen eines parametrischen Tests erfüllt, dann liegt die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art bei einem nichtparametrischen Test höher.
Hans-Friedrich Eckey, Reinhold Kosfeld, Matthias Türck

Backmatter

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