Wahrscheinlichkeitstheorie

Frontmatter

Kapitel 1. Grundlagen der Maßtheorie

Zusammenfassung

In diesem Kapitel führen wir die Mengensysteme ein, die eine systematische Betrachtung von Ereignissen und zufälligen Beobachtungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie erlauben. Ferner sollen Maße, insbesondere Wahrscheinlichkeitsmaße, auf solchen Mengensystemen konstruiert werden. Schließlich werden wir Zufallsvariablen als messbare Abbildungen definieren.

Achim Klenke

Kapitel 2. Unabhängigkeit

Zusammenfassung

Die Maßtheorie aus dem vorigen Kapitel ist eine lineare Theorie, die keine Abhängigkeitsstrukturen zwischen Ereignissen oder Zufallsvariablen kennt. Wir betreten das Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie genau an dieser Stelle mit der Definition der Unabhängigkeit von Ereignissen und schließlich von Zufallsvariablen. Die Unabhängigkeit ist ein zentraler Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie, die Quantifizierung von Abhängigkeiten eines ihrer wichtigen Anliegen.

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Kapitel 3. Erzeugendenfunktion

Zusammenfassung

Ein wichtiges Prinzip in der Mathematik ist es, eine Klasse von Objekten, die man betrachten möchte, in eine andere Klasse von Objekten, mit denen man besser rechnen kann, hinein abzubilden. Diese Abbildung kann eineindeutig sein, etwa bei der Zuordnung von Matrizen zu linearen Abbildungen, oder auch nur manche Eigenschaften eindeutig abbilden, etwa bei Determinanten.

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Kapitel 4. Das Integral

Zusammenfassung

Nach dem Begriff des Maßraums und der messbaren Abbildung ist das Integral messbarer reeller Abbildungen bezüglich allgemeiner Maße, nicht nur des Lebesgue-Maßes, wie es in den meisten Analysis-Vorlesungen behandelt wird, ein Eckstein der systematischen Wahrscheinlichkeitstheorie, der es uns beispielsweise erlaubt, Erwartungswerte und höhere Momente zu definieren.

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Kapitel 5. Momente und Gesetze der großen Zahl

Zusammenfassung

Die wichtigsten Kenngrößen für Zufallsvariablen sind Median, Erwartungswert und Varianz. Der Erwartungswert beschreibt für großes n den typischen ungefähren Wert des arithmetischen Mittels (X₁ + . . . + X_n)/n von u.i.v. Zufallsvariablen (Gesetz der großen Zahl). In Kapitel 15 werden wir sehen, wie die Varianz hingegen die typischen Abweichungen des arithmetischen Mittels vom Erwartungswert determiniert.

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Kapitel 6. Konvergenzsätze

Zusammenfassung

Im starken und schwachen Gesetz der großen Zahl hatten wir implizit schon die Begriffe von fast sicherer und stochastischer Konvergenz von Folgen von Zufallsvariablen kennen gelernt und gesehen, dass die fast sichere die stochastische Konvergenz impliziert. In diesem Kapitel definieren wir die Begriffe von fast sicherer und stochastischer Konvergenz sowie Konvergenz im Mittel von Folgen messbarer Abbildungen und setzen sie in Beziehung zueinander. Eine Schlüsselrolle kommt dabei dem Konzept der gleichgradigen Integrierbarkeit zu.

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Kapitel 7. Lp-Räume und Satz von Radon-Nikodym

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wollen wir die Räume der Funktionen untersuchen, deren p-te Potenz integrierbar ist. Wir leiten in Abschnitt 7.2 zunächst wichtige Ungleichungen her (Hölder, Minkowski, Jensen) und untersuchen dann in Abschnitt 7.3 den Fall p = 2, wo wir Hilberträume vorliegen haben, im Detail. Neben den genannten Ungleichungen sind die wichtigsten Ergebnisse für die Stochastik der Zerlegungssatz von Lebesgue sowie der Satz von Radon-Nikodym in Abschnitt 7.4.

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Kapitel 8. Bedingte Erwartungen

Zusammenfassung

Wenn über den Ausgang eines Zufallsexperimentes eine Teilinformation vorhanden ist, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ereignisse. Das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeiten und bedingten Erwartungen formalisiert den zugehörigen Kalkül.

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Kapitel 9. Martingale

Zusammenfassung

Einer der wichtigsten Begriffe der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie ist das Martingal, das die Idee eines fairen Spiels formalisiert. In diesem Kapitel wird der Begriffsapparat für die Beschreibung allgemeiner stochastischer Prozesse aufgebaut. Danach werden Martingale und das diskrete stochastische Integral eingeführt und auf ein Modell der Finanzmathematik angewandt.

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Kapitel 10. Optional Sampling Sätze

Zusammenfassung

Wir haben im vorigen Kapitel gesehen, dass aus Martingalen wieder Martingale werden, wenn man gewisse Spielstrategien anwendet.Wir wollen in diesem Kapitel ähnliche Stabilitätseigenschaften für zufällig gestoppte Martingale zeigen. Um die Aussagen auch für Submartingale und Supermartingale zu bekommen, geben wir im ersten Abschnitt einen Zerlegungssatz für adaptierte Prozesse an.

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Kapitel 11. Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen

Zusammenfassung

Wir haben Martingale X = (X_n)_n∈ℕ0 als faire Spiele kennen gelernt und festgestellt, dass sie unter gewissen Transformationen (Optionales Stoppen, diskretes stochastisches Integral) wieder zu Martingalen werden. In diesem Kapitel werden wir sehen, dass unter schwachen Bedingungen (Nichtnegativität oder gleichgradige Integrierbarkeit) Martingale fast sicher konvergieren. Zudem impliziert die Martingalstruktur die L^p-Konvergenz schon unter formal schwächeren Annahmen als denen, die wir in Kapitel 7 gesehen haben.

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Kapitel 12. Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit

Zusammenfassung

Bei vielen Datenerhebungen, etwa Telefonumfragen, ist die Reihenfolge, in der die Daten kommen, unerheblich. Mathematisch sprechen wir von austauschbaren Zufallsvariablen, wenn sich die gemeinsame Verteilung unter endlichen Vertauschungen nicht ändert. Der Struktursatz für austauschbare Zufallsvariablen von de Finetti besagt, dass sich eine unendlich große austauschbare Familie von Zufallsvariablen mit Werten im Raum E als Zweistufenexperiment beschreiben lässt: In der ersten Stufe wird eine zufällige Wahrscheinlichkeitsverteilung Ξ auf E ausgewürfelt.

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Kapitel 13. Konvergenz von Maßen

Zusammenfassung

In der Wahrscheinlichkeitstheorie interessiert man sich für Verteilungen, die durch das Zusammenwirken vieler zufälliger Einflüsse zustandekommen. Oftmals lässt sich eine brauchbare Idealisierung erreichen, indem man Grenzwerte solcher Verteilungen anschaut, zum Beispiel, wenn die Anzahl der Einflüsse nach Unendlich geht. Ein Beispiel ist die Konvergenz der Anzahl eingetretener Ereignisse bei vielen seltenen Ereignissen gegen die Poisson-Verteilung (siehe Satz 3.7).

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Kapitel 14. W-Maße auf Produkträumen

Zusammenfassung

Als Motivation betrachten wir das folgende Beispiel. Sei X eine uniform auf [0, 1] verteilte Zufallsvariable. Sobald wir den Wert von X kennen, wollen wir n mal eine Münze werfen, die Erfolgswahrscheinlichkeit X hat. Die Ergebnisse seien Y₁, . . . , Y_n.

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Kapitel 15. Charakteristische Funktion und zentraler Grenzwertsatz

Zusammenfassung

Hauptziel dieses Kapitels ist der zentrale Grenzwertsatz für Summen unabhängiger Zufallsvariablen (Satz 15.38) und für unabhängige Schemata (Satz von Lindeberg-Feller, Satz 15.44), wobei wir für den letzteren nur die eine Richtung beweisen (Satz von Lindeberg).

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Kapitel 16. Unbegrenzt teilbare Verteilungen

Zusammenfassung

Die Normalverteilung N _μ,σ ² lässt sich für jedes n ∈ N als n-te Faltungspotenz eines W-Maßes schreiben (nämlich von N _μ/n,σ ² _/n). Die selbe Eigenschaft, die wir unbegrenzte Teilbarkeit nennen, hat die Poisson-Verteilung. Im ersten Abschnitt untersuchen wir, welche W-Maße auf R unbegrenzt teilbar sind und geben eine erschöpfende Beschreibung der Klasse dieser Maße durch die Lévy-Khinchin Formel.

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Kapitel 17. Markovketten

Zusammenfassung

Markovprozessemit abzählbarem Zustandsraum (und diskreter Zeit) sind trotz ihrer Simplizität interessante mathematische Objekte, mit denen sich eine Vielzahl von Phänomenen modellieren lässt. Wir bringen hier einen Einblick in die grundlegenden Begriffe und schauen dann Beispiele etwas detaillierter an. Der Zusammenhang mit der (diskreten) Potentialtheorie wird erst in Kapitel 19 untersucht.

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Kapitel 18. Konvergenz von Markovketten

Zusammenfassung

Wir betrachten eine Markovkette X mit invarianter Verteilung π und untersuchen, unter welchen Bedingungen die Verteilung von X_n für n → ∞ gegen π konvergiert. Im Wesentlichen ist dafür notwendig und hinreichend, dass der Zustandsraum der Kette nicht in Unterräume zerfällt, die.

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Kapitel 19. Markovketten und elektrische Netzwerke

Zusammenfassung

Wir betrachten eine symmetrische einfache Irrfahrt auf Z². Nach dem Satz von Pólya (Satz 17.40) ist diese Irrfahrt rekurrent. Was passiert aber, wenn wir eine einzelne Kante aus dem Gitter L² von Z² entfernen? Intuitiv sollte dies nichts an der Rekurrenz ändern.

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Kapitel 20. Ergodentheorie

Zusammenfassung

Gesetze der großen Zahl, zum Beispiel für u.i.v. Zufallsvariablen X₁, X₂, . . . besagen, dass n⁻¹ \( \sum\limits_{i = 1}^{n} {X_{i} } \underrightarrow {n \to \infty } \) E[X₁] fast sicher konvergiert. Wir können also die Mittelung über die tatsächliche Realisierung vieler Zufallsvariablen mit der Mittelung über die möglichen Realisierungen eines X_i vertauschen. In der statistischen Physik spricht man von der Äquivalenz von Zeitmittel und Scharmittel, oder der Mittelung entlang einer Trajektorie (griechisch odos) des Systems gegenüber der Mittelung aller möglichen Zustände mit gleicher Energie (griechisch ergon).

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Kapitel 21. Die Brown’sche Bewegung

Zusammenfassung

In Beispiel 14.48 hatten wir einen (kanonischen) Prozess (X_t)_t∈[0,∞) hergestelltmit unabhängigen, stationären, normalverteilten Zuwächsen. Ein solcher Prozess kann beispielsweise als Modell eines Flimmerteilchens in einer Suspension dienen oder als Grundlage für Aktienkursmodelle.

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Kapitel 22. Gesetz vom iterierten Logarithmus

Zusammenfassung

Für Summen unabhängiger Zufallsvariablen kennen wir bislang zwei Grenzwertsätze: das Gesetz der großen Zahl und den zentralen Grenzwertsatz. Das Gesetz der großen Zahl beschreibt für großes n ∈ N das typische oder Mittelwertverhalten von Summen von n Zufallsvariablen, während der zentrale Grenzwertsatz die typischen Fluktuationen um diesen Mittelwert quantitativ erfasst.

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Kapitel 23. Große Abweichungen

Zusammenfassung

Wir haben (bis auf das Gesetz vom iterierten Logarithmus) bislang zwei Typen von Grenzwertsätzen für Partialsummen S_n = X₁ + . . . + X_n, n ∈ N,, von identisch verteilten, reellen Zufallsvariablen (X_i)_i∈N mit Verteilungsfunktion F gesehen.

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Kapitel 24. Der Poisson’sche Punktprozess

Zusammenfassung

Poisson’sche Punktprozesse können als ein Grundbaustein zur Konstruktion sehr unterschiedlicher stochastischer Objekte verwendet werden, wie etwa unbegrenzt teilbare Verteilungen, Markovprozesse mit komplexer Dynamik, Objekte der stochastischen Geometrie und so fort.

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Kapitel 25. Das Itô-Integral

Zusammenfassung

Das Itô-Integral erlaubt es, stochastische Prozesse bezüglich der Zuwächse einer Brown’schen Bewegung oder etwas allgemeinerer Prozesse zu integrieren.Wir entwickeln das Itô-Integral zunächst für die Brown’sche Bewegung und dann für verallgemeinerte Diffusionsprozesse (sogenannte Itô-Prozesse). Im dritten Abschnitt leiten wir die Itô-Formel her.

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Kapitel 26. Stochastische Differentialgleichungen

Zusammenfassung

Stochastische Differentialgleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung von gewissen stetigen Markovprozessen mit Werten in Rⁿ. Im Gegensatz zu klassischen Differentialgleichungen ist nicht nur die Ableitung einer Funktion angegeben, sondern zudem ein Term, der zufällige Fluktuationen beschreibt, die als Itô-Integral bezüglich einer Brown’schen Bewegung kodiert werden. Je nach dem, ob man die konkrete Brown’sche Bewegung als treibende Kraft des Rauschens ernst nimmt oder nicht, spricht man von starken oder schwachen Lösungen.

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