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Inhaltsverzeichnis

Frontmatter

1. Problemstellung

Zusammenfassung
Ein zentrales Thema der Analysis ist die Approximation bzw. die Darstellung von beliebigen gegebenen oder gesuchten Funktionen f mit Hilfe von speziellen Funktionen. „Spezielle Funktionen“ sind Funktionen aus einem Katalog, zum Beispiel Monome tt k , k ∈ ℕ, oder Funktionen der Form te ct , c ∈ ℂ fest. Spezielle Funktionen sind im allgemeinen gut verstanden, oft einfach zu berechnen und haben interessante analytische Eigenschaften.
Christian Blatter

2. Fourier-Analysis

Zusammenfassung
Das Hauptwerkzeug zum Aufbau der Wavelet-Theorie ist die Fourier-Analysis. Wir benötigen sowohl die wichtigsten Formeln und Sätze über Fourier-Reihen als auch die Grundlagen der Fourier-Transformation auf ℝ. Diese Dinge werden in den folgenden Abschnitten im Sinne eines Repetitoriums zusammengestellt, damit wir später ohne weiteres darauf zugreifen können. Für die zugehörigen Beweise verweisen wir auf die entsprechenden Lehrbücher, zum Beispiel [2], [5], [10], [15]. In den Abschnitten 2.3 und 2.4 behandeln wir die Heisenbergsche Unschärferelation und das Abtast-Theorem von Shannon. Diese beiden Sätze der Fourier-Analysis handeln von „letztgültigen“ Grenzen der Signaltheorie und stehen damit auch im Hintergrund von allen Wavelet-Bemühungen.
Christian Blatter

3. Die kontinuierliche Wavelet-Transformation

Zusammenfassung
Eine Funktion ψ: ℝ → ℂ, die den folgenden Bedingungen (1)^(2) genügt, heißt ein Mutter-Wavelet oder einfach Wavelet:
(1)
$$2\pi \int_{R*} {\frac{{\left| {\hat \psi \left( a \right)} \right|^2 }} {{\left( a \right)}}da = } :C_\psi < \infty .$$
(2)
Christian Blatter

4. Frames

Zusammenfassung
Der allgemeine Begriff des „Frames“ (von englisch frame; es gibt dafür keinen treffenden deutschen Ausdruck) ermöglicht, die kontinuierliche und die diskrete Wavelet-Transformation unter einem einheitlichen funktionalanalytischen Gesichtspunkt darzustellen. Die nachfolgenden Abschnitte 4.1-2 sind im wesentlichen [K], Kapitel 4, nachempfunden, wo dieser einheitliche Aspekt besonders klar herausgearbeitet ist.
Christian Blatter

5. Multiskalen-Analyse

Zusammenfassung
Der Siegeszug der Wavelets durch die verschiedensten Anwendungsgebiete beruht auf den sogenannten „schnellen Algorithmen“ (fast wavelet transform, FWT), und diese wiederum funktionieren dank einer sorgfältigen Wahl des Mutter-Wavelets ψ.
Christian Blatter

6. Orthonormierte Wavelets mit kompaktem Träger

Zusammenfassung
Wir stehen vor der Aufgabe, Skalierungsfunktionen φ: ℝ →ℂ zu produzieren mit folgenden Eigenschaften:
(a)
φ ∈ L2, supp(φ) kompakt
 
(b)
\(\phi (t) \equiv \sqrt 2 \sum\limits_k {{h_k}\phi } (2t - k)\quad bzw.\quad \widehat \phi \left( \xi \right) = H\left( {\frac{\xi }{2}} \right)\widehat \phi \left( {\frac{\xi }{2}} \right),\)
 
(c)
\(\int \phi (t)dt = 1\quad bzw.\quad \widehat \phi \left( 0 \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }},\)
 
(d)
\(\int \phi (t)\overline {\phi \left( {t - k} \right)} dt = {\delta _{0k}}\quad bzw.\quad {\sum\limits_k {\left| {\widehat \phi \left( {\xi + 2\pi l} \right)} \right|} ^2} \equiv \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}.\)
 
Christian Blatter

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