5. Weitere Bestimmungen von Integralfunktionen und Rechenregeln für die Integration

Das Kapitel behandelt umfassend die Integration von Monomen mit ganzzahligen und gebrochenen Exponenten. Es beginnt mit der Darstellung der Integralfunktionen für Monome mit natürlichen und negativen Exponenten, wobei historische Ansätze von Leibniz und Gregorio a Santo Vincento einbezogen werden. Besonders interessant ist die Herleitung der Integralfunktion für den Exponenten -1, die auf der Funktionalgleichung des Logarithmus basiert. Ein weiterer Schwerpunkt liegt auf der Beziehung zwischen den Integralwerten von Funktionen und ihren Umkehrfunktionen, illustriert durch ein Lemma, das auf einer Flächenzerlegung basiert. Die Integration von Wurzeln wird ebenfalls detailliert behandelt, wobei die Umkehrfunktionen und deren Eigenschaften im Vordergrund stehen. Zudem werden die Regeln der partiellen Integration und der Substitutionsregel erläutert, die in der hier entwickelten Theorie der Integration eine zentrale Rolle spielen. Die Anwendbarkeit dieser Regeln wird durch spezifische Bedingungen und Beispiele verdeutlicht, die die Monotonie und Nicht-Negativität der Integranden sicherstellen. Abschließend wird die Integration von Monomen mit gebrochenen Exponenten behandelt, wobei die Substitutionsregel und die Ergebnisse aus früheren Abschnitten genutzt werden, um die Integralfunktionen zu bestimmen. Dieser Beitrag bietet somit eine fundierte und umfassende Analyse der Integrationstechniken und deren Anwendungen, die sowohl für theoretische als auch für praktische Zwecke von großer Bedeutung sind.